Musterlösung von Blatt 13

M ATHEMATIK F ÜR I NFORMATIKER I
W INTERSEMESTER 2007/2008
P ROF. D R . F RIEDRICH E ISENBRAND
D R . K AI G EHRS
Ü b u n g s b l a t t 13
Organisatorisches:
Dieses Übungsblatt wird nicht mehr korrigiert. Da die Aufgaben dennoch klausurrelevant sind,
wird zu gegebener Zeit eine Musterlösung zu diesem Übungsblatt auf der Webseite der Vorlesung
veröffentlicht, so dass Sie Ihre Lösungen selbst überprüfen können.
Das gesamte Team der “Mathematik für Informatiker I” um Prof. Eisenbrand wünscht allen Studierenden viel Erfolg bei den anstehenden Klausuren.
Aufgabe 39: (Differentiation, 0 Punkte)
Berechnen Sie die Ableitung von
(a)
1 + x2
,
2 + x2
(b) sin(x2 ),
(c) cos(π − x3 ),
(d) sin(x2 · ex ),
(e) sin2 (x) + cos2 (x).
Musterlösung:
(a)
d 1 + x2
2 · x · (2 + x2 ) − (1 + x2 ) · 2 · x
2·x
=
=
.
2
2
2
dx 2 + x
(2 + x )
(2 + x2 )2
(b)
d
sin(x2 ) = cos(x2 ) · 2 · x.
dx
(c)
d
cos(π − x3 ) = (− sin(π − x3 )) · (−3 · x2 ) = 3 · x2 · sin(x3 ).
dx
(d)
d
sin(x2 · ex ) = cos(x2 · ex ) · (2 · x · ex + x2 · ex ) = (2 · x + x2 ) · ex · cos(x2 · ex ).
dx
(e)
d
(sin2 (x) + cos2 (x)) = 2 · sin(x) · cos(x) + 2 · cos(x) · (− sin(x)) = 0.
dx
d
d
Dies ist verständlich, da dx
(sin2 (x) + cos2 (x)) = dx
1.
Aufgabe 40: (Implizite Differentiation, 0 Punkte)
Eine differenzierbare Funktion y = f (x) mit stetiger Ableitung sei als Lösung der Gleichung
y3 + x 2 · y = ex
definiert. Bestimmen Sie f 0 (0).
2
Musterlösung:
Für x = 0 ist y = f (0) durch die Gleichung y3 + 0 · y = e0 = 1 definiert, woraus y = f (0) = 1 folgt. Durch
Differentiation der definierenden Gleichung erhält man:
f (x)3 + x2 · f (x) = e(x
2)
⇒
2
3 · f (x)2 · f 0 (x) + 2 · x · f (x) + x2 · f 0 (x) = 2 · x · e(x ) .
Mit x = 0, f (0) = 1 ergibt sich
2)
3 · f (0)2 · f 0 (0) + 2 · 0 · f (0) + 02 · f 0 (0) = 2 · 0 · e(0
⇒
3 · f 0 (0) = 0
⇒
f 0 (0) = 0.
Aufgabe 41: (Differentiation von Umkehrfunktionen, 0 Punkte)
Man definiert tan(x) :=
(a) Zeigen Sie:
d
dx
sin(x)
cos(x)
und bezeichnet mit arctan(x) die Umkehrfunktion von tan(x).
tan(x) = 1 + tan2 (x).
(b) Berechnen Sie die Ableitung von arctan(x).
(c) Berechnen Sie ferner die Ableitung von arctan(x) + arctan(1/x).
Musterlösung:
(a)
d sin(x)
cos2 (x) − sin(x) · (− sin(x)) cos2 (x) + sin2 (x)
1
=
=
= 1 + tan2 (x) =
.
2
2
dx cos(x)
cos (x)
cos (x)
cos2 (x)
(b) Sei f = tan, f −1 = arctan, x = tan(y), y = arctan(x). Es gilt
( f −1 )0 (x) =
1
f 0 (y)
=
1
1
1
.
