Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI

Transcription

Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analytische Geometrie
1
VORWORT ................................................................................................................................................ 2
1 MATRIZEN UND VEKTOREN................................................................................................................. 3
2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ...................................................................................................... 7
3 LINEARE ABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN...................................................................................... 11
4 GERADEN ............................................................................................................................................ 12
5 EBENEN IN PARAMETERDARSTELLUNG ......................................................................................... 16
6 EBENEN IN KOORDINATENDARSTELLUNG UND NORMALENFORM ............................................. 22
7 ABSTANDSBERECHNUNGEN............................................................................................................. 27
8 EINE ABITURAUFGABE ...................................................................................................................... 31
9 ANWENDUNGSAUFGABEN................................................................................................................. 34
TIPPS UND TRICKS................................................................................................................................ 47
STICHWORTVERZEICHNIS.................................................................................................................... 48
© 2001 Texas Instruments
2
Materialien zum neuen Lehrplan
Vorwort
Die vorliegende Handreichung ist sowohl für die Lehrerfortbildung wie auch als Vorlage für den
Unterricht gedacht. Die Auswahl der Themen und Befehle entspricht der Konzeption des neuen
Lehrplans 2002 für die Neue Gymnasiale Oberstufe (Klassen 12 und 13) in Baden-Württemberg.
Einige Hinweis zur Benutzung dieser Handreichung:
•
•
•
•
•
•
•
•
Für Neueinsteiger wird empfohlen, zunächst in Teil I - Analysis - das Kapitel „Eine kurze Einführung in das Arbeiten mit dem TI-83 Plus“ – durchzuarbeiten. Dort werden allgemeine Vorgehensweisen und Eigenschaften des Rechners sowie Möglichkeiten, auf Fehler zu reagieren, vorgestellt. Anschließend empfiehlt sich im vorliegenden Teil II die Bearbeitung der Kapitel 1 und 2.
Mit den dort vorgestellten Verfahren kann man die wesentlichen Aufgaben der Analytischen Geometrie und der Linearen Algebra bearbeiten.
Die Inhalte des neuen Lehrplans werden weitgehend mit dem Rechner behandelt. Es ist dabei
anzumerken, dass in manchen Fällen einfacher per Hand gerechnet werden kann, wenn die Zahlen einfach sind wie z.B. bei der Abituraufgabe in Kapitel 8. Generell lässt sich sagen, dass der
Einsatz des Rechners im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen besonders vorteilhaft
ist.
Kapitel 2 hat daher für den Unterricht grundlegende Bedeutung. Die weiteren Kapitel bieten auf
unterschiedlichem Niveau Möglichkeiten, den Rechner für weitere Themen des Oberstufenunterrichts einzusetzen.
Ein weiterer Schwerpunkt dieser Handreichung ist Kapitel 9 für einen anwendungsorientierten
Unterricht, in dem einige komplexere Beispiele ausführlich behandelt werden. Hier zeigen sich
Einsatzgebiete des Rechners, die den Unterricht auch im Hinblick auf Schüleraktivitäten (z.B.
Schülerreferate, Seminararbeiten) bereichern können.
Jedes Kapitel kann weitgehend unabhängig von den anderen bearbeitet werden.
Das Vorgehen ist kleinschrittig, in der Regel wird jeder erforderliche Tastendruck nach dem
angegeben. Die Eingaben sind mit einem Zeichensatz angegeben, der den Tasten des
Symbol
Rechners entspricht. Nur Ziffern bei Zahleneingaben in Termen und Buchstaben von Variablen
sind in der Regel nicht in diesem Zeichensatz wiedergegeben. Bei der Eingabe sollte man verfolgen, was die Tastenfolgen bewirken, damit man Fehler leichter korrigieren kann.
Es wird nur ein minimaler Befehlssatz verwendet, der sich in der Unterrichtspraxis bewährt hat.
Im Vordergrund steht das Arbeiten mit Matrizen und linearen Gleichungssystemen.
Mit der Zeit wird man sich von der engen Führung lösen, die diese Einführung bietet. Anfangs
sollte man sich auf die Möglichkeiten des Rechners im Umgang mit linearen Gleichungssystemen
konzentrieren, die in Kapitel 2 zu einem großen Teil erklärt sind. Man studiere dort genau den
Umgang mit Matrizen, damit man das Prinzip erkennt. Mit ein wenig Übung wird der Rechner
dann ohne große Probleme auch ohne Vorlage zu bedienen sein.
Diese Einführung kann nicht das Handbuch ersetzen, in dem alle Möglichkeiten des Rechners beschrieben sind. Hier geht es eher darum, mit möglichst wenig Aufwand ein unterrichtsorientiertes
Kennenlernen des Rechners zu ermöglichen.
Das Material kann auch für den TI-83 verwendet werden. Für den TI-82 ist es wegen des fehlenden
Gaußverfahrens nur sehr eingeschränkt verwendbar.
3
1 Matrizen und Vektoren
I Eingeben und Korrigieren von Matrizen und Vektoren
Matrizen geben wir mit dem Matrixeditor ein.
Vektoren können wir als einspaltige Matrizen oder als Listen eingeben. Die Eingabe eines Vektors
als Matrix ist dann sinnvoll, wenn man z.B. Gleichungssysteme bearbeiten will. Die Eingabe als Liste
ist dann sinnvoll, wenn man es mit Skalarprodukten zu tun hat. Falls nötig, kann man die Matrixdarstellung in die Listendarstellung umformen und umgekehrt.
 1 −1 1
2


 
Beispiel: Die Matrix A =  0 1 1  und der Vektor b =  − 1 sollen eingegeben werden.
 3 − 3 3
4


 
Wir geben die Matrix mit dem Matrix-Editor ein:
(
)
Es erscheint ein Matrixeingabefeld für die Matrix A.
Zunächst legen wir die Dimension fest:
Wir geben nun zeilenweise die Matrix ein:
1
–1
1
0
1
1
3
–3
3
Ebenso geben wir den Vektor b als 3 x 1 – Matrix ein:
2
–1
4
& "!$# %
'
(
)
*
& ' (+*
Im Home-Bildschirm können wir uns die Matrizen anzeigen lassen:
(
)
'(,,) -
.#%
Falls eine Korrektur vorgenommen werden soll, gehen wir wie bei einer Neueingabe mit
(
) in den Matrix-Editor, bewegen dort den Cursor mit den Pfeiltasten an die
gewünschte Stelle und geben die Korrektur ein.
Die Verwendung der Listendarstellung bei Vektoren wird in Abschnitt III behandelt. In den folgenden Kapiteln verwenden wir die Darstellung, mit der sich möglichst übersichtlich und einfach arbeiten lässt.
4
II Elementare Berechnungen mit Matrizen und Vektoren in Matrixdarstellung
Die Matrix A und der Vektor b seien wie unter I. eingegeben. Zusätzlich geben wir wie bei I. be − 1
 
schrieben noch den Vektor d =  2  ein.
6
 
Die folgenden Berechnungen werden im Home-Bildschirm durchgeführt:
(
)
Vervielfachen
Wir multiplizieren den Vektor b mit –4:
4
Linearkombinationen
Wir berechnen 3b − 2d :
3
2
Matrizenmultiplikation
!"#
Wir multiplizieren die Matrix A mit Vektor b und speichern das
Ergebnis als Matrix C:
Skalarmultiplikation
$ %&'#
Wir bestimmen das Skalarprodukt der Vektoren b und d , indem
T
wir b ⋅ d berechnen:
Betrag eines Vektors
$$ &
%
#
( )*(+-,-./0.1-1-2
Wir bestimmen den Betrag des Vektors b , indem wir zunächst
T
b ⋅ b berechnen und dann aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen:
T
Da das Vorgehen etwas umständlich ist ( b ⋅ b liefert zunächst eine
1x1-Matrix, von der der Wert extrahiert werden muss, kann man
hier einfacher unmittelbar 21 eingeben.
Determinante
Wir bestimmen die Determinante der Matrix A:
Invertieren
Da A nicht invertierbar ist, ändern wir A zunächst ab, indem wir
das Element A(1,1) durch 2 ersetzen. Das können wir mit dem
Matrix-Editor oder direkt im Homebildschirm vornehmen:
2
1
1
Nun ist die Determinante von Null verschieden und wir können
A-1 berechnen.
Dazu geben wir ein:
Falls eine Matrix nicht auf den Bildschirm passt, kann man mit Hilfe der Pfeiltasten den Bildschirmausschnitt verschieben.
Wir stellen die Elemente der Inversen noch mit Brüchen dar:
Zusammenfügen von Matrizen gleicher Zeilenzahl
Matrix A soll um den Vektor b erweitert werden:
III Elementare Berechnungen mit Vektoren in Listendarstellung
In manchen Zusammenhängen ist es einfacher, Vektoren als Listen zu bearbeiten.
Eingabe eines Vektors als Liste
! " " #$% &'
( )&*'
Wir geben den Vektor b als Liste
ein:
2
–1 4
Vervielfachen
Wir multiplizieren den Vektor b mit –4:
4
5
6
Linearkombinationen
Wir geben den Vektor d als Liste
-1
2
6
3
2
ein und berechnen 3b − 2d :
Skalarmultiplikation
()()*&+&,-. "!$#
% &'
/0/1
Wir bestimmen das Skalarprodukt der Vektoren b und d , indem
wir den
-Befehl aus dem Menu
verwenden:
Bemerkung: Durch den Befehl
wird eine Liste erzeugt, die
das Produkt entsprechender Listenelemente erhält.
Betrag eines Vektors
Wir bestimmen den Betrag des Vektors b , indem wir zunächst
das Skalarprodukt von b mit sich selbst berechnen und dann aus
dem Ergebnis die Wurzel ziehen:
2 &34&'
()()*&+34--.
2 5
67
8
9)9)9)9)::55;;A45=<= =>@?
5
A5 4A45558
8
9)9):5<A4===B
C
DEF$G"E"E
Winkel zwischen Vektoren
Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren b und d :
Dabei ist ggf. mit der
–Taste der Winkelmodus auf
einzustellen.
Bei solch langen Formeln ist es übrigens zu empfehlen, Zwischenergebnisse abzuspeichern.
Umwandeln der Matrixdarstellung in Listendarstellung
Wir wandeln den in Abschnitt I als Matrix B eingegebenen Vektor
mit dem Befehl
aus dem
– Menu um in
die Liste :
A
Zur Kontrolle ist
ausgegeben mit
\
j
H
I
L
J
K
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
L
W
X
Y
Z [ _)` ]acbd]efg
]^
klm h i
n
i
n op q r s$t qLu n op q v w xy
z{
|~} zzc
zc
Umwandeln der Listendarstellung in Matrixdarstellung
Wir wandeln den zuvor als Liste
eingegebenen Vektor mit dem
Befehl
aus dem
– Menu um in die Matrix E:
j

