6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der

6
Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der
Zinseszinsrechnung
6.1
Wertentwicklung ohne Gut- oder Lastschrift von Zinsen
Beispiele: 1) Konstante Produktionszunahme
Produktion im 1. Jahr:
P1
Produktion im 2. Jahr:
P2
Produktion im 3. Jahr:
...
P3
mit P2 − P1 = d
mit P3 − P2 = d
⇒ P2 = P1 + d, P3 = P1 + 2d, . . . , Pn = P1 + (n − 1)d
Gesamtproduktion in n Jahren bei konstantem Produktionszuwachs:
P = P1 + P2 + . . . + P n =
n
X
Pk =
k=1
= n(P1 − d) + d
n
X
k=1
(P1 + (k − 1)d) =
n
X
k=1
(P1 − d) + d
n
X
k
k=1
n(n − 1)
n(n + 1)
= nP1 + d
2
2
2) Lineare Abschreibung:
Anschaffungswert: K Euro
Wert nach 2 Jahren:
Wert nach 3 Jahren:
...
Bn = K − n
Abschreibung auf Null in N Jahren in gleichen
Abschreibungsraten.
K
B1 = K −
N
K
K
=K −2
B 2 = B1 −
N
N
K
K
B 3 = B2 −
=K −3
N
N
Nutzungsdauer: N Jahre
Wert nach 1 Jahr:
K
(Bn = Bilanzwert nach n Jahren)
N
3) Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen:

Darlehenshöhe: S DM 
S
⇒ fester Tilgungssatz
p%
Zinssatz:

N
Laufzeit:
N Jahre
Tilgungsplan:
Beginn
Schuld
Zinsen
S
0
p
100
p
S p
S
−
100 N 100
S
S−
N
S
S−2
N
nach 1 Jahr
nach 2 Jahren
...
nach N − 1 Jahren
S − (N − 1)
nach N Jahren
S−N
S
S
N
S
=0
N
p
S
− (N − 2)
100
N
p
S
S
− (N − 1)
100
N
S
p
100
p
100
Berechnung der insgesamt gezahlten Zinsen:
N −1
S p X
p
N−
Z = S
k
100
N 100
k=0
p
1 (N − 1)N
= S
N−
100
N
2
p N +1
= S
100 2
6.2
Kapitalentwicklung ohne Zahlungsaktivit äten
Auf ein Konto wird ein Kapital K0 eingezahlt und “ruhen” gelassen, d.h. es gibt keine weiteren
Ein– oder Auszahlungen. Es wird mit einem Jahreszinssatz von p% verzinst und die Zinsen
werden auch am Ende jeden Jahres gutgeschrieben und damit im Folgejahr mitverzinst (“Zinseszins”). Bezeichnet man mit Kn das Kapital am Ende des n–ten Jahres (einschließlich der
dann gutgeschriebenen Zinsen) so erhält man die folgende Rekursionsformel für den Übergang
von einem Jahr zum nächsten:
Kn+1 = Kn +
Den hier eingeführten Faktor
Kn · p
p =: Kn · q
= Kn · 1 +
100
100
p
100
bezeichnet man als Zinsfaktor. Aus der Rekursionsformel gewinnt man sofort eine “Gesamtq := 1 +
formel” für die Kapitalentwicklung:
K1 = K0 · q,
K2 = K1 · q = K 0 · q 2 ,
K3 = K 2 · q = K 0 · q 3 ,
allgemein:
Kn = K 0 · q n
,n ∈ Z
(6.1)
Diese Formel ist nicht nur in dem bei der obigen Anwendung vorliegenden Fall p, K0 > 0 und
n ∈ N0 anwendbar, sondern auch allgemeiner:
Ist K0 < 0, so handelt sich um die Entwicklung einer Schuld, die “stehengelassen” wird. Kn ist
also der (negative) Kontostand am Ende des n–ten Jahres, (−Kn ) also die Schuld zu diesem
Zeitpunkt.
Ist p < 0, so hat man einen Wertverlust von (−p)% pro Jahr und Kn ist dann der Restwert am
Ende des n–ten Jahres von einer Anlage mit dem Anschaffungswert K0 . Man spricht dann von
geometrisch degressive Abschreibung und nennt (−p) den Abschreibungsprozentsatz.
Ist n ∈ Z \ N0 so ist Kn das Kapital, dass man vor (−n) Jahren hätte einzahlen müssen, damit
man zum gegenwärtigen Zeitpunkt über das Kapital K0 verfügen kann. Diese “Rückrechnung”
geschieht aber meist in einer anderen Form: Wenn man in n Jahren (n wieder ∈ N0 ) über das
Kapital Kn verfügen möchte, muss man nach Formel (6.1)
K0 = Kn q −n =: Kn %n
einzahlen. Man bezeichnet K0 dann auch als den Barwert oder Gegenwartswert des künftigen Kapitals Kn . Den in dieser Formel eingeführten Kehrwert % := q −1 = 1/q bezeichnet man
als Diskontfaktor.
Man kann Formel (6.1) auch nach nach p und nach n auflösen:
r
Kn
q= n
, p = (q − 1) · 100
K0
Dies ist also der Jahreszinssatz, wenn ein Kapital K0 nach n Jahren einen Betrag von Kn
erbringt. Bei der Auflösung nach n muss man aber etwas vorsichtiger sein, weil (6.1) nur für
ganzzahlige n gilt. Die passende Fragestellung dazu ist: Nach wieviel Jahren hat bei vorgegebenen Startkapital K0 > 0 und vorgebenen Jahreszinssatz p > 0 das Guthaben einen vorgegebenen Wert G > K0 erreicht oder überschritten: Aus der strengen Monotonie des natürlichen
Logarithmus folgt:
G
G
⇔ n ln q ≥ ln
K0
K0
und damit erhalten wir, da q > 1 und damit ln q > 0 ist, für die Laufzeit :
!
Kn = K 0 · q n ≥ G ⇔ q n ≥
n≥
ln(G/K0 )
ln G − ln K0 )
=
.
ln q
ln q
Wenn nun die Zinsen nicht erst am Ende Jahres, sondern am Ende eines Zeitabschnittes von
1/m Jahr gutgeschrieben (Lastschrift ist negative Gutschrift) werden, so kann man Formel (6.1)
direkt übernehmen. Man braucht dann nur den Jahreszinssatz p durch den entsprechenden
Zinssatz p/m für 1/m Jahr (z.B. p/12 für einen Monat oder p/360 für einen Tag) zu ersetzen,
und mit n nicht die Zahl der Jahre, sondern die Zeitabschnitte von der Länge 1/m Jahr zu
bezeichnen. Wir erhalten so für den Übergang von einem Zeitabschnitt zum nächsten:
p/m
p Kn+1 = Kn · 1 +
= Kn · 1 +
=: Kn · qm
100
100m
(6.2)
und damit
n
Kn = K 0 · q m
,n ∈ Z
(6.3)
für das Kapital am Ende des n–ten Zeitabschnittes (also zum Beispiel am Ende des n–ten
Monats bei m = 12).
qm := 1 +
p
100m
ist dabei der Zinsfaktor für 1/m Jahr.