=
=
2
2
1 + tan (y) 1 + tan (arctan(x)) 1 + x2
(c)
1
d 1
1
1
1
arctan(x) + arctan(1/x) =
+
·
− 2 =
−
= 0.
dx
1 + x2 1 + (1/x)2
x
1 + x2 x2 + 1
Aufgabe 42: (Bestimmte Integrale, 0 Punkte)
Berechnen Sie
Z 10
(i)
0
sin(π · t) dt,
Z 2
(ii)
0
2
t · e−t dt,
Z π
(iii)
cos(t) · esin(t) dt.
0
Hinweis: Sie können die Stammfunktionen erraten und dann per Differentiation deren Korrektheit
verifizieren. Es sind hier keine komplizierten Integrationstechniken nötig. Letztere können Sie weiter
unten im Rahmen der Aufgaben 44, 45, 46, 47 üben.
Musterlösung:
(i) Mit der Stammfunktion
Z
sin(π · t) dt = −
1
· cos(π · t) + c
π
folgt sofort
Z 10
0
− cos(π · t)
sin(π · t) dt =
π
t=10
=
t=0
1 · − cos(10 · π) + cos(0) = 0.
π
(ii) Mit der Stammfunktion
Z
2
2
1
t · e−t dt = − · e−t + c
2
folgt sofort
Z 2
0
t=2
2
2
1
1
1
= − 4.
t · e−t dt = − · e−t
2
2 2e
t=0
(iii) Mit der Stammfunktion
Z
cos(t) · esin(t) dt + c = esin(t)
folgt sofort
Z π
h
it=π
cos(t) · esin(t) dt = esin(t)
= 0.
t=0
0
Aufgabe 43: (Zwischenwertsatz und Eigenschaften von Integralen, 0 Punkte)
Seien f , g : [a, b] → R stetig. Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes ohne Verwendung des
Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:
(i) Es gibt ein ξ ∈ [a, b] mit
Z b
f (x) dx = f (ξ ) · (b − a).
a
(ii) Ist g(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], so gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = f (ξ )
g(x) dx.
a
a
Musterlösung:
Wir setzen m := min{ f (x) | x ∈ [a, b]} sowie M := max{ f (x) | x ∈ [a, b]}.
(i) Mit m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b] folgt:
m(b − a) =
Z b
m dx ≤
a
Z b
a
f (x) dx ≤
Z b
M dx = M(b − a).
a
Jedes Element aus [m(b − a), M(b − a)] lässt sich schreiben als η · (b − a) für ein η ∈ [m, M]. Also:
Z b
a
f (x) dx = η(b − a)
für ein geeignetes η ∈ [m, M]. Da f stetig ist, nimmt f nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert η ∈ [m, M] an,
d.h. es gibt zu η ∈ [m, M] ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ ) = η. Damit folgt
Z b
f (x) dx = η(b − a) = f (ξ )(b − a).
a
also die Behauptung.
(ii) Es gilt: mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x) für alle x ∈ [a, b], also
Z b
m
g(x) dx ≤
Z b
a
f (x)g(x) dx ≤ M
a
Z b
g(x) dx.
a
Ist ab g(x) dx = 0, so folgt aus dieser Ungleichung auch ab f (x)g(x) dx = 0, d.h. wir können einen beliebigen
R
Wert für ξ aus [a, b] wählen. Gilt ab f (x)g(x) dx 6= 0, so setze
R
R
Z b
f (x)g(x) dx
η :=
a
.
Z b
g(x) dx
a
Da η ∈ [m, M] und f stetig ist, nimmt f nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert η ∈ [m, M] an, d.h. es gibt zu
η ∈ [m, M] ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ ) = η. Damit folgt
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = f (ξ )
a
g(x) dx,
a
also die Behauptung.
Aufgabe 44: (Bestimmte Integrale, 0 Punkte)
Sei f : [a, b] → R stetig differenzierbar, d.h. f ist differenzierbar und die Ableitung ist eine stetige
Funktion f 0 : [a, b] → R. Zeigen Sie, dass gilt:
Z b
lim
R→∞ a
f (t) sin(Rt) dt = 0.