Zur Kontrolle ist E ausgegeben mit
7
2. Lineare Gleichungssysteme
(reduced row echolon form) zur DurchfühDer TI-83 verfügt über den eingebauten Befehl
rung des Gaußverfahrens für lineare Gleichungssysteme. Es ist aber auch möglich, das Gaußverfahren schrittweise durchzuführen.
I. Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung
Gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems
2x – 2y + 3z = 0
-x + 2y – 5z = 7
3x – 4y + 7z = -6
Wir legen die Dimension der erweiterten Matrix fest und geben die
Koeffizienten des Systems ein:
( )
2
-1 3
-2 2
-4 3
-5 7
0
7
-6 Wir schalten in den Home-Bildschirm zurück:
( ! )
Mit dem Befehl rref wird auf die Matrix A das Gaussverfahren
angewandt; in der letzten Spalte lesen wir die Lösung ab.
"
#
"%$&
B
Mit
'($
können wir das Ergebnis noch als Bruch ausgeben.
7
Wir erhalten die Lösung x = 5, y = , z=-1.
2
II. Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
2x – 2y + 3z = 0
x – 2y + 4z = 7
3x – 4y +7z = -6
"
$
( )*! )
2
1
3
-2 -2 -4 3
4
7
0
7
-6 © 2001 Texas Instruments
8
Wir schalten in den Home-Bildschirm zurück:
(
)
Mit dem Befehl rref wird auf die Matrix A das Gaussverfahren
angewandt.
B
Da die letzte Zeile der Lösungsmatrix aber den Widerspruch
0x + 0y + 0z = 1 beinhaltet, hat das System keine Lösung.
III. Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
2x – 2y + 3z = 0
x – 2y + 4z = -6
3x – 4y + 7z = -6
(
)
2
1
3
-2
-2
-4
3
4
7
0
-6
-6
(
)
Mit dem Befehl
wird auf die Matrix A das Gaußverfahren
angewandt.
B
Die letzte Zeile der Lösungsmatrix zeigt, dass eine Variable als
Parameter gewählt werden kann, z.B. z=t. Daraus ergibt sich mit
Hilfe der anderen Matrixzeilen die Lösung
x = 6 + t, y = 6 + 2.5t, z = t.
IV. Schrittweise Durchführung des Gaußverfahrens
Wir bestimmen schrittweise mit Hilfe von elementaren Zeilenäquivalenzumformungen die Lösung
des linearen Gleichungssystems
2x – 2y + 3z = 0
-x + 2y – 5z = 7
3x – 4y + 7z = -6
(
)
2
-1
3
-2
2
-4
3
-5
7
0
7
-6
Wir schalten in den Home-Bildschirm zurück und geben die Matrix
A aus:
Bei den folgenden Umformungen verwenden wir jeweils die zuletzt
abrufen. So bleibt die
angezeigte Matrix, die wir mit
Ausgangsmatrix erhalten.
Mit dem Befehl
(n,A,z1,z2) wird das n-fache der Zeile z1
zur Zeile z2 addiert. Wir addieren zunächst das 0,5-fache der Zeile
1 zur Zeile 2:
F 0.5
1 2
So wird das Element A(2,1) zu Null.
Analog fahren wir fort1 und bringen die Matrix schrittweise auf die
Form, die auch der Befehl
in einem Schritt liefert.
Wir addieren das –3/2-fache der Zeile 1 zur Zeile 3:
F –1.5
1 3
"!
"!
# $ # # '% &
()(*
# $ # # '% &
"!
$ # # %'&
#
Wir addieren das 1-fache der Zeile 2 zur Zeile 3:
F1
2 3
"!
$ # # %'&
#
Wir addieren das –3,5-fache der Zeile 3 zur Zeile 2:
F -3.5
3 2
"!
$ # # %'&
#
F3
3 1
1
Es ist unnötig, alles neu einzugeben. Wenn die erste Berechnung vorgenommen wurde, geben wir einfach
ein. In der dann erscheinenden wiederholten Eingabe brauchen wir nur die Änderungen vorzunehmen.
+-,
9
10
F2
2 1
ermöglicht noch die Multiplikation
Der Befehl
der Zeile z der Matrix A mit dem Faktor n.
Um in der Hauptdiagonale Einsen zu erhalten, multiplizieren wir
daher noch die 1. Zeile mit 0.5 und die dritte mit –1 und erhalten
die Form, die auch der Befehl
in einem Schritt liefert (vgl.
Seite 7):
E 0.5
1
!! "
#
$
%
" #$%
&& ""' ' & & (( ) )
E -1
3
Wir erhalten aus der hinteren Spalte die Lösung
7
x = 5, y = , z=-1.
2
6 789:
*+,.- *+,
/0121354
Neben den Befehlen
und
steht außerdem noch der Befehl
(A,z1,z2) zum
Vertauschen der Zeilen z1 und z2 einer Matrix A zur Verfügung, den man mit der Tastenfolge
C
eingibt.
11
3 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Wir beschränken uns auf Vektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum. Die Vorgehensweise
kann aber auf andere Dimensionen übertragen werden.
1 
 4
2 
 
 
 
Die Vektoren a =  2 , b =  0 , c =  − 4  sollen auf lineare Abhängigkeit überprüft werden.
 − 3
1 
7 
 
 
 
Sie sind genau dann linear abhängig, wenn das lineare Gleichungssystem xa + yb + zc = 0 unendlich
viele Lösungen besitzt. Um das zu untersuchen, können wir wie in Abschnitt 2-III vorgehen. Bei der
erweiterten Matrix können wir der Einfachheit halber die Spalte mit dem Nullvektor weglassen.
Wir geben die Matrix ein, die wir aus den Spalten der Vektoren
erhalten. Dazu legen wir die Dimension der Matrix fest und geben
die Koeffizienten des Systems ein:
1
2
-3
4
0
1
2
-4
7
Wir schalten in den Home-Bildschirm zurück
(
)
und wenden den Befehl rref auf die Matrix A an:
B
Die letzte Zeile der umgeformten Matrix zeigt, dass es unendlich
viele Lösungen des obigen Systems gibt; die Vektoren sind also
linear abhängig.
Wenn nur zwei Vektoren auf lineare Abhängigkeit geprüft werden, können wir nicht so vorgehen
wie im vorhergehenden Beispiel, da der Befehl rref verlangt, dass die Anzahl der Spalten mindestens
so groß sein muss wie die Anzahl der Zeilen.
Meist überblicken wir in diesem Fall sofort, ob lineare Abhängigkeit vorliegt, da die Komponenten
des ersten Vektors gleiche Vielfache der Komponenten des zweiten Vektors sein müssen. Wollen wir
das obige Verfahren dennoch verwenden, so verwenden wir die um den Nullvektor erweiterte Matrix. Wir untersuchen auf diese Weise, ob die Vektoren a , b linear abhängig sind.
Wir geben die zugehörige erweiterte Matrix ein. Dazu legen wir
die Dimension der Matrix fest und geben die Koeffizienten des
Systems ein:
1
2
-3
4
0
1
0
0
0
Wir schalten in den Home-Bildschirm zurück
(
)
und wenden den Befehl rref auf die Matrix A an:
B
Die letzte Zeile der umgeformten Matrix ist nun bedeutungslos, da
es nur zwei Variable gibt, die Vektoren sind also linear unabhängig.
12
4 Geraden
Wir betrachten die Behandlung von Geraden am Beispiel der Geraden g durch die Punkte A(3|-1|2)
und B(8|1|-1).
Wir geben die zugehörigen Ortsvektoren a , b ein als Matrizen A
bzw. B wie in 1-I beschrieben. Dann berechnen wir einen Richtungsvektor c und speichern ihn als Matrix C ab:
3  5 
   
Es ist also g : x =  − 1 + t  2 , t ∈ ℜ .2
 2   − 3
   
I. Punkte auf einer Geraden
Ein Punkt X(x|y|z) liegt genau dann auf g, wenn es eine reelle Zahl t gibt, so dass für den zugehörigen Ortsvektor x gilt: x = a + tc
Wir bestimmen den Punkt X auf g zum Parameter t=2:
2
Es gilt also X(13|3|-4).
II. Punktprobe
Liegen die Punkte D(1|-2|3) bzw. E(-7|-5|8) auf g?
Der Punkt D liegt genau dann auf g, wenn es eine reelle Zahl t gibt, so dass für den zugehörigen
Ortsvektor d gilt: d − a = tc . Die Vektoren d − a und c müssen dann linear abhängig sein. Die
zugehörige Untersuchung können wir durchführen wie in Abschnitt 3 beschrieben.
Einfacher ist meist folgendes Vorgehen.
Wir geben den Vektor d ein als Matrix D wie in 1-I beschrieben.
Dann geben wir die Vektoren d − a und c aus:
Wir erkennen unmittelbar, dass die Vektoren nicht Vielfache voneinander sind, also liegt D nicht auf g.
Entsprechend gehen wir für E vor. Nach Eingabe von E vergleichen wir e − a und c :
Wir erkennen unmittelbar, dass die Vektoren Vielfache voneinander sind, also liegt E auf g.
2
Dass die Parameter reelle Zahlen sind, wird wir im Folgenden stillschweigend vorausgesetzt.
13
Als übersichtlichere Variante können wir mit Hilfe des Befehls
auch beide Vektoren in einer Matrix ausgeben:
III. Lage von Geraden zueinander
 − 6  1 
   
