Die Lorentzgruppe SO(3,1)

Die Lorentzgruppe SO(3, 1)
Simon Fischer
3. Februar 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einführende Definitionen
2
2 Die Gruppe SO(3, 1)
2
2.1
Die Lie-Algebra der SO(3, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Die Darstellungen von L↑+
4
4 Isomorphie zur SL(2, C)
5
In diesem Vortrag werden wir die Darstellungen der Lorentzgruppe herleiten und einige
Beispiele für deren Realisierungen angeben. Wir werden hierfür bereits eingeführten Begriffe
der Darstellungstheorie und der Lietheorie verwenden.
Desweiteren werden hier die in der relativistischen Feldtheorie üblichen Konventionen verwendet: griechische Indices laufen von 0 bis 4, lateinische von 1 bis 4. Über gleiche Indices
wird summiert. Wir legen c = 1 fest.
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1
Einführende Definitionen
Definition 1.1 (Metrischer Tensor) Den Tensor zweiter Stufe η = Diag(1, −1, −1, −1)
nennen wir den Metrischen Tensor. Einen Vektor xµ := ηxµ = (x0 , −xi )T heißt kontravarianter Vektor.
Definition 1.2 (Minkowski-Raum) Sei x, y ∈ R4 , x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (t, xi ).
Das Pseudoskalartprodukt x ◦ y = x0 y0 − xi yi = xT ηy = xµ yµ heißt Minkowski-Skalarprodukt.
Den R4 mit dem Minkowski-Skalartprodukt nennen wir Minkowski-Raum.
Dabei bezeichnet die x0 Komponente die Zeit, die xi Komponenten die Raumkoordinaten. xµ
nennen wir 4er-Vektor.
Definition 1.3 (Lorentzgruppe) Die Lorentzgruppe ist die Gruppe aller linearen Transformationen unter denen der Minkowski-Raum invariant ist, also die pseudoorthogonalen
Λ ∈ GL(4) für die gilt:
ΛT ηΛ = η
Wir bezeichen die Lorentzgruppe mit O(3, 1) oder mit L.
Die Lorentzgruppe ist nicht zusammenhängend, Transformationen die Spiegelungen enthalten sind nicht stetig mit Identität verbunden. Insgesamt besteht L aud 4 Zusammenhangskomponenten. Die Gruppe der Transformationen mit det(Λ = 1) heißt eigentliche Lorentzgruppe, SO(3, 1). Die Zusammenhangskomponente, welche die Identität enthält nennen wir
eigentliche orthochrone Lorentzgruppe. Wir bezeichen sie mit L↑+ . Die Lorenzgruppe ist nicht
kompakt.
Wir interessieren uns im Folgenden insbesondere für die Darstellungen von L↑+ .
2
Die Gruppe SO(3, 1)
Die Transformationen in SO(3, 1) setzen sich zusammen aus räumliche Drehungen Ai und
Geschwindigkeitstransformationen, oder Boosts Bi .
0 0
Ai =
0 Ri
!
mit Ri ∈ SO(3)
2
γ
 0

B3 = 
 0
−vγ

0
1
0
0
cosh(ζ)
0 −vγ


0
0
0  
=
0
1
0  
− sinh(ζ)
0 γ


0
1
0
0
0 − sinh(ζ)

0
0

 mit ζ = artgh(v)

1
0
0 cosh(ζ)

B1 und B2 werden entsprechen definiert. Dabei bilden die Drehungen eine Untergruppe, die
Boosts i.a. aber nicht, da ihre Verknüpfungen Drehungen enthalten können.
2.1
Die Lie-Algebra der SO(3, 1)
Wir wollen uns nun die Lie-Algebra der Lorentzgruppe anschauen. Wir finden die Generatoren
dAk (αk )
dBk (ζk )
Xk = i
|αk =0 , Yk = i
|ζk =0
dαk
dζk
0
0
X1 = 

