Hypergeometrische Verteilung

Mathematik
Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
In einer Schachtel mit 20 Losen gibt es 3 Gewinnlose. Es werden 5 Lose gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei genau 2 Gewinnlose zu ziehen?
Wieso ist das keine Binomialverteilung?
Lösungsweg ohne Baum:
(a) Aus den 3 Gewinnerlosen müssen 2 gezogen
⎛
⎞
werden, dafür gibt es ⎜ 3 ⎟ Möglichkeiten.
⎝ 2 ⎠
(b) Aus den 17 Verliererlosen müssen demnach
3 gezogen werden (5 sind es ja insgesamt).
⎛
⎞
Dafür gibt es ⎜ 17 ⎟ Möglichkeiten.
⎝ 3 ⎠
Da jede Möglichkeit (a) mit jeder Möglichkeit
(b) kombiniert werden kann, gibt es insgesamt
⎛ 3 ⎞ ⎛ 17 ⎞
⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ Möglichkeiten, wie man aus
allen 20 genau zwei Gewinnerlose ziehen
kann. Das sind die günstigen Möglichkeiten.
Für die Formel P =
günstige Möglichkeiten
fehlt jetzt noch die Überlegung, wie viele Arten es überhaupt gibt,
alleMöglichkeiten
⎛
⎞
aus 20 Losen 5 zu ziehen. Das sind ⎜ 20 ⎟ . Das sind alle Möglichkeiten.
⎝ 5 ⎠
Somit kommen wir zu folgender Berechnung:
Das Ergebnis dieser Rechnung ist 0,132 oder 13,2 %.
Allgemeine Formel:
Man hat N Elemente, darunter sind M „besondere“ (z.B. Gewinnerlose).
Aus diesen N Elementen sollen insgesamt n gezogen werden,
von diesen n sollen genau k „besondere“ sein.
⎛ M ⎞ ⎛ N− M ⎞
⎜⎝ k ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ n − k ⎟⎠
P(X = k) =
⎛ N ⎞
⎜⎝ n ⎟⎠
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Diese Formel ist leicht zu verstehen, wenn man den obigen
Text gelesen hat.
Such sie auch im Formelheft
und vergleiche die Erklärungen
dort mit denen auf diesem Blatt!