Wie liegt die Gerade h : x =  − 6  + t  − 1 bzgl. der Geraden g?
 9  1 
   
Wir speichern zunächst den Stützvektor von h als Matrix D und den Richtungsvektor als Matrix E,
wie in 1-I beschrieben.
g und h haben genau dann mindestens einen Punkt gemeinsam, wenn es reelle Zahlen s und t gibt, so
dass a + sc = d + te bzw. das lineare Gleichungssystem sc − te = d − a mindestens eine Lösung hat.
Wir erzeugen in zwei Schritten mit dem Befehl augment die Matrix
F mit den Spalten c , − e , d − a , also die erweiterte Matrix des
Gleichungssystems:
!
Wir setzen den Befehl rref zur Lösung des Gleichungssystems ein:
"
B
Wir erkennen, dass das Gleichungssystem folgende Lösung hat:
s=-2, t=-1.
Es gibt also genau einen gemeinsamen Punkt S von g und h, den
wir wie unter I. beschrieben berechnen:
Wir bestimmen den Punkt S auf g zum Parameter s=-2:
2
Es ist also S(-7|-5|8).
Ebenso hätten wir S auf h zum Parameter t=-1 bestimmen können.
14
 − 6  1 
   
Wir ändern nun bei der Geraden h den Stützvektor ab, so dass h : x =  − 6  + t  − 1 ; entsprechend
 8  1 
   
ändern wir den Stützvektor von h in der Matrix D. Dann gehen wir analog wie oben vor.
Gleichungssystems:
B
Wir erkennen an der letzten Zeile, dass das Gleichungssystem keine
Lösung hat, denn sonst müsste gelten:
0⋅s + 0⋅t = 1.
Die Geraden sind also windschief, denn sie haben keinen Schnittpunkt und sind auch nicht parallel.
Wir untersuchen noch, wie sich das obige Verfahren bei parallelen bzw. identischen Geraden darstellt.
13   5 
   
Es sei h die zu g parallele Gerade h : x =  3  + t  2  . Der Richtungsvektor sei in der Matrix E
 − 4   − 3
   
entsprechend abgeändert.
Gleichungssystems:
Da die Spaltenvektoren offenbar linear abhängig sind, sind g und h
parallele Geraden. Es bleibt zu untersuchen, ob g und h verschieden sind.
B
Wir erkennen an der zweiten Zeile, dass das Gleichungssystem
keine Lösung hat, denn sonst müsste gelten:
0⋅s + 0⋅t = 1.
Also sind g und h nicht identisch.
Abschließend noch der Fall identischer Geraden.
 − 6 5 
   
Es sei h : x =  − 6  + t  2  . Der Stützvektor sei in der Matrix D entsprechend abgeändert.
 9   − 3
   
Gleichungssystems:
Da die Spaltenvektoren offenbar linear abhängig sind, sind g und h
parallele Geraden.
B
Wir erkennen an der zweiten und dritten Zeile, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, wobei wegen Zeile 1
gilt:
s −t = 2.
Also sind g und h identisch.
15
16
5 Ebenen in Parameterdarstellung
Wir betrachten die Behandlung von Ebenen am Beispiel der Ebene E1 durch die Punkte A(2|0|1),
B(3|3|6) und C(4|-1|2). Wir geben die zugehörigen Ortsvektoren a , b , c ein als die Matrizen A, B
bzw. C wie in 1-I beschrieben.
Dann berechnen wir zwei Spannvektoren d , e und speichern sie als
Matrizen D und E ab:
 2  1   2 
     
Es ist also E1 : x =  0  + s  3  + t  − 1.
1   5  1 
     
I. Punkte auf einer Ebene
Ein Punkt X(x|y|z) liegt genau dann auf E1, wenn es reelle Zahlen s bzw. t gibt, so dass für den zugehörigen Ortsvektor x gilt: x = a + sd + te .
Wir bestimmen den Punkt X auf E1 zu den Parametern s=-3 und
t=2:
3
2
Es gilt also X(3|-11|-12).
II. Punktprobe
Liegt der Punkt F(-7|-5|8) auf E1?
Der Punkt F liegt genau dann auf E1, wenn es reelle Zahlen s und t gibt, so dass für den zugehörigen
Ortsvektor f gilt: f − a = sd + te . Die Vektoren f − a , d und e müssen dann linear abhängig sein.
Die zugehörige Untersuchung können wir durchführen wie in Abschnitt 3 beschrieben.
Einfacher ist meist folgendes Vorgehen.
Wir geben den Vektor f ein als Matrix F wie in 1-I beschrieben.
mit den Spalten f − a , d und e :
17
Wir setzen den Befehl rref zur Untersuchung der linearen Abhängigkeit ein:
B
Da also die Vektoren linear unabhängig sind, liegt F nicht auf E1.
III. Lage von Ebene und Gerade zueinander
 2  1 
   
Wie liegt die Gerade g : x =  2  + t  − 1 bzgl. der Ebene E1?
 1  1 
   
Wir speichern zunächst den Stützvektor f von g als Matrix F und den Richtungsvektor g als Matrix G, wie in 1-I beschrieben.
E1 und g haben genau dann mindestens einen Punkt gemeinsam, wenn es reelle Zahlen r, s, t gibt, so
dass a + sd + te = f + rg bzw. wenn das lineare Gleichungssystem − rg + sd + te = f − a mindestens
eine Lösung hat.
Wir erzeugen in drei Schritten3 mit dem Befehl augment die Matrix
mit den Spalten − g , d , e , f − a , also die erweiterte Matrix des
Gleichungssystems:
3
Es ist unnötig, alles neu einzugeben. Wenn die erste Berechnung vorgenommen wurde, geben wir einfach
ein. In der dann erscheinenden wiederholten Eingabe brauchen wir nur die Änderungen vorzunehmen.
18
B
Wir erkennen, dass das Gleichungssystem folgende Lösung hat:
r=2,25; s=0,25; t=1.
Es gibt also genau einen gemeinsamen Punkt S(Schnittpunkt) von
E1 und g, den wir wie unter I. beschrieben, berechnen:
Wir bestimmen den Punkt S auf g zum Parameter r=2,25:
2.25
Es ist also S(4,25|-0,25|3,25).
Ebenso hätten wir S auf E1 zu den Parametern s=0,25 und t=1
bestimmen können.
Wir untersuchen noch, wie sich das obige Verfahren darstellt, wenn E1 und g parallel sind.
5 3
   
Dazu betrachten wir die zu E1 parallele Gerade g : x =  2  + t  2  . Wir speichern zunächst den
7 6
   
Stützvektor f von g als Matrix F und den Richtungsvektor g als Matrix G, wie in 1-I beschrieben.
Wir erzeugen in drei Schritten mit dem Befehl augment die Matrix
F mit den Spalten − g , d , e , f − a , also die erweiterte Matrix des
Gleichungssystems:
19
B
Wir erkennen an der letzten Zeile, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.
Also liegt g in E1.
In der letzten Zeile hätte sich ein Widerspruch ergeben, wenn g und
E keinen gemeinsamen Punkt hätten.
III. Lage von Ebenen zueinander
 2  1   − 1
     
Wie liegt die Ebene E2 : x =  2  + u  − 1 + v  0  bzgl. der Ebene E1?
1  1   2 
     
Wir speichern zunächst den Stützvektor f von E2 als Matrix F und die Spannvektoren g bzw. h als
Matrizen G bzw. H, wie in 1-I beschrieben.
E1 und E2 haben genau dann gemeinsame Punkte, wenn es reelle Zahlen r, s, u, v gibt, so dass
a + sd + te = f + ug + vh bzw. wenn das lineare Gleichungssystem sd + te − ug − vh = f − a Lösungen hat.
Wir erzeugen in vier Schritten mit dem Befehl augment die Matrix
mit den Spalten d , e , − g , − h , f − a , also die erweiterte Matrix
des Gleichungssystems:
20
B
Wir lassen die Ergebnismatrix noch mit Brüchen darstellen:
Wir erkennen aus der letzten Zeile, dass die Bedingung
11
9
u = − v + gilt.
4
4
Diese Beziehung setzen wir in die Gleichung von E2 ein.
 17   15 

 − 
4   4
 1   11 
x =  −  + v
4
4 

 

 13   − 3 

 

4   4 
 2
1 
 1   − 1
  9   11    
x =  2  +  − 1 − v  − 1 + v  0  ;
 1  4 1  4 1   2 
 
 
   
Das ist die Gleichung der Schnittgerade von E1 und E2.
Wir untersuchen noch, wie sich das obige Verfahren darstellt, wenn E1 und E2 parallel sind.
 2   3   − 1
     
Es sei E2 : x =  2  + u  2  + v  4  .
1   6   4 
     
Wir speichern zunächst den Stützvektor f von E2 als Matrix F
und die Spannvektoren g bzw. h als Matrizen G bzw. H, wie in 1-I
beschrieben und gehen vor wie oben (Details sind ausgelassen).
Als erweiterte Matrix des zugehörigen Gleichungssystems erhalten
wir dann die nebenstehende Matrix.
21
B
Wir erkennen in der letzten Zeile die nicht erfüllbare Bedingung
0⋅ s + 0⋅ t + 0 ⋅u + 0⋅ v = 1.
Daher sind E1 und E2 parallel und haben keinen Punkt gemeinsam.
Identische Ebenen können wir daran erkennen, dass in der letzten Zeile der entsprechenden Matrix
nur Nullen auftreten.
22
6 Ebenen in Koordinatendarstellung und Normalenform
I. Von der Parameterdarstellung zur Koordinatendarstellung
 2   3  1 
     
Die Parametergleichung der Ebene E : x =  2  + s  − 5  + t  − 1 soll in Koordinatenform umgewan1   7  1 
     
delt werden.
x
1   0   0 
 
     
Mit dem Vektor x =  y  = x  0  + y 1  + z  0  können wir die Parametergleichung folgendermaßen
z 
 0   0  1 
 
     
 3  1   − 1
0  0   − 2
     
     
darstellen: s  − 5  + t  − 1 + x  0  + y  − 1 + z  0  =  − 2 
 7  1   0 
 0   − 1  − 1 
     
     
In diesem linearen Gleichungssystem eliminieren wir die Parameter s und t, um die Koordinatenform
zu erhalten.
Wir geben die erweiterte Matrix A des Systems mit dem MatrixEditor ein, wie in 1-I beschrieben:
(
)
3
1
-1
0
0
-5
-1
0
-1
0
7
1
0
0
-1
-2
-2
-1
Im Home-Bildschirm wenden wir den Befehl rref auf die Matrix A
an:
(
)
B
Wir rollen mit den Pfeiltasten durch die ausgegebene Matrix, damit
wir sie vollständig überblicken können:
( ... )
An der letzten Zeile erkennen wir, dass die Parameter s und t eliminiert sind. Daher ergibt sich daraus die Koordinatenform von E:
x + 2y +z = 7
23
II. Von der Parameterdarstellung zur Normalenform
 2   3  1 
     
Wir beziehen uns auf das Beispiel von Teil I, also E : x =  2  + s  − 5  + t  − 1 .
1   7  1 
     
1. Weg: In Teil I haben wir die Koordinatenform E: x + 2y +z = 7 von E ermittelt.
1 
 
Da die Koeffizienten bei der Koordinatendarstellung einen Normalenvektor n =  2  der Ebene E
1 
 
ergeben, benötigen wir nur noch einen Punkt der Ebene, z.B. P(1|2|2), dessen Koordinaten die Glei
1   1 

   
chung von E erfüllen. Damit ergibt sich als Normalenform von E:  x −  2   ⋅  2  = 0 .