Wenn man nun die Kapitalentwicklung bei Zinsgutschrift nach 1/m Jahr mit der bei Zinsgutschrift nach einem Jahr vergleichen will, ist es zweckmäßig, die Zeit wieder in Jahren anzugeben.
Um Verwechslungen zu vermeiden, verwenden wir dazu folgende Bezeichnung:
K; m (t) := Kapital nach t Jahren bei Zinsgutschrift nach 1/m Jahr
Wir erhalten die Formel:
t·m
K; m (t) = Kt·m = K0 · qm
p t·m
= K0 · 1 +
100m
p m t
= K0 · 1 +
,
100m
t·m∈Z
Der letzte Ausdruck legt nahe, eine Größe p∗m mit
1+
einzuführen; denn dann gilt
p∗m ! p m
= 1+
100
100m
p∗
K; m (t) = K0 · 1 + m
100
t
,
t·m ∈ Z
(6.4)
und dies entspricht im Sonderfall t ∈ Z der Kapitalentwicklung mit jährlicher Zinsgutschrift
mit einem Jahreszinssatz von p∗m %. Deshalb nennt man
p m
p∗m := 100 · 1 +
−1
100m
den effektiven Jahreszinssatz, den man bei einer Zinsgutschrift nach 1/m Jahr, m ∈ N
erhält. Zur Unterscheidung davon bezeichnet man p dann als nominellen Jahreszinsatz.
Dieser effektive Jahreszinssatz ist aber nur eine Vergleichsgröße. Für Kapitalberechnungen ver-
wendet man besser Formel (6.3).
Macht man die Zeitabschnitte immer kleiner, d.h. lässt man m gegen unendlich, so führt das
auf die “Kapitalentwicklung” bei stetiger oder momentaner Zinsgutschrift. Dies wird
wohl kaum bei Bankguthaben angewendet, ist aber die geeignete Beschreibung von natürlichen Wachstumsvorgängen. In Analogie zu Formel (6.3) ist das “Kapital” oder besser z.B. die
Populationsgrösse nach t Jahren durch
p∗
K; ∞ (t) = K0 · 1 + ∞
100
t
,
t∈R
(6.5)
zu berechnen. p∗∞ ist dabei der effektive Jahreszinssatz bei stetiger oder momentaner Zins-
gutschrift. Die Formel (6.3) wäre auch für n ∈ R gültig und damit als Gelichung nach n
auflösbar, wenn man stetige Zinsgutschrift voraussetzen würde und p durch p∗∞ ersetzen würde.
Gibt es nun wie bei p∗m einen Zusammenhang zum nominellen Jahreszinssatz? Dazu prüfen wir
die Populationsentwicklung in einen “kleinen” Zeitintervall:
t
d
p∗∞
p∗∞
K; ∞ (t + ∆t) − K; ∞ (t)
→ K; ∞ (t) = K0 · 1 +
· ln 1 +
∆t
dt
100
100
∗
p
= K; ∞ (t) · ln 1 + ∞
100
⇒ K; ∞ (t + ∆t) ≈ K; ∞ (t) + ∆t · K;0 ∞ (t)
p∗∞
= K; ∞ (t) · 1 + ∆t ln 1 +
100
Der zugehörige nominelle Jahreszinsatz ist also:
p∗∞
p = 100 · ln 1 +
100
Die Umkehrung dieser Formel liefert den effektiven Jahreszinssatz, wenn der nominelle Jahreszinssatz bekannt ist:
p∗∞ = 100 · (ep/100 − 1)
(6.6)
Bemerkung: Alle Formeln lassen sich auch verwenden, wenn man alles statt auf den Grundabschnitt “ein Jahr” einen beliebigen anderen Grundzeitabschnitt bezieht.
6.3
Kapitalentwicklung bei regelmäßigen Ein– oder Auszahlungen
Wir gehen von einer beliebig festgelegten Zinsgutschriftperiode von 1/m Jahr aus. K0 sei wieder
das Startkapital (= (–Anfangsschuld), wenn K0 < 0 ist)
Wir gehen zunächst davon aus, dass am Ende der Zinsgutschriftssperiode ein fester Betrages
R (Rate) eingezahlt wird (nachschüssige Zahlung). Bei R < 0 handelt es sich um eine
regelmäßige Auszahlung. Dann bekommen wir folgende Rekursionsformel
p 6= 1 , m ∈ N,
Kn+1 = Kn · qm + R ,
qm := 1 +
100m
(6.7)
da das vorherige Kapital verzinst wird und die Rate R unverzinst dazu kommt. Wir berechnen
zunächst, bei welchem Wert K̃ des Startkapital K0 sich das Kapital immer gleich bleibt, also
Kn = K̃ für alle n ∈ Z. Damit erhalten wir
R
.
1 − qm
!
K̃ = K̃ · qm + R ⇒ K̃ =
Wenn z.B. der Betrag von (−R) > 0 regelmäßig ausgezahlt wird, so kann man beliebig lange
von den Zinsen leben, wenn man über ein Kapital von K̃ = R/(1 − qm ) > 0 verfügt (“ewige
Rente”). Die allgemeine Kapitalentwicklung erhalten wir am einfachsten über die Hilfsgröße
Kn, h := Kn − K̃.
Für diese gilt
K(n+1), h = Kn+1 − K̃ = Kn · qm + R − K̃ · qm − R
= (Kn − K̃) · qm = Kn, h · qm
d.h. für Kn, h gilt die Rekursionsformel (6.2) und damit erhalten wir nach (6.3):
n
Kn, h = K0, h · qm
Kombinieren wir die gewonnenen Formeln für K̃ und Kn, h so erhalten wir
R
R
Kn = Kn, h + K̃ = K0, h ·
+
= K0, h · q n −
1 − qm
qm − 1
R
R
K0 = K0, h · 1 +
⇒ K0, h = K0 +
1 − qm
qm − 1
n
qm
und damit
n
Kn = K 0 · q m
+R·
n
qm
−1
qm − 1





