Fiche PanaMaths (Terminale S) Croissances comparées

Fiche PanaMaths (Terminale S)
Croissances comparées
Ce que vous devez connaître ou savoir-faire pour aborder ce cours
Æ Les principales règles de calcul des limites de fonctions ;
Æ Les fonctions logarithme népérien et exponentielle.
Ce que vous devez retenir
1. Les limites en +∞ :
Pour n entier naturel non nul :
ln x
= 0+
x →+∞ x n
lim
On dit que « toute puissance entière (naturelle) l’emporte sur le logarithme népérien ».
ln x
= 0 , la limite ci-dessus en découlant immédiatement.
En fait, on retiendra : lim
x →+∞ x
Pour n entier naturel :
ex
lim
= +∞
x →+∞ x n
On dit que « l’exponentielle l’emporte sur toute puissance (naturelle) ».
On remarque que le résultat reste valable lorsque la puissance est négative (mais dans ce
cas, on n’a plus affaire à une forme indéterminée …)..
On retiendra :
En +∞ :
• L’exponentielle croît plus vite que toute puissance ;
• Toute puissance croît plus vite que le logarithme népérien.
2. La limite en −∞ (n entier naturel) :
lim x n e x = 0
x →−∞
On retiendra :
En −∞ l’exponentielle décroît plus vite que toute puissance.
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Juin 2009
3. La limite en 0 (n entier naturel non nul) :
lim x n ln x = 0
x →0
x >0
En fait, on retiendra : lim x ln x = 0 , la limite ci-dessus en découlant immédiatement.
x →0
x >0
Ce que vous devez savoir faire
Il est important de savoir se ramener à l’une des situations mentionnées ci-dessus !
Exemple 1
Considérons la fonction f définie sur \ * par : f ( x ) =
e5 x + 3
. On demande : lim f ( x ) .
x →+∞
44 x 4
Pour tout x réel non nul, on a :
f ( x) =
e 5 x + 3 e 5 x × e 3 e 3 e 5 x e 3 54 e 5 x e 3
e5 x
54 e 3
e5 x
4
=
=
×
=
×
=
×
×
=
×
5
44 x 4 44 × x 4 44 x 4 44 54 x 4 44
54 x 4
44 ( 5 x )4
L’idée directrice de la démarche ci-dessus est de faire apparaître au dénominateur une
puissance de l’argument ( 5x ) de l’exponentielle.
Posons : X = 5 x .
On a alors : lim
x →+∞
Or
e5 x
(5x )
4
eX
= lim 4 = +∞ .
X →+∞ X
⎛ 54 e 3
⎛ 54 e 3 e X ⎞
54 e 3
e5 x ⎞
⎟
> 0 , d’où : lim f ( x ) = lim ⎜
×
=
×
= +∞
lim
4
x →+∞
x →+∞ ⎜ 44
⎟ X →+∞ ⎜⎝ 44 X 4 ⎟⎠
44
5
x
(
)
⎝
⎠
Finalement :
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
Exemple 2
Considérons la fonction f définie sur \ *+ par : f ( x ) = sin x ln x . On demande : lim f ( x ) .
x →0
x >0
Pour tout x réel strictement positif, on a :
f ( x ) = sin x ln x =
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sin x
x ln x
x
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sin x
= 1 et lim x ln x = 0 .
x →0
x →0
x
x >0
Or, on a : lim
Finalement :
lim f ( x ) = 0
x →0
x >0
Ce à quoi vous devez faire particulièrement attention !
On prendra garde de ne pas confondre les résultats valables en −∞ et ceux valables en +∞ !
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Juin 2009