 2   1 
   

 n1 
 
2. Weg: Ein Normalenvektor n =  n 2  von E ist eine vom Nullvektor verschiedene Lösung des linen 
 3
 3   n1 
1   n1 
   
   
aren Gleichungssystems  − 5  ⋅  n2  = 0 ∧  − 1 ⋅  n 2  = 0 .
7   n 
1   n 
   3
   3
Wir geben die Matrix A des Systems mit dem Matrix-Editor ein,
wie in 1-I beschrieben:
(
)
3
-5
7
1
-1
1
an:
(
)
B
Setzen wir n3 =t (t beliebig reell, von Null verschieden) , so folgt
aus der letzten Zeile n1 =t und n 2 =2t,
1 
 
also n = t ⋅  2  . Die Normalenform ergibt sich damit wie bei Weg 1.
1 
 
24
3. Weg: Ein Normalenvektor von E ergibt sich auch als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren
von E. Da der TI-83 keinen eingebauten Befehl für das Kreuzprodukt hat, kann man ein kleines Programm zur Berechnung des Kreuzproduktes verwenden.
 u1   v1   u 2 v 3 − u3 v 2 
    

Allgemein gilt:  u 2  ×  v 2  =  u3 v1 − u1 v3  .
u  v  u v − u v 
2 1 
 3  3  1 2
! ! Zur Eingabe des Programms geben wir ein:
KREUZP
Dabei sind die Buchstaben des Programmnamens ohne Drücken
der
–Taste und anschließend
einzugeben.
Wir geben die Programmzeilen ein; jede Zeile mit
abschließen. Dabei werden die Vektoren in die Listen L1, L2
eingelesen und als Liste L3 ausgegeben.
0
“
“
“
“
Wir gehen zurück zum Home-Bildschirm:
und rufen unser Programm auf: 4
(ggf. ... bis zum betreffenden Namen)
3
–5
7
1
–1
1
2
 
Als Ergebnis wird ein Normalenvektor in Listendarstellung, hier  4  ausgegeben. Die Normalen2
 
form erhalten wir dann wieder wie bei Weg 1.
"
III. Lage von Ebene und Gerade zueinander
 − 3  1 
   
Wie liegt die Gerade g : x =  2  + t  − 1 bzgl. der Ebene E: x + 2y +z = 7 ?
1   4 
   
"
"
Wir speichern zunächst den Stützvektor f von g als Liste L1 und den Richtungsvektor g als Liste
L2, wie in 1-I beschrieben.
4
# $&%
Sollte das Programm nicht laufen, so gehen wir wieder in den Programmeditor (
Programmnamen eingeben) und korrigieren, falls etwas nicht richtig eingegeben wurde.
Nummer vor dem
E und g haben genau dann mindestens einen Punkt gemeinsam, wenn es eine reelle Zahl t gibt, so
dass − 3 + t + 2( 2 − t ) + 1 + 4t = 7 .
Diese Gleichung lösen wir mit dem Solver, einem komfortablen Gleichungslöser.
Wir rufen den Solver folgendermaßen auf:
den Cursor in die obere Zeile steuern)
(ggf. mit
"!
# $ % &(')+*
,, -/-/.01 2 -/34
, 504 678:9;"<
Nun geben wir die obige Gleichung ein. Es ist zu beachten, dass
auf einer Seite der Gleichung (nach Vorgabe) Null steht. Statt t als
Variable verwenden wir x, da das einfacher einzutippen ist:
-3
2
2
1 4
7
Nach Übergabe der Gleichung mit
erscheint eine Eingabezeile für die Lösungsvariable, in die wir eine
Schätzung als Startwert für das Berechnungsverfahren eingeben
können. In der Zeile mit
können wir den Definitionsbereich
der Lösungsvariable eingeben.
In unserem Falle können wir es bei der Voreinstellung belassen.
Nun lassen wir die Gleichung lösen mit dem Befehl
5
. Die
3
letzte Zeile gibt eine Information darüber, wie genau die (numerisch bestimmte) Lösung ist, in unserem Falle wird angezeigt, dass
die Lösung in einem Intervall der Länge
liegt, also
im Rahmen der Rechnergenauigkeit exakt ist.
Es gibt also einen Schnittpunkt S, den wir nun im HomeBildschirm berechnen können:
Nach kurzer Zeit erscheint die Lösung x ≈ 1,67 bzw. x =
Dabei ist bemerkenswert, dass wir die im Solver berechnete Lösung für X im Home-Bildschirm direkt verwenden können.
Mit
können wir die Lösung noch mit Brüchen darstellen. Es gilt also
 4 1 23 
S −
.
 33 3 
Die letzte Zeile zeigt noch die Probe, dass S auf E liegt.
25
26
Wir untersuchen noch, wie sich das obige Verfahren darstellt, wenn E und g parallel sind.
 1  1 
   
Wie liegt die Gerade g : x =  2  + t  − 1 bzgl. der Ebene E: x + 2y +z = 7 ?
 1  1 
   
Wenn E und g einen gemeinsamen Punkt haben, gibt es eine reelle Zahl t, so dass
1 + t + 2(2 − t ) + 1 + t = 7 . Wir versuchen, diese Gleichung zu lösen.
Wir geben wie zuvor im Solver die Gleichung ein:
1
2 2
1
7
Wir lassen alle Voreinstellungen und versuchen, die Gleichung zu
lösen:
Nach einiger Zeit erscheint dann die nebenstehende Fehlermeldung.
Das numerische Verfahren hat offenbar keinen Vorzeichenwechsel
bei der Nullstellenberechnung gefunden
Es gibt daher keine Lösung, und wir schließen daraus, dass E und g
parallel sind und dass g nicht in E liegt.
!"$#%&'")('*+
Wenn g in E liegt, liefert der Solver jedes beliebige X, das als Startwert vorgegeben wird, als Lösung. Es sollten also zwei verschiedene Startwerte vorgegeben werden. Kommt bei den Startwerten
jeweils dieselbe Lösung heraus, so haben E und g nur einen Punkt gemeinsam, sonst liegt g in E.
IV. Lage von Ebenen zueinander
Wir gehen davon aus, dass zwei Ebenen in Koordinatenform vorliegen. Ggf. sind die Ebenen mit
einem der in I. beschriebenen Verfahren auf Koordinatenform zu bringen.
Wie liegen die Ebenen E1 : x + 2 y + z = 7 und E2 : x − 7 y − 2 z = −16 zueinander?
Die gemeinsamen Punkte der beiden Ebenen entsprechen der Lösungsmenge des Gleichungssystems
x + 2 y + z = 7 ∧ x − 7 y − 2 z = −16 , die wir wie in Kapitel 2 beschrieben bestimmen.
Wir legen die Dimension der erweiterten Matrix des Systems fest
und geben die Koeffizienten des Systems ein:
, -/.10$0$230$40
, 1 5 25 1 5 7 5
, 1 5 -7 5 -2 5 -16 5
(
)
Mit dem Befehl rref wird auf die Matrix A das Gaußverfahren
angewandt; wir lassen die Lösung in Bruchdarstellung ausgeben.
B
Das Ergebnis bedeutet, dass eine Variable frei wählbar ist, z.B. z=t.
Damit ergibt sich aus der letzten Matrix x =
17 1
23 1
− t, y =
− t, z = t .
9 3
9 3
 17 
 1
 
− 
9 
 3
 23 
 1
Also lautet in Vektordarstellung die Gleichung der Schnittgeraden: x =   + t ⋅  −  , t ∈ ℜ.
9
3
 


0 
1 
 


 


Da der Fall paralleler Ebenen bei Vorgabe von Koordinatendarstellungen ohne weiteres erkennbar
ist, brauchen wir diesen Fall nicht mit dem Rechner zu bearbeiten.
7 Abstandsberechnungen
I. Bestimmen der Hesseschen Normalenform
Die Ebene E : 2 x − 3 y + 5 z + 7 = 0 soll in Hesseform dargestellt werden.
2 
 
Dazu speichern wir den Normalenvektor  − 3  von E als Liste
5 
 
und berechnen das Quadrat seines Betrages:
2
3 5
! " "#$%
$% & Für den nächsten Abschnitt speichern wir noch den Betrag des
Normalenvektors von E in der Variablen N:
N
Also lautet die Hesseform:
2 x − 3 y + 5z + 7
= 0.
38
27
28
II. Abstand eines Punktes von einer Ebene
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|2|3) von der Ebene E : 2 x − 3 y + 5 z + 7 = 0 ?
2 
 
Der Normalenvektor  − 3  sei wie in I. beschrieben in der Liste L1 gespeichert.
5 
 
