Binomische Formeln

Binomische Formeln
Es gibt 3 binomische Formeln. Sie verkürzen eigentlich nur den Rechenweg und lauten:
(1)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2)
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(3)
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Wichtig ist vor allem die Umkehrung, denn mit ihr kann man aus einem Summenterm einen
Produktterm machen (und wird sich oft als nützlich erweisen).
Formel
2
Beispiel
2
(1) a + 2ab + b = (a + b)
2
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
(2) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
x2 – 8x + 16 = (x – 4)2
(3) a2 – b2 = (a + b)(a – b)
x2 – 169 = (x – 13)(x + 13)
Nachweismöglichkeiten
1. Rechnerisch:
Rechne jeweils aus und fasse zusammen.
(1) (a + b)2 =
(2) (a – b)2 =
(3) (a + b) (a – b) =
2. Geometrisch
(1) Die 1. und 2. Formel lassen sich
relativ leicht anschaulich erklären.
Das Bild rechts veranschaulicht die 1.
Binomische Formel. Erläutere.
(2) Zeichne ein ähnliches Bild, das die 2. Binomische Formel veranschaulicht.
Hinweis: Die Schwierigkeit besteht darin, die Strecke (a – b) darzustellen. Zeichne also ein
Quadrat mit Kantenlänge a (also die gesamte Kante!)
(3) Das Bild 3.44 veranschaulicht die 3. Binomische
Formel. Erläutere!
Die Bilder finden sich in:
Tischel, Gerhard (Hrsg.), Spektrum der Mathematik 8. Schuljahr,
Frankfurt am Main: Diesterweg, 1986. S. 82.