inequations - L`Etudiant

3ème – Chapitre 12
Inéquations
INEQUATIONS
1) Inégalité et signe d'une différence
propriété 1
a et b désignent des nombres relatifs ou des variables.
 dire que a  b revient à dire que a  b  0 ;
 dire que a  b revient à dire que a  b  0 ;
 dire que a  b revient à dire que a  b  0 .
2) Addition, soustraction et ordre
propriété 2
a, b et c désignent des nombres ou des variables.
 a  c et b  c sont rangés dans le même ordre que a et b ; autrement dit, ajouter un même nombre
aux deux membres d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité ;
 a  c et b  c sont rangés dans le même ordre que a et b ; autrement dit, soustraire un même
nombre aux deux membres d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité.
preuve
 si a  b , montrons que a  c  b  c :
(a  c)  (b  c)  a  c  b  c  a  b  0 car a  b
(a  c)  (b  c)  0 donc a  c  b  c
 si a  b , montrons que a  c  b  c
(a  c)  (b  c)  a  c  b  c  a  b  0 car a  b
(a  c)  (b  c)  0 donc a  c  b  c
3) Multiplication et ordre
propriété 3
a, b et c sont des nombres ou des variables.
ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b si c est positif et sont rangés dans l'ordre contraire si
c est négatif. Autrement dit, multiplier les deux membres d'une inégalité par un même nombre ne change
pas le sens de l'inégalité si ce nombre est positif et change le sens de l'inégalité si ce nombre est négatif.
preuve
 si a  b et c  0 , montrons que ac  bc :
ac  bc  c(a  b)  0 (car c  0 et a  b  0 )
ac  bc  0 donc ac  bc
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3ème – Chapitre 12
Inéquations
 si a  b et c  0 , montrons que ac  bc
ac  bc  c(a  b)  0 (car c  0 et a  b  0 )
ac  bc  0 donc ac  bc
conséquence importante
On peut diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre différent de 0 en appliquant la
même règle que pour la multiplication (car diviser revient à multiplier par l'inverse).
4) Inéquations
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue, souvent notée x. Résoudre une inéquation, c'est
déterminer toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité.
Pour résoudre une inéquation, on applique la même méthode que pour les équations, en faisant attention
au fait que multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif change le sens de
l'inégalité.
exemple
Résoudre l'inéquation 3 x  7  6 x  4 et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
3x  7  6 x  4
3x  7  6 x  6 x  4  6 x
3 x  7  4
3 x  7  7  4  7
3 x  11
11
x .
3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
>
5) Exemple de résolution d'un problème
Enoncé : Un cinéma propose deux formules d'abonnement différentes :
Tarif A : 15 € d'abonnement puis 4 € par film ;
Tarif B : 35 € d'abonnement puis 2 € par film.
Déterminer le nombre de films à partir duquel la tarif B est le plus intéressant.
Choix de l'inconnue : Appelons x le nombre de films.
Traduction de l'énoncé par une inéquation :
Pour x films, la tarif A est égal à 4 x  15 et le tarif B est égal à 2 x  35 . Dire que le tarif B est plus
intéressant que le tarif A revient à dire que 2 x  35  4 x  15 .
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3ème – Chapitre 12
Inéquations
Résolution de l'inéquation :
2 x  35  4 x  15
2 x  35  4 x  15
2 x  35  15
2 x  15  35
2 x  20
20
x
(diviser par 2 change le sens de l'inégalité car 2 est négatif)
2
x  10
Réponse au problème posé : A partir de 11 films, le tarif B est le plus intéressant (pour 10 films, les deux
tarifs sont égaux).
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