1 
 
Wir speichern Vektor p =  2  als Liste
3
 
. Wir verwenden den
Betrag des Normalenvektors aus Abschnitt I zur Berechnung des
gesuchten Abstandes (auf die Betragsfunktion verzichten wir):
1
2
3
7
N
IIIa. Abstand Punkt-Gerade – Berechnung mit Schnittpunktmethode
1   − 1
   
Welchen Abstand hat der Punkt P(3|5|4) von der Geraden g : x =  2  + t  2  ?
 3   − 1
   
Wir geben zunächst die zugehörigen Ortsvektoren als Listen ein:
3
5
4
1
2
3
-1
2
-1
Wir bestimmen eine Gleichung der Ebene durch P senkrecht zu g:

 3    − 1

   
 x −  5   ⋅  2  = 0. Das Skalarprodukt bestimmen wir so:

 4    − 1
   

Also lautet die Gleichung der Ebene − x + 2 y − z = 3.
Wir ermitteln nun den Schnittpunkt S dieser Ebene und der Geraden g. Durch Einsetzen der Koordinaten von g in die Ebenengleichung ergibt sich die Gleichung
-(1-t)+2(2+2t)-(3-t)=3 mit der Lösung t=0,5 (vgl. Kap 6-III). Damit berechnen wir den Schnittpunkt S:
0.5
Also ist der Schnittpunkt S(0,5|3|2,5).
Der gesuchte Abstand ist dann der Abstand von S und P:
Also beträgt der Abstand von P zu der Geraden etwa 3,54.
IIIb. Abstand Punkt-Gerade – Berechnung mit Orthogonalprojektion
3
 
Wir betrachten dasselbe Beispiel wie in IIIa und verwenden dabei die Bezeichnungen p =  5  ,
 4
 
1 
 − 1
 
 
a =  2 , u =  2  . Der Abstand des Punktes P zu g ist wie in IIIa die Länge des Lotvektors
3
 − 1
 
 
n = SP . Um ihn zu bestimmen, kann man auch die Orthogonalitätsbedingung ( p − a − tu ) ⋅ n = 0
( p − a) ⋅u
( p − a) ⋅u
verwenden, die für den Parameter t =
ergibt und somit n = p − a −
u.
2
u
u2
Wir geben die Vektoren p, a , u , p − a als Listen ein:
3
1
-1
5
2
2
4
3
-1
Wir bestimmen den Parameter t:
Wir bestimmen n und schließlich den Betrag von n :
Das Ergebnis stimmt mit dem von IIIa überein.
29
30
IV. Abstand windschiefer Geraden
Welchen Abstand haben die Geraden
6
4 
 4
0 
 
 
 
 
g : x = a + tu und h : x = b + tv mit a = 1 , u =  − 1 , b =  0 , v =  − 1 ?
4
 − 6
3
3 
 
 
 
 
Wir geben zunächst die Stützvektoren als Listen ein:
6
1
4
4
0
3
Den Abstand der Geraden berechnen wir gemäß der Formel
b − a ⋅n
d=
, wobei n = u × v . Zunächst berechnen wir n , z.B.
n
(
)
mit dem Verfahren von Kap 6-II, Weg 2. Zunächst geben wir die
Matrix A ein:
4
1
-6
0
-1
3
an:
(
)
B
Setzen wir n3 =4t (t beliebig reell, von Null verschieden) , so folgt
3 
 
aus der letzten Zeile n1 =3t und n 2 =12t, also z.B. n = 12  .
4 
 
!
"
!
$
%
!
&
'
#
#
!%()!. *'++,!&()$-$
Den Normalenvektor speichern wir ab als
3
12
, seinen Betrag als :
4
N
!. *+' +,"!/0!1$!&$2
Nun können wir die obige Formel für d auswerten, die Betragsfunktion lassen wir weg:
N
Der Abstand der Geraden beträgt also etwa 1,69.
31
8 Eine Abituraufgabe5
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|2|3), B(4|5|3), C(1|2|10), D(1|0|5),
F(-3|4|2) und die Ebene E durch x – y = -1 gegeben. Der Punkt C liegt in der Ebene E.
a) Weisen Sie nach, dass die durch die Punkte A und B verlaufende Gerade in der Ebene E liegt.
Geben Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte dieser Ebene mit den Koordinatenachsen an und
beschreiben Sie die Lage der Ebene im Koordinatensystem.
b) Durch die Punkte D und F verläuft die Gerade g.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts und den Schnittwinkel der Geraden g mit der
Ebene E.
c) Ein Punkt Q wird an der Ebene E gespiegelt. Der Bildpunkt ist Q’(-4|-1|11).
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q und den Abstand der Punkte Q und Q’.
d) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche von Pyramiden, deren Volumen 14 beträgt. Ermitteln Sie
die Höhe einer solchen Pyramide.
Jede Spitze dieser Pyramiden liegt in genau einer von zwei parallelen Ebenen.
Ermitteln Sie für diese Ebenen je eine Gleichung.
Vorbemerkung zur Lösung:
Grundsätzlich ist bei jeder Rechnung zu entscheiden, ob der Einsatz des Rechners sinnvoll ist. Wir
werden den Rechner hier auch für Aufgabenteile einsetzen, die vielleicht - abhängig von der Vertrautheit im Umgang mit dem Rechner - besser ohne Rechner bearbeitet werden können. Denn es ist
Zweck dieser Handreichung, möglichst viele Einsatzmöglichkeiten des Rechners aufzuzeigen.
a) Wir erkennen ohne weiteres, dass die Punkte A und B in E liegen, also liegt auch die durch A und
B verlaufende Gerade in E. Auch die Durchstoßungspunkte der Koordinatenachsen durch E ermitteln wir ohne Rechner:
Px: y=0, z=0 ergibt x=-1, also Px(-1|0|0)
Py: x=0, z=0 ergibt y=1, also Py(0|1|0)
Px: y=, z=0 ergibt 0=-1, also existiert kein Schnittpunkt der Ebene E mit der z-Achse, E ist parallel
zur z-Achse.
b) Wir speichern den Ortsvektor d zum Punkt D als Liste L1 und
den Richtungsvektor u = DF der Geraden g als Liste L2:
1
-3
0
4
5
2
1   − 4 
   
Es ist also g : x =  0  + t  4  .
5  − 3 
   
Der Parameter t für den Schnittpunkt S von E und g ergibt sich aus
der Gleichung (1-4t)-(4t)=-1
1
mit der Lösung t = (der Einfachheit halber ohne Rechner).
4
Damit berechnen wir S:
1 4
Wir erhalten S(0|1|4,25).
5
Sachsen 1999
32
1 
 
n ⋅u
, wobei n =  − 1 Normalenvektor
Den Schnittwinkel α berechnen wir mit der Formel sin α =
n ⋅u
0 
 
von E ist.
Wir speichern n als L3 ab und berechnen die Beträge von u bzw.
n und speichern sie als U bzw. N ab:
1
-1
0
! ! "
U
N
Nun nehmen wir die Winkelberechnung vor, den Betrag ergänzen
wir per Hand:
U
N
Der Schnittwinkel beträgt etwa 62,1°.
c) Die Gerade h durch Q’ senkrecht zu E hat die Gleichung
 − 4  1 
   