⇒
n∈Z
,
(6.8)
Bei Einzahlung des Betrages R am Anfang der Zinsgutschriftsperiode ( vorschüssige Zahlung) erhalten wir die Rekursionsformel:
Kn+1 = (Kn + R) · qm = Kn · qm + R · qm
,
qm := 1 +
In der Formel (6.8) ist also nur R durch R · qm zu ersetzen:
n
Kn = K 0 · q m
+ R · qm ·
n
qm
−1
qm − 1
,n ∈ Z
p 6= 1
100m
(6.9)
Wir wollen nun die Formeln (6.8) und (6.8) wie in Abschnitt 6.2 nach den darin vorkommenden
Größen auflösen:

n
−
1
q

m
−n

nachschüssig
 q m Kn − R ·
qm − 1
K0 =
n
qm
−1

−n

K
−
R
·
q
·
q
vorschüssig
 m
n
m
qm − 1

n qm − 1

nachschüssig
) n
 (Kn − K0 · qm
qm − 1
R=
qm − 1

n
 (Kn − K0 · qm
)
vorschüssig
n − 1)
qm (qm
(6.10)
Für die erste der beiden Formeln gibt es noch einen wichtigen Spezialfall: Nehmen wir an, eine
konstante Rente (−R) > 0 wird von einem (unbekannten) Kapital K0 > 0 gezahlt, das dadurch
nach n Jahren aufgebraucht ist, d.h. Kn = 0. Dann erhalten wir

qn − 1
−n

 qm
· (−R) · m
nachschüssig
qm −
1
K0 =
n
q −1

−n+1
 qm
· (−R) · m
vorschüssig
qm − 1
(6.11)
Diesen Wert K0 bezeichnet man als Barwert der Rente.
Eine Auflösung nach qm und damit nach p ist prinzipiell auch möglich, erfordert aber meist die
Lösung einer Polynomgleichung höheren Grades. Die Auflösung nach n ist wie in Abschnitt 6.2
wieder nur in Ungleichungsform möglich: Wann ist ein Guthaben von G erreicht oder überschritten, wenn wir p, R > 0 voraussetzen? Aus der strengen Monotonie des natürlichen Logarithmus
folgt im nachschüssigen Fall:
Kn = K 0 ·
n
qm
n
!
qm
−1 !
R
R
R · 100 · m
n
+R·
≥G+
≥ G ⇔ K0 +
qm
=G+
qm − 1
qm − 1
qm − 1
p
R · 100 · m
R · 100 · m
+ n ln qm ≥ ln G +
⇔ ln K0 +
p
p
Damit erhalten wir wegen ln qm > 0 für die Zahl n der Zeitabschnitte die Ungleichung

ln(G + R · 100 · m/p) − ln(K0 + R · 100 · m/p)


nachschüssig
ln qm
n≥
(6.12)

 ln(G + R · qm · 100 · m/p) − ln(K0 + R · qm · 100 · m/p)
vorschüssig
ln qm
Regelmässige Einzahlung innerhalb einer Zinsgutschriftperiode:
Bei manchen Kontoführungen, z.B. bei Sparbüchern, ist es üblich, erst am Ende eines Jahres
die Zinsen gutzuschreiben.
Beispiel: Bei einem Ratensparvertrag, für den ein Zinssatz von 3% vereinbart ist, werden monatlich vorschüssig 200 Euro eingezahlt. Dies ergibt für das erste Jahr folgende Kontoübersicht:
Einzahlung
Verzinsungszeitabschnitt Zinsen am
in Monaten
01.01.
200
12
01.02.
..
.
200
..
.
11
..
.
01.11.
200
2
01.12.
200
1
31.12.
0
0
12 · 13
2
Summe 200 · 12
Guthaben
Ende des Jahres
200 · 3 · 12
100 · 12
200 · 3 · 11
100 · 12
..
.
200 · 3 · 2
100 · 12
200 · 3 · 1
100 · 12
0
200 · 3 · (12 · 13/2)
100 · 12
= 200 · 3 · 0.065 = 39
200
400
..
.
2200
2400
200 · 12 + 39
×
Die Zinsen für den Januarbetrag werden also nicht schon zum Zeitpunkt der nächsten Einzahlung gutgeschrieben, sondern erst am Ende des Jahres.
Für die Kapitalentwicklung wollen wir nun allgemeine Formeln herleiten: Wir gehen von einer
Zinsgutschriftsperiode von 1/m Jahr aus und nehmen an, dass im Abstand von dem l–ten Teil
davon ein Betrag in Höhe von r vorschüssig eingezahlt wird. Bei dem obigen Beispiel ist m = 1
und l = 12. Wenn nach einem Quartal die Zinsen gutgeschrieben werden und monatliche
Einzahlungen erfolgen ist m = 4 und l = 3. Die Verzinsungzeiträume für die Einzahlungen
innerhalb eines Zinsgutschriftszeitabschnitts sind k/(l · m) Jahre, wobei k die Zahlen von 1 bis
l durchläuft. Der Übergang von dem Kapital nach n Zinsgutschriftsperioden zu dem Kapital
nach (n + 1) Zinsgutschriftsperioden ist somit:
Kn+1 = Kn · qm + r · l +
l
X
r · p · k/(l · m)
k=1
100
= K n · qm + r · l +
l · (l + 1) r · p
2
100 · l · m
(l + 1) · r · p
200 · m
Dies entspricht dem in Formel (6.7) beschriebenen Übergang mit
= K n · qm + r · l +
(l + 1) · r · p
200 · m
Die Kaptalentwicklung ist damit nach Formel (6.8) durch