Musterlösung:
Mit partieller Integration folgt:
Z b
f (t) sin(Rt) dt = −
a
Z b 0
f 0 (t) cos(Rt) t=b
f (t) cos(Rt)
dt.
+
R
R
t=a
a
0
0
|t=b
Da cos(Rt) beschränkt ist und a und b fest vorgegebene Werte, folgt − f (t) cos(Rt)
t=a → 0 für R → ∞. Da f
R
stetig auf [a, b] ist und [a, b] kompakt ist und jede stetige Funktion auf einer kompakten Mengen ihr Maximum
annimmt, gilt es ein M > 0 mit | f 0 (t)| ≤ M für alle t ∈ [a, b]. Damit:
Z b 0
f (t) cos(Rt) M |b − a|
dt ≤
→0
a
R
R
für R → ∞, also folgt die Behauptung.
Aufgabe 45: (Integrationstechniken I, 0 Punkte)
Bestimmen Sie:
Z
(a)
x2 · ex dx,
Z
(b)
Z
x · sin(x) dx,
sin(x) · cos(x) · esin(x) dx.
(c)
Musterlösung:
(a) Es gilt:
Z
x2 · |{z}
ex −
x2 · |{z}
ex dx = |{z}
|{z}
f (x)
g0 (x)
f (x)
Z
g(x)
ex dx = x2 · ex − 2 ·
2 · x · |{z}
|{z}
f 0 (x)
Z
x · ex dx.
g(x)
Erneute partielle Integration:
x2 · ex − 2 ·
Z
x · |{z}
ex dx
|{z}
g0 (x)
f (x)
= x2 · ex − 2 · |{z}
x · |{z}
ex −
f (x)
= x2 · ex − 2 · x · ex + 2 ·
Probe:
Z
Z
1 · |{z}
ex dx
|{z}
f 0 (x)
g(x)
g(x)
ex dx = x2 · ex − 2 · x · ex + 2 · ex + c = (x2 − 2 · x + 2) · ex + c.
d 2
(x − 2 · x + 2) · ex + c = (2 · x − 2) · ex + (x2 − 2 · x + 2) · ex = x2 · ex
dx
(ok).
(b) Es gilt:
Z
x · sin(x) dx = |{z}
x · (− cos(x)) −
|{z}
| {z }
| {z }
f (x)
f (x)
g0 (x)
= −x · cos(x) +
Probe:
Z
Z
g(x)
1 · (− cos(x)) dx
|{z}
| {z }
f 0 (x)
g(x)
cos(x) dx = −x · cos(x) + sin(x) + c.
d − x · cos(x) + sin(x) + c = − cos(x) + x · sin(x) + cos(x) = x · sin(x) (ok).
dx
(c) Es gilt:
Z
sin(x) · cos(x) · esin(x) dx =
Z
sin(x) · cos(x) · esin(x) dx.
| {z } |
{z
}
g0 (x)
f (x)
Die entscheidende Beobachtung ist hier, dass wir die Stammfunktion des Faktors g0 (x) kennen (leicht raten
können bzw. durch Substitution y = sin(x) systematisch bestimmen können): g(x) = esin(x) :
Z
sin(x) · cos(x) · esin(x) dx = sin(x) · e|sin(x)
−
| {z } |
{z
}
| {z } {z }
f (x)
g0 (x)
f (x)
g(x)
Z
cos(x) · esin(x) dx.
| {z } | {z }
Das verbleibende Integral hatten wir oben schon identifiziert:
Z
cos(x) · esin(x) dx = esin(x) − c.
f 0 (x)
g(x)
Macht zusammen:
Probe:
Z
sin(x) · cos(x) · esin(x) dx = (sin(x) − 1) · esin(x) + c.
d (sin(x) − 1) · esin(x) + c = cos(x) · esin(x) + (sin(x) − 1) · cos(x) · esin(x)
dx
= sin(x) · cos(x) · esin(x)
(ok).