h : x =  − 1  + t  − 1 . Den Stützvektor OQ ' speichern wir ab als
 11   0 
   
#
$ #
% % &
'"
L4, der Richtungsvektor n ist bereits als L3 abgespeichert worden.
-4
-1
11
Der Parameter t für den Schnittpunkt L von E und h ergibt sich aus
der Gleichung (-4+t)-(-1-t)=-1
mit der Lösung t=1 (wieder ohne Rechner).
Damit berechnen wir L:
$ '( "
Wir erhalten L(-3|-2|11).
$ '( )*'"
$ " +
)*'+
Nun können wir OQ = OQ ' + 2Q ' L berechnen:
2
Also erhalten wir Q(-2|-3|11).
Schließlich noch die Berechnung des Abstandes von Q und Q’:
33
d) Wir speichern die Vektoren AB bzw. AC als L1 bzw. L2:
4
5
3
1
2
10
1
2
1
3
2
3
An den Koordinaten erkennt man unmittelbar, dass Dreieck ABC
bei A einen rechten Winkel hat.
Daher können wir den Flächeninhalt AD von Dreieck ABC als die
Hälfte des Produktes der Beträge von L1 und L2 berechnen:
2
Wir erhalten AD = 14.85 (gerundet).
Aus der Formel für das Pyramidenvolumen V folgt für die Höhe
3V
h=
. Damit berechnen wir die Höhe und speichern sie ab als H:
AD
H
3 14
Die Höhe einer solchen Pyramide beträgt also etwa h=2,83. Die
gesuchten Ebenen verlaufen parallel zur Grundfläche ABC, also
zur Ebene E, im Abstand h.
Um die Gleichungen dieser Ebenen zu bestimmen, ermitteln wir
zwei Punkte Y und Z auf verschiedenen Seiten von E im Abstand
n
h, z.B. a ± h : 6
n
1
1
!! !! "
#
"%
2
2
3
3
H
H
$
$
N
N
Wir erhalten Y(3|0|3) und Z(-1|4|3). Die parallelen Ebenen haben die Gleichung x-y=c. Dabei ist c so
zu bestimmen, dass Y bzw. Z die Gleichung erfüllen. Wir erhalten ohne Rechner sofort c=3 bzw.
c=-5, also die Gleichungen x-y=3 bzw. x-y=-5 für die beiden gesuchten Ebenen.
6
) *
So sparen wir Tipparbeit: Wenn die erste Berechnung vorgenommen wurde, geben wir einfach
dann erscheinenden wiederholten Eingabe brauchen wir nur
durch
zu überschreiben.
&('
ein. In der
34
9 Anwendungsaufgaben
I.
Aus der Wirtschaftsmathematik
Eine Firma stellt drei Arten von Regalen her, die alle aus gleicharR1
R2
tigen Bretterstapeln (B), Leistenpackungen (L) und Schraubensät1
2
zen (S) gefertigt werden. Im Lager befinden sich 382 Bretterstapel, B
231 Leistenpackungen sowie 170 Schraubensätze.
L
2
1
Die nebenstehende Tabelle zeigt, wie viel davon jeweils zur FertiS
1
2
gung der Regalsorten R1, R2 bzw. R3 benötigt wird.
Wie viele Regale der drei Sorten können gefertigt werden, wenn
(1) a + 2b + 4c = 382
der Lagerbestand möglichst vollständig verbraucht werden soll?
(2) 2a + b + c = 231
Es sollen a Regale vom Typ R1, b Regale R2 und c Regale R3 aus
(3) a + 2b + c = 170
dem vorhandenen Lagerbestand gefertigt werden.
Wir stellen dazu das nebenstehende Gleichungssystem auf.
Um es zu lösen, geben wir die zugehörige erweiterte Matrix A im
Matrix-Edit-Fenster ein:
R3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
4
1
1
382
231
170
Wir wenden das Gaußverfahren auf die Matrix A an:
B
Die Lösungen sind nicht ganzzahlig, aber wir erkennen daraus,
dass 73 Regale der Sorte 1, 12 Regale der Sorte 2 und 70 Regale
der Sorte 3 hergestellt werden können.
Um zu berechnen, wie viel Material dabei verarbeitet wird, geben
wir die erhaltenen Werte als Lösungsvektor b ein:
73
12
70
0
Die vierte Komponente muss hinzugefügt werden, weil der
Verbrauch sich aus dem Produkt der (erweiterten) 3 4-Matrix mit
dem Vektor B ergibt, der daher 4 Komponenten haben muss; die
vierte hat natürlich keine Bedeutung.
Nun berechnen wir den Verbrauchsvektor:
Wir erkennen durch Vergleich mit dem Lagerbestand, dass 5 Bretterstapel, 3 Leistenpackungen sowie 3 Schraubensätze7 übrigbleiben.
7
Es bleibt offenbar noch genügend Material für weitere Regale übrig. Das rührt daher, dass hier nur ganzzahlige
Lösungen erlaubt sind. Man kann deshalb noch untersuchen, ob nicht andere zulässige Kombinationen für a, b, c, die
35
II. Computertomografie
Das Bild zeigt die Computertomographie eines menschlichen
Gehirns. Die Aufnahme einer Computertomographie ist eine
spezielle Form der Röntgenuntersuchung, mit der Querschnittsbilder des zu untersuchenden Körperabschnittes angefertigt werden können. So lässt sich ein genaues Bild z.B. über die Lage
eines Krankheitsherdes in Bezug auf die anderen Organe erhalten.
Grundprinzip :
Eine Röntgenröhre rotiert um die aufzunehmende Körperpartie. Die Röntgenstrahlen werden je nach
Lage der Röhre proportional zur Masse des Gewebes und zum Weg durchs Gewebe geschwächt.
Strahlendetektoren ermitteln sogenannte LAU’s (linear attenuation units, dt: lineare Abschwächungswerte8) mit folgender Eigenschaft : Der LAU hintereinanderliegender durchstrahlter Bereiche
ist gleich der Summe der LAU’s der einzelnen Bereiche.
Das folgende einfache Modell zeigt, wie durch mathematische Auswertung verschiedener Strahlenrichtungen Rückschlüsse auf das durchstrahlte Gewebe gezogen werden können.
Wir gehen davon aus, dass das Gewebe aus unterschiedlichen Bereichen A, B, ... besteht mit zugehörigen LAU’s von a, b, ... . Die LAU’s für die Bereiche sollen aus den Messwerten bestimmt werden,
um damit einen potentiellen Tumor in einem oder mehreren der Bereiche zu lokalisieren.
Für die drei Strahlen in der Skizze werden folgende LAU’s gemessen : Strahl 1 : 0,80 ; Strahl 2 :
0,55 ; Strahl 3 : 0,65 .
Ermitteln Sie die LAU’s in jedem der Bereiche. Vergleichen Sie
Strahl 1
die Ergebnisse mit folgenden Erfahrungswerten für die
Strahl 2
Röhre
Abschwächung :
Gesundes Gewebe
:
0.16 ... 0.29
Strahl 3
A
Tumorgewebe
:
0.27 ... 0.39
Knochengewebe
:
0.38 ... 0.51
Detektor
B
C
Metall
:
1.54 ...
Es ist nebenstehendes Gleichungssystem zu lösen:
a+b=0.80
a+c=0.55
b+c=0.65
Wir geben im Matrixeditor die zugehörige Matrix ein:
1
1
0
1
0
1
0
1
1
.8
0.55
.65
in der Nähe der Lösung liegen, das Lager noch besser ausnutzen. So wird man feststellen, dass im Lager nur ein
Schraubensatz übrigbleibt, wenn man a=74, b=12 und c=71 wählt.
8 LAU’s sind die Logarithmen des Verhältnisses von eingestrahlter Energie zu empfangener Energie; ist x die prozentuale Absorption, so ist der zugehörige LAU = - ln(1-x)
36
B
Wir sehen, dass in Bereich A vermutlich Tumorgewebe ist. Im
Bereich B befindet sich Knochen und im Bereich C gesundes Gewebe.
Bei nebenstehender Strahlanordnung werden die Werte
LAU1 = 0,60 ; LAU2 = 0,75 ; LAU3 = 0,65 ; LAU4 = 0,70
gemessen.
Dafür erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
a+b=0.6
c+d=0.75
a+c=0.65
b+d=0.7
Strahl 1 Strahl 2
Strahl 3
A
C
Strahl 4
B
D
Wir geben wie oben beschrieben, wieder die zugehörige Matrix ein
und wenden den
Befehl an.
Wir sehen, dass es nun unendlich viele Lösungen gibt. Das lässt
sich dadurch erklären, dass sich z.B. die vierte Messung schon aus
den ersten drei Messungen ergibt: Wenn man in der Ausgangsmatrix die ersten beiden Gleichungen addiert und die dritte davon abzieht, ergibt sich die vierte. Strahl 4 ist also eigentlich überflüssig,
andererseits fehlt (mindestens) eine Messung, um Eindeutigkeit zu
erreichen.9
Es werden daher zusätzlich die Strahlen 5 und 6 gemessen mit
LAU5 = 0.85 und LAU6 = 0.50 . Zu dem obigen System kommen
folgende Gleichungen hinzu, so dass sich insgesamt ergibt:
a+b=0.6
c+d=0.75
a+c=0.65
b+d=0.7
b+c=0.85
a+d=0.5
9
Strahl 1 Strahl 2
Strahl 6
Strahl 3
A
C
Strahl 4
B
D
Strahl 5
Natürlich liefert auch diese Lösung eine gewisse Information, da a, b, c, d nicht negativ sein können. Ist d zunächst
beliebig, so gilt a=-0.1+d; b=0.7-d; c=0.75-d. Wegen a , b, c ≥ 0 folgt daraus zunächst 0.1 ≤ d ≤ 0.7 und damit
0 ≤ a ≤ 0.6 ; 0 ≤ b ≤ 0.6 ; 0 ≤ c ≤ 0.65. Das ist aber für eine Einstufung der untersuchten Gebiete zu wenig.
37
Wir geben für dieses Gleichungssystem die zugehörige Matrix ein
wie oben beschrieben.
an.
Nun wenden wir auf die Matrix den Befehl
Leider gibt es eine Fehlermeldung ( ). Der Rechner
kann nämlich nur Matrizen mit mindestens so vielen Spalten wie
Zeilen mit dem Befehl verarbeiten, und wir haben 6 Zeilen
und nur 5 Spalten.
Wir können das aber umgehen, indem wir eine zusätzliche Spalte
für eine fiktive Variable e – sozusagen einen Bereich E im Gewebe, der keinen Beitrag liefert – einfügen. Wir geben dann die Matrix A mit Dimension 6 6 ein, deren rechte Spalten im Bild zu sehen sind. Die 5.Spalte besteht also aus der Reihe mit eingefügten
Nullen.
Wir erhalten nun das (eindeutige) Ergebnis
a=0.2
b=0.4
c=0.45
d=0.3
In Bereich D ist vermutlich ein Tumor. Man hätte übrigens hier
mit vier Strahlen auskommen können, z.B. mit 1,2,3,5.
In der Praxis wird man so in der Regel ein überbestimmtes System erhalten, das aber natürlich eine
eindeutige Lösung (im Rahmen der Messgenauigkeit) hat. Die „überflüssigen” Messwerte dienen der
Kontrolle. Die Zahl der Gleichungen zur Bestimmung der LAU’s für die Bereiche ist in der Praxis
sehr groß, da man das durchstrahlte Gewebe in möglichst viele Bereiche aufteilen will, um eine hohe
Auflösung zu erzielen. Es wäre dann auch mit einem Computer wenig sinnvoll, mit dem Gaußverfahren die Lösungen zu berechnen, denn die Rechenzeit wäre viel zu groß. Für solche Gleichungssysteme gibt es Iterationsverfahren, die wesentlich schneller mit ausreichender Genauigkeit Näherungslösungen liefern.
38
Vertiefende Literatur zum Thema Computertomografie:
[1] Kastner, Bernice, Fraser, Simon : Raumfahrt und Mathematik, Klett, 1993, S. 140 ff.
[2] Jabon David : Medical Applications of Systems of Linear Equations, The Math Teacher 5(1996),
398-402
[3] Reichel : Iteratives Lösen größerer Gleichungssysteme, MNU 1(1994), 20-25
III. Mischungsrechnungen
Die Edelstahlsorte 18/10-Stahl besteht aus 72% Eisen, 18% Chrom
und 10% Nickel. Drei andere Legierungen L1, L2, L3 haben die
Anteile, wie sie die Tabelle zeigt.
Aus den Legierungen und zugesetztem reinen Nickel soll 100 kg
18/10-Stahl hergestellt werden. Dazu braucht man also insgesamt
72 kg Eisen, 18 kg Chrom und 10 kg Nickel.
Es seien a kg L1, b kg L2, c kg L3 und d kg Nickel erforderlich.
Damit ergibt sich nebenstehendes Gleichungssystem.
Dabei steht Gleichung (1) für die Gesamtmasse, (2) für die Eisenmasse, (3) für die Chrommasse und (4) für die Nickelmasse.
Wir geben im Matrixeditor die zugehörige Matrix ein:
1
.65
.27
.08
1
1
.74
.18
.1
1
.82
.12
.06
100
0
0
1
72
18
10
B
Da die Lösungsmatrix auch durch Rollen mit den Cursortasten
schlecht zu betrachten ist, speichern wir sie unter B ab und
betrachten sie im Editor:
Offenbar ist das System nicht eindeutig lösbar (denn die erste Zeile
ist die Summe der drei anderen). Wir wählen zunächst d frei und
erhalten aus der Lösungsmatrix für
a=32.667d-66.667, b=-79.667d+266.667 und c=46d-100.
Da negative Massen nicht möglich sind, liefert
a ≥ 0 : d ≥ 2.04
b ≥ 0 : d ≤ 3.347
c ≥ 0 : d ≥ 2.174 (gerundet)
Also sind die angegebenen Massen für a,b,c möglich mit d kg
Nickelzusatz, wobei d zwischen 2,174 kg und 3,374 kg liegt, z.B.
a=31,334 kg von L1, b=27,666 kg von L2 und c=38 kg von L3 bei
einem Zusatz von d=3 kg reinem Nickel.
L1
L2
L3
65%
74%
82%
Chrom 27%
18%
12%
Nickel
10%
6%
Eisen
8%
(1) a+b+c+d=100
(2) 0,65a+0,74b+0,78c=72
(3) 0,27a+0,18b+0,12c=18
(4) 0,08a+0,1b+0,06c+d=10
III. Mehrstufige Prozesse - Beispiel : Bevölkerungsbewegungen
Die Abbildung zeigt den durch Umzug bedingten Bevölkerungsaustausch zwischen den drei Regionen A, B, C in
Anteilen (oder in Wahrscheinlichkeiten) jeweils innerhalb
eines Jahres. Zu Beginn der Beobachtung habe A 100
Tausend Einwohner, B und C mögen jeweils 50 Tausend
Einwohner haben.
Man beachte, dass die von einer Region ausgehenden
Anteile immer die Summe 1 ergeben müssen.
Man kann die Übergänge übersichtlich in einer Tabelle aufschreiben.
Man beachte, dass die Spaltensummen wegen der oben genannten Eigenschaft immer die Summe 1 ergeben müssen.
von
nach
A
B
C
Wir geben die Tabelle als „Übergangs“-Matrix A im
.4
.2
.4
.4
.2
.4
.1
.3
.6
Wir geben die anfängliche Bevölkerungsverteilung als Matrix B im
100
50
50
Wir können nun iterativ für die folgenden Jahre die Bevölkerungsverteilung ausrechnen; zunächst bringen wir B in die Anzeige:
Danach geben wir ein:
A
B
C
0.4
0.2
0.4
0.4
0.2
0.4
0.1
0.3
0.6
39
40
Durch fortgesetztes Drücken der
-Taste wird nun die Bevölkerungsverteilung für die folgenden Jahre ausgegeben:
Jahr 1:
A=65 000
B=45 000
C=90 000
Jahr 2:
A=53 000
B=49 000
C=98 000
...
Jahr 5:
A=50 024
B=49 992
C=99 984
...
Jahr 10 (gerundet):
A=50 000
B=50 000
C=100 000
Offenbar steht die Iteration nun, es stellt sich die Grenzverteilung
mit den gerundeten Zahlen aus Jahr 10 ein. Zuzug und Wegzug
gleichen sich aus.
Auch bei anderen Anfangsverteilungen mit derselben Bevölkerungssumme stellt sich diese Grenzverteilung ein, wie man mit dem Rechner leicht experimentell überprüft.
Aus der Theorie stochastischer Matrizen10 ist bekannt, dass die Spalten der Potenzen solcher Matrizen gegen die (prozentuale) Grenzverteilung konvergieren, falls in irgendeiner Potenz nur noch positive Elemente auftreten.
Wir können das leicht mit dem Rechner nachprüfen. Dazu bringen
wir A in die Anzeige und quadrieren fortlaufend:
10
eine Matrix, die nur nichtnegative Elemente enthält und bei der die Spaltensummen den Wert 1 haben, heißt stochastische Matrix. Zur Theorie siehe z.B. Artur Engel, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 2, Klett
Studienbücher, Stuttgart, 1976, Seite 191 ff.
-Taste werden die Potenzen A2, A4, A8, ... ausgegeben und die Konvergenz stellt sich
schnell ein.
A4
A8
 0.25 