n
q −1
(l + 1) · r · p

n

· m
vorschüssig
 K0 · q m + r · l +
200 · m qm − 1
Kn =
qn − 1
(l − 1) · r · p

n

· m
+ r ·l+
nachschüssig
 K0 · q m
200 · m
qm − 1
R := r · l +
(6.13)
Die Formel im nachschüssigen Fall ergibt sich daraus, dass man einen Zeitabschnitt der Länge
von 1/(l · m) Jahre weniger verzinst und damit einen die folgende Übergangsformel erhält:
Kn+1 = Kn · qm + r · l +
l
X
r · p · (k − 1)/(l · m)
k=1
100
= K n · qm + r · l +
(l − 1) · l r · p
2
100 · l · m
= K n · qm + r · l +
6.4
(l − 1) · r · p
200 · m
Tilgungsrechnung
In Abschnitt 6.1 wurde bereits ein Tilgungsvorgang beschrieben, bei dem die anfallenden Zinsen
mit eingezahlt werden. Die Rückzahlungsbeträge werden folglich von Jahr zu Jahr geringer.
Nun wird aber die Rückzahlung meist so vereinbart, z.B. bei Hypothekentilgung, dass die
Rückzahlungsbeträge konstant sind, um etwa eine zu hohe Belastung am Anfang zu vermeiden.
Wir gehen also von einem festen Rückzahlungsbetrag A > 0 aus, den man Annuität nennt,
und der nachschüssig eingezahlt wird. Ausserdem schränken wir uns auf den Fall ein, dass
der Betrag am Ende des Zinsgutschriftszeitabschnitts bezahlt wird. Die Restschuld nach n
Zinsgutschriftszeitabschnitten bezeichnet man mit Sn , n ∈ N, und die Anfangsschuld mit S.
Dann kann man die Formel (6.8) anwenden mit K0 := −S < 0, Kn := −Sn und R := A > 0 :
n
Sn = S · q m
−A·
n
qm
−1
qm − 1
,
n∈N
(6.14)
Tilgungsplan bei jährlicher konstanter Rückzahlung:
Jahr
1
2
3
Zinsen
p
S
100
p
S1
100
S2
p
100
Annuität
A
A
Tilgung
p
A−S
100
p
A − S1
100
p
100
A
A − S2
A
A − Sn−1
...
n
Sn−1
p
100
p
100
Restschuld
p
= Sq − A
S1 = S − A + S
100p
= S1 q − A
S2 = S 1 − A + S 1
100
= Sq 2 − A(1 + q)
p
= S2 q − A
S3 = S 2 − A + S 2
100
= Sq 3 − A(1 + q + q 2)
Sn = Sq n − A(1 + q + . . . + q n−1 )
Formel 6.14 kann nach den einzelnen Größen aufgelöst werden, wobei hier von besonderem
Interesse ist, wann die Schuld vollständig getilgt ist. Bezeichnen wir diesen Zeitpunkt mit N ∈ N
(Laufzeit), d.h. ist SN = 0 oder wenigstens SN ≤ 0 und Sn > 0 für n < N , so erhalten wir
nach (6.10) und (6.12):
qm − 1
N −1
qm
ln(1 − S · (qm − 1)/A)
ln(A · 100 · m/p) − ln(A · 100 · m/p − S)
=−
N≥
ln qm
ln qm
N
A = S · qm
(6.15)
6.5
Formeln zur Investitionsrechnung
In diesem Abschnitt setzen wir wieder voraus, dass Kontobewegungen nur am Ende von Zinsgutschriftszeitabschnitten erfolgen.
Diskontfaktor:
−1
=
% := qm
1
1+
p
100m
Um die Bezeichnungen zu vereinfachen, lassen wir hier den Index “m” bei % weg.
Einzahlungsüberschuss im k–ten Zeitabschnitt:
Ek :=Summe aller Einzahlungen im k–ten Zeitabschnitt
– Summe aller Auszahlungen im k–ten Zeitabschnitt