Aufgabe 46: (Integrationstechniken II, 0 Punkte)
Berechnen Sie
Z
(a)
e2·x+3 dx,
Z
(b)
cos(x) · e2·sin(x)+3 dx,
Z
(c)
cos(x)
· ln(sin(x)) dx.
sin(x)
Musterlösung:
(a) Substituiere y = 2 · x + 3 (⇒ dy = 2 · dx):
Z
e2·x+3 dx =
Z
ey
e2·x+3
dy ey
= +c =
+ c.
2
2
2
(b) Substituiere y = 2 · sin(x) + 3 (⇒ dy = 2 · cos(x) · dx):
Z
cos(x) · e
2·sin(x)+3
Z
dx =
ey
dy ey
e2·sin(x)+3
= +c =
+ c.
2
2
2
(c) Substituiere y = sin(x), also dy = cos(x) · dx:
Z
cos(x)
· ln(sin(x)) dx =
sin(x)
Z
ln(y)
dy.
y
Nächste Substitution z = ln(y), also dz = dy/y:
Z
Macht zusammen
Z
ln(y)
dy =
y
Z
z dz =
z2
ln(y)2
+c =
+ c.
2
2
cos(x)
ln(sin(x))2
· ln(sin(x)) dx =
+ c.
sin(x)
2
Beide Schritte können zusammengefasst werden, indem man gleich z = ln(sin(x)) substituiert. Mit dz/dx =
cos(x)/ sin(x):
Z
Z
cos(x)
z2
ln(sin(x))2
· ln(sin(x)) dx = z dz = + c =
+ c.
sin(x)
2
2
Aufgabe 47: (Integrationstechniken III, 0 Punkte)
Bestimmen Sie
Z
π
2
cos(t) · esin
(a)
(t)
Z 1
(b)
dt,
0
2
t · e1−t dt.
0
Beweisen Sie ferner, dass gilt:
Z ∞√
−t
t ·e
(c)
Z ∞
dt =
0
2
e−y dy.
0
Musterlösung:
(a) Substitution y = sin(t), dy = cos(t) dt. Transformation der unteren Grenze: t = 0 ⇒ y = sin(0) = 0. Transformation der oberen Grenze: t = π ⇒ y = sin(π) = 0. Damit ergibt sich:
Z π
cos(t) · esin
2 (t)
Z 0
dt =
0
2
ey dy.
0
2
Da die Intervallgrenzen übereinstimmen, ist das Integral 0: wir brauchen die Stammfunktion von ey gar nicht
zu kennen!
Z π
2
cos(t) · esin (t) dt = 0.
0
(b) Setze y = 1 − t 2 , dy/dt = −2 · t, dt = −dy/(2 · t). Mit t = 0 ⇒ y = 1, t = 1 ⇒ y = 0:
Z 1
2
t · e1−t dt = −
Z 0 y
e
0
(c) Mit y =
1
√
t (⇒ dy = 12 · √1t dt =
1
2·y
2
dy =
1
·
2
Z 1
ey dy =
0
1 y y=1 e − 1
· [e ]y=0 =
.
2
2
dt):
Z ∞√
t · e−t dt =
0
Z ∞
0
2
y · e−y · 2 · y dy .
| {z }
dt
Nun partielle Integration (hier braucht man Augenmaß“, was zu tun ist):
”
Z ∞
Z ∞
h
iy=∞ Z ∞
2
2
2
−y2
−
1
·
(−e
)
dy
=
y · e−y · 2 · y dy = y · (−e−y )
e−y dy
|{z}
|{z}
|
{z
}
|{z}
|
|
{z
}
{z
}
y=0
0
0
0
f (y)
g0 (y)
f (y)
f 0 (y)
g(y)
g(y)
Die Randterme fallen dabei weg:
h
iy=∞
h
iy=b
2
2
2
2
y · (−e−y )
= lim y · (−e−y )
= lim − b · e−b − 0 · (−e−0 ) = 0
y=0
2
b→∞
(denn e−b fällt für b → ∞ schneller als z.B. 1/b2 ).
y=0
b→∞