Offenbar konvergieren die Spalten gegen g =  0.25  .
 0.5 


Durch Multiplikation dieses Vektors mit der Bevölkerungssumme
 50000 


200 000 erhalten wir daraus die Grenzverteilung G =  50000  .
100000 


Wir können wie abgebildet auch die gesamte Ergebnismatrix mit
200000 multiplizieren, um dieses Ergebnis für jede Spalte der Matrix zu erhalten, hier natürlich nur näherungsweise.
Die Grenzverteilung G können wir auch noch ohne Iteration berechnen, denn da sich Zuzug und
Wegzug aufheben, muss für G die „Eigenwert“-Gleichung A ⋅ G = G gelten. Es ist dann das Gleichungssystem ( A − E ) ⋅ G = 0 zu lösen, wobei wir die Komponenten von G mit u,v,w bezeichnen.
Wir erzeugen zunächst eine 3 3-Einheitsmatrix und speichern sie
als Matrix E ab:
Dann speichern wir die Matrix A-E als Matrix C ab:
Da die Erweiterungsspalte für das zu lösende Gleichungssystem
nur aus Nullen besteht, lassen wir sie weg und wenden das Gaußverfahren direkt auf die Matrix C an:
41
42
B
Setzen wir w zunächst beliebig an, so erhalten wir aus der Lösung
u=0.5w und v=0.5w. Da u+v+w=200000 gelten muss, ergibt sich
 50000 


daraus die Grenzverteilung G =  50000 
100000 


IV. Mehrstufige Prozesse - Beispiel : Titanic
Bei einem Spiel gibt es 4 Zustände :
Zustand 1 - Untergang : Wenn dieser Zustand erreicht ist, endet das Spiel.
Zustand 2 - Schiffbruch : Wenn dieser Zustand erreicht ist, geht man mit Wahrscheinlichkeit 0,3 unter, bleibt Schiffbrüchiger mit Wahrscheinlichkeit 0,4 und gelangt mit Wahrscheinlichkeit 0,3 zum
Zustand 3 - Schiff in Sicht : Wenn dieser Zustand erreicht ist, fällt man mit Wahrscheinlichkeit 0,6
zurück in den Zustand Schiffbrüchiger und wird gerettet mit Wahrscheinlichkeit 0,4.
Zustand 4 - Rettung : Wenn dieser Zustand erreicht ist, endet das Spiel auch.
Wir behandeln folgende Aufgabenstellungen:
• Wie entwickelt sich das Spiel mit der Zeit, wenn wir im Zustand 2 beginnen?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden wir gerettet, wenn wir im Zustand 2 bzw. 3 beginnen?
Wir schreiben wie in Abschnitt III die Wahrscheinlichkeiten der
Übergänge übersichtlich in einer Tabelle auf.
Auch hier liegt eine stochastische Matrix vor.
Wir geben die Tabelle als Übergangs-Matrix A im
1
0
0
0
.3
.4
.4
0
0
.6
0
.4
0
0
0
1
0
 
1 
a) Da wir anfangs in Zustand 2 sind, geben wir als Startvektor  
0
 
0
als Matrix B im Matrix-Edit-Fenster ein:
0
1
0
0
von Z1
nach
Z1
1
Z2
0
Z3
0
Z4
0
Z2
Z3
Z4
0.3
0.4
0.3
0
0
0.6
0
0.4
0
0
0
1
43
Wir können nun iterativ für die folgenden Spielschritte die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, mit denen wir uns in den verschiedenen Zuständen befinden. Zunächst bringen wir B in die Anzeige:
Danach geben wir ein:
-Taste werden nun die
Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Spielschritte ausgegeben:
nach einem Schritt:
P(Z1)=0.3
P(Z2)=0.4
P(Z3)=0.3
P(Z4)=0
nach zwei Schritten:
P(Z1)=0.42
P(Z2)=0.34
P(Z3)=0.12
P(Z4)=0.12
...
nach fünf Schritten (gerundet):
P(Z1)=0.628
P(Z2)=0.095
P(Z3)=0.043
P(Z4)=0.234
...
nach 25 Schritten (gerundet):
P(Z1)=0.7143
P(Z2)=0
P(Z3)=0
P(Z4)=0.2857
...
Auch hier konvergiert offenbar die Iteration gegen eine Grenzverteilung, wir gehen mit etwa 71%
Wahrscheinlichkeit unter und werden mit etwa 29% Wahrscheinlichkeit gerettet. Die Zwischenzustände werden auf jeden Fall verlassen, sie haben die Wahrscheinlichkeit 0 bei der Grenzverteilung.
Wir können wie in Abschnitt III die Grenzverteilung auch erzeugen, indem wir Matrixpotenzen von
A berechnen.
44
Dazu bringen wir A in die Anzeige und quadrieren fortlaufend:
-Taste werden die Poten2
4
8
zen A , A , A , ... ausgegeben und die Konvergenz stellt sich
schnell ein.
Wir quadrieren so lange, bis die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände 2 und 3 auf Null gerundet werden. Das ist nach 10 Durchführungen bei A1024 der Fall.
Mit
(
)
lassen wir noch die Bruchdarstellung ausgeben und erhalten nun
verschiedene Spalten im Gegensatz zu Abschnitt III. Diese können
wir als Wahrscheinlichkeiten dafür interpretieren, mit welchem
Schicksal wir abhängig vom Anfangszustand zu rechnen haben.
Spalte 2 besagt also, dass wir mit Wahrscheinlichkeit 5/7 untergehen werden und Wahrscheinlichkeit
2/7 gerettet werden, falls wir anfangs in Zustand 2 (Schiffbruch) waren. Dies steht in Übereinstimmung mit unserem obigen Ergebnis. Sind wir zu Anfang dagegen schon in Zustand 3 (Schiff in
Sicht), steigt die Wahrscheinlichkeit für unsere Rettung auf 4/7, und die Wahrscheinlichkeit unterzugehen sinkt auf 3/7.
Die Berechnung dieser Zustände ist auch in
0.3
0.6
diesem Fall ohne Iteration möglich mit Hil0.3
1
fe der Mittelwertregel der Wahrscheinlich4
2
3
1
keitsrechnung (siehe den oben zitierten
1
1
1
1
Band von Engel). Dazu zeichnet man sich
0.3
1
0.4
0.4
1
am besten ein Markoff-Diagramm zu dem
0.3
0.6
1
0.3
0.4
0.4
Spiel auf.
Die Zustände sind hier durch Kreise mit zugehörigen Nummern markiert, die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen angegeben. Wir betrachten die Wahrscheinlichkeiten, gerettet zu werden, in
Abhängigkeit vom Anfangszustand: Es sei P(1)=a, P(2)=b, P(3)=c, P(4)=d. Aus dem Diagramm er-
gibt
(*):
sich
nach
der
a=0
0.3 ⋅ a + 0.4b + 0.3c = b
Mittelwertregel
bzw.
Pfadregel
das
45
Gleichungssystem
0.6b + 0.4 ⋅ d = c
d =1
Setzen wir die Werte für a und d ein und sortieren, so bleibt nur das Gleichungssystem
− 0.6b + 0.3c = 0
zu lösen.
0.6b − c = −0.4
Wir geben die Koeffizienten als Matrix D im
-.6
.6
.3
-1
.1
-.4
Wir wenden das Gaußverfahren auf die Matrix D an und lassen das
Ergebnis in Bruchdarstellung ausgeben:
B
(
)
2
4
Wir lesen die Lösung ab: b = , c = .
7
7
Sie stimmt überein mit den zuvor iterativ erhaltenen Werten.
Bemerkung: Die Koeffizientenmatrix der linken Seite des Gleichungssystems (*) ist
0
0
0 
 1