Kapitalwert bei einer Betriebsdauer von n Zeitabschnitten von je 1/m Jahr:
v(%) :=
n
X
Ek %k
k=0
Dabei ist E0 der “Einzahlungsüberschuss” am Beginn des ersten Jahres, also
E0 := −investierte Summe.
Eine Investition lohnt sich genau dann, wenn ihr Kapitalwert v > 0 ist.
Die Bedeutung des Kapitalwertes sieht man, wenn man das Investitionsergebnis mit der Kapitalentwicklung bei dem Anfangskapital v vergleicht: Verfügt man am Anfang über ein Kapital v,
n
so verfügt man nach n Zinsgutschriftszeitabschnitten über ein Kapital von v ·qm
. Investiert statt
dessen man die Summe −E0 und erhält man die Einzahlungsüberschüsse Ek , k = 1, 2, . . . , n, so
verfügt man nach n Zinsgutschriftszeitabschnitten über ein Kapital von
E0 ·
n
qm
+ E1 ·
n−1
qm
+ E2 ·
n−2
qm
+ · · · + En−1 ·
1
qm
+ En ·
0
qm
=
n
X
k=0
n−k
Ek · qm
,
da E0 nach n Zeitabschnitten, E1 nach (n − 1) Zeitabschnitten, E2 nach (n − 2) Zeitabschnitten
u.s.w. verzinst wird. In beiden Fällen soll das gleiche Kapital herauskommen. Also soll sein
!
n
v · qm
=
n
X
k=0
n−k
Ek · qm
n
:
und damit erhalten wir den Kapitalwert nach Division durch qm
v=
n
X
k=0
−k
Ek · qm
=
n
X
k=0
Ek %k .
Durch die Einführung von % können wir v als Polynom in % darstellen, was insbesondere für
die im Folgenden eingeführte Methode des internen Zinssatzes von erheblichem Vorteil
ist: Wenn bei einer Investition der Zinssatz nicht festgelegt ist, sondern z.B. (in gewissem
Rahmen) ausgehandelt werden kann, ist sicher der Zinssatz von besonderem Interesse, bei dem
der Kapitalwert genau an der Grenze der Rentabilität, also = 0 ist. Ob einen solchen Zinssatz
gibt und ob er die gewünschte Information liefert, wird in dem folgenden Satz geklärt:
Satz 6.5.1: Es sei E0 < 0, Ek ≥ 0 für alle k = 1, 2, . . . , n und
n
X
Ek > 0.
k=0
Dann gibt es genau ein % ∈ (0, 1) mit
v(%) = 0
und
v(%) > 0 ⇔ (1 ≥)% > % ⇔ (0 ≤)p < p := (%−1 − 1) · 100 · m.
p heißt der interne Zinsatz.
Eine Investition lohnt sich also genau dann, wenn der tatsächliche Zinssatz (z.B. für ein Darlehen) kleiner ist als der interne Zinssatz.
Für die konkrete Berechnung kann man, wenn eine direkte Auflösung der Polynomgleichung
v(%) :=
n
X
!
Ek %k = 0
k=0
nicht möglich ist aber die Vorrausetzungen des Satzes 6.5.1 gelten, das später allgemein eingeführte Newtonverfahren verwenden: Man wählt %0 = 1 als Anfangsnäherung und verbessert
iterativ: Ist %ν die im ν–ten Schritt berechnete Näherung, so erhält man die nächste verbesserte
Näherung mit der Formel:
%ν+1 := %ν −
n
X
Ek %kν
k=0
n
X
.
kEk %νk−1
k=1
Ob die Näherung %ν+1 gut genug ist, lässt sich leicht überprüfen: Wenn wir fordern, dass
|%ν+1 − %| < δ
sein soll, so ist %ν+1 gut genug, wenn
v(%ν+1 − δ) < 0
ist.