 0.3 0.4 0.3 0 
T
 0 0.6 0 0.4  . Das ist offenbar die Transponierte A der Ausgangsmatrix ist, und die Lö

0
0
1 
 0
2
4
sung { a = 0 , b = , c = , d = 1 } des Gleichungssystems ist Eigenvektor von AT zum Eigenwert 1.
7
7
V. Konstruktion einer Gleisverbindung
An ein geradlinig verlaufendes Eisenbahngleis g soll eine
geradlinige Anschlussstrecke h angeschlossen werden.
Die Verlängerung von h über den Punkt A hinaus
g
schneidet g in B unter einem Winkel von 45°. A und B
g
h
sind 400 m voneinander entfernt. Beim Anschluss müsg
B
sen folgende Bedingungen erfüllt werden:
A
g
g
a) Das Verbindungsgleis soll bei A in Gleis h und bei B
in Gleis g übergehen.
b) Das Verbindungsgleis muss bei A und B glatt in h
bzw. g übergehen.
c) Die Übergänge sollen ruckfrei durchfahren werden.
Wir legen ein kartesisches Koordinatensystem fest mit Ursprung A, der x-Achse h bzw. Verlängerung von h in Richtung B. Als Einheit wählen wir 100 m, so dass sich die Koordinaten A(0|0) und
B(4|0) ergeben. Das Verbindungsgleis ist Schaubild einer Funktion y, die für 0 ≤ x ≤ 4 definiert ist,
und wegen der obigen Bedingungen muss gelten:
46
(1) y(0) = 0 und y(4) = 0 wegen Bedingung a)
(2) y’(0) = 0 und y’(4) = 1 wegen Bedingung b)
(3) y“(0) = 0 und y“(4) = 0 wegen Bedingung c), denn dann ist die Krümmung bei A und B Null.
Es sind also sechs Bedingungen zu erfüllen. Als Ansatz eignet sich daher eine ganzrationale Funktion
5.Grades: y(x) = a x5 + b x4 +c x3 + d x2 +e x + f . Die Bedingungen (1) bis (3) führen dann auf
1024a + 256b + 64c = 0
d = e = f = 0 und das Gleichungssystem 1280a + 256b + 48c = 1 .
1280a + 192b + 24c = 0
Wir geben im Matrixeditor die zugehörige erweiterte Matrix ein:
1024
1280
1280
256
256
192
64
48
24
0
1
0
B
Mit
(
)
geben wir die Lösung noch in Bruchdarstellung an.
Wir stellen die Lösung noch grafisch dar.
Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf
# ! ! " "
# $
%%
&% %
%
und geben den Funktionsterm der Lösungsfunktion sowie der Geraden g ein:
3 256
5 7
64
4
1
4
3
4
Das Zeichenfenster stellen wir geeignet ein:
0
4
1
2
0.5
47
Schließlich zeichnen wir, wobei wir noch gleiche Einheiten auf den
Achsen einstellen:
Tipps und Tricks
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
! "#$ %#$ !'&( %)+* , - .*
/ 012435+687
9
:
0
1
4
2
3
+
5
8
6
7
9
:
0
1
4
2
3
+
5
8
6
7
:
9 ; < 2=
>? @A4BCED
FHG
Versuchen Sie, sich vom „Abtippen“ der Eingaben zu lösen. Versuchen Sie stattdessen, die prinzipielle Vorgehensweise zu erfassen, insbesondere bei komplexen Eingaben die Struktur der Menüs.
Wenn Sie sich in einem Menü „verirrt“ haben, geben Sie
(
) ein, um es ohne Folgen wieder zu verlassen.
Überlegen Sie sich vor dem Rechnen, welche Ergebnisse Sie im Folgenden nochmals benötigen.
Speichern Sie solche Ergebnisse ab als Variable A, B, ... , Z (mit Hilfe der
–Taste) oder
Matrizen [A], [B], ... , [J] (mit Hilfe des
-Menus
) oder Listen L1 ,..., L6 (über die
Tastatur
, ... ,
).
Listen sind einfacher zu handhaben, da sie sich über die Tastatur
, ... ,
direkt ohne
Menu abrufen lassen.
Mit den Befehlen
bzw.
aus dem
– Menu können Sie
von Listen zu Matrizen und umgekehrt wechseln.
Verwenden Sie für Variable möglichst dieselben Bezeichner wie in der Aufgabenstellung.
Führen Sie Buch über abgespeicherte Variable.
Viele Eingaben ähneln einer unmittelbar vorhergehenden Eingabe. In diesem Fall empfiehlt sich,
mit der Tastenfolge
– ggf. durch mehrfache Anwendung – vorherige Eingaben wieder anzeigen zu lassen und abzuändern. Im Text wird an einigen Stellen darauf hingewiesen.
Haben Sie eine falsche Eingabe gemacht, so bringen Sie diese mit
nochmals zur Anzeige und korrigieren Sie sie. Auch weiter zurückliegende Eingaben können Sie mit
der wiederholten Anwendung von
wieder zur Anzeige bringen.
Wenn Sie die
-Taste drücken, ohne etwas eingegeben zu haben, wird nochmals die letzte
Eingabe wiederholt. Enthält diese Eingabe mit dem Befehl
(
) einen Bezug zur letzten
Ausgabe, so hat man damit eine Möglichkeit, Iterationen in sehr einfacher Form durchzuführen
(siehe z.B. Kapitel 9-III).
Wenn Sie ein oder mehrere Zeichen einfügen wollen, geben Sie den Einfügemodus
ein; der Cursor ändert dann seine Form in einen Strich. Beachten Sie, dass der
Überschreibmodus durch Betätigen der Cursortasten
wiederhergestellt wird; der Cursor hat
dann Quadratform.
Weitere Hinweise zur Problembehebung siehe Teil I - Analysis – Kapitel 12: „Was tun, wenn ...“
48
Stichwortverzeichnis
10
9
Abitur 31
Abstand
zwischen Punkten 29, 32
39
Anwendungen
Bevölkerungsbewegungen 39
Gleisverbindung 45
Mischungsrechnungen 38
Untergang
13der Titanic 42
Bestimmen einer Funktion 46
Bruch 7
Determinante 5
Dimension festlegen 3
Ebenen
~ parallele 33
Abstand von einem Punkt 28
Hessesche Normalenform 27
identische 21
Koordinatendarstellung 22
Normalenform 23
Parameterdarstellung 16
Einfügemodus 47
Eingabe korrigieren 47
Eingabe von Funktionstermen 46
Einheitsmatrix 41
elementare
Zeilenumformungen 8
47
Ergebnis als Bruch 7
Flächeninhalt eines Dreiecks 33
Gaußverfahren 7
schrittweise 8
Geraden 12
Abstand 30
Abstand eines Punktes 28, 29
identische 15
Lage 13
Gleichung
lösen mit Solver 25
Gleichungssysteme 7
Hesseform 27
Home-Bildschirm 3
Iteration 40
Kreuzprodukt 24
Lage
Ebene und Gerade 17, 24
Ebenen 19, 26
Gerade und Ebene parallel 26
Geraden 13
lineare Abhängigkeit 11
Linearkombinationen 4
Listen
in Matrix wandeln 6, 47
Verwendung 47
Lotfußpunkt 32
Markoff-Diagramm 44
Matrix
anzeigen 3
Editor 3
eingeben 3
erweiterte 7
in Liste wandeln 6, 47
Invertieren 5
Korrektur 3
Multiplikation 4
Potenz 40
stochastische 40, 42
Transponierte 45
5
Zusammenfügen
LIST-MATH 6
LIST-OPS 6, 47
MATH 5
MATRX-EDIT 3
MATRX-MATH 4, 5
MATRX-NAMES 4
Mittelwertregel 44
Modus
RADIAN 6
Normalenvektor 23
Orthogonalprojektion 29
Pfadregel 45
Programm 24
Punktprobe
Ebenen 16
Geraden 12
Pyramide 33
! " #$ #%
& 10
'' () 7
Schaubild einer Funktion 45
Schnittgerade 20, 27
Schnittpunkt
bei Geraden 13
Gerade und Ebene 18, 31
Schnittwinkel 32
Skalarmultiplikation 4, 6
Solver 25
Speichern von Ergebnissen 47
*
+ , 6
Variable 47
Vektor 4
als Liste 5
als Matrix 3
Betrag 4, 6
Vervielfachen 4, 5
Wahrscheinlichkeit 42
Winkelberechnung
6, 32
-
.
46
Zeichenfenster 46