0
0

0
0
0
0
0 0
0 0


0 0
0 0
 X2 = 
0 0
0 −i
i 0
0 −i


0
0
0
0
0
0


i
0
 X3 = 
0
0
0
0


0 0 0
!
0 −i 0
0 eTk

 Y = −i
i 0 0 k
ek 0
0 0 0

Dabei bezeichnet ek den k-ten Einheitsvektor.
Durch nachrechnen erhalten wir die Kommutatoren der Erzeuger-Algebra:
[Xk , Xl ] = iεklm Xm
[Yk , Yl ] = −iεklm Xm
[Xk , Yl ] = iεklm Ym
Wir können die Struktur der Algebra vereinfachen. Dazu führen wir neue Basiselemente ein:
1
Xk± := (Xk ± iYk )
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Die erfüllen folgende Kommutatorrelationen:
+
[Xk+ , Xl+ ] = iεklm Xm
−
[Xk− , Xl− ] = iεklm Xm
[Xk+ , Xl− ] = 0
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Die Algebra zerfällt also in zwei unabhängige Unteralgebren L+ und L− , die von X + und
X − aufgespannt werden. Es gilt L = L+ ⊕L− . Wir erinnern uns, dass eine Lie-Algebra durch
die Kommutatorrelationen festgelegt ist und eine Algebra L± mit obigen Relationen zu einer
Drehgruppe gehört. L↑+ ist also lokal isomorph zu SU (2) × SU (2).
Da die Variable ζ hyperbolisch ist, ist L↑+ jedoch nicht kompakt, kann also nicht global isomorph zum Produkt zweier Drehgruppen sein.
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Die Darstellungen von L↑+
Die Darstellungstheorie der Lorentzgruppe lässt sich nun aus den Darstellungen der Drehgruppe
herleiten.
Die SU (2) hat die genau die irreduziblen Darstellungen der Dimension (2j + 1), j ∈ 12 N
Die irreduziblen Darstellungen der Lorentzgruppe sind also von Dimension (2j + 1)(2j 0 + 1)
mit halbzahligen j, j 0 und sind bis auf Isomorphie durch j, j 0 eindeutig festgelegt.
Hier sollen nun einige in der Physik relevante Beispiele irreduzibler Darstellungen, sowie
deren Produkte, genannt werden, ohne genauer auf sie einzugehen.
1. (0, 0) ist die triviale Darstellung.
2. ( 21 , 21 ) ergibt die 4-dimensionale definierende Darstellung der Lorentzgruppe.
3. (1, 0), (0, 1) sind gerade die definierenden Darstellungen der Drehgruppe SO(3, C),
4. (1, 0) ⊕ (0, 1) ist die 6-dimensionale Darstellung auf den antisymmetrischen Tensoren.
Zu diesen gehören u.a. die Feldstärketensoren F und F∗ . Die 6 freien Komponenten
können durch die Felder E und B beschrieben werden.
5. ( 21 , 0) und (0, 12 ) sind die Weyl- oder Spinordarstellungen.
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Isomorphie zur SL(2, C)
Die Lorentzgruppe ist auch eng Verknüpft mit der Gruppe SL(2, C).
Sei xµ ein 4-Vektor, σ µ := (1, σ 1 , σ 2 , σ 3 ) mit den Paulimatrizen
!
!
!
0 1
0 −i
1 0
σi = (
,
,
)
1 0
i 0
0 −1
Wir definieren eine 2 × 2 Matrix durch:
x0 − x3 −x1 + ix2
Γ := xµ σ =
−x1 − ix2 x0 + x3
!
µ
Es gilt det(Γ) = x20 − x2j = xT ηx. Die Determinante ist also ein Lorenz-Skalar und somit
ist jede Transformation, die det(Γ) invariant lässt, eine Lorentztransformation.
Sei A ∈ SL(2, C), dann gilt für Transformationen der Form Γ0 = AΓA∗ :
P
det(Γ0 ) = det(AΓA∗ ) = 1 · det(Γ) · 1 = xT ηx
A beschreibt also eine Lorentztransformation. Diese Zuordnung ist allerdings nicht eindeutig,
da auch −A auf die gleiche Transformation führt, denn es gilt:
AΓA∗ = (−A)Γ(−A∗ )
Es handelt sich bei A und −A um die Einzigen Matrizen, die die gleiche Lorentztransformation beschreiben. Die SL(2, C) ist also eine 2-fache Überlagerung von L↑+ .
Literatur
[gro98] Groups, Representations and physics. H.F. Jones, 1998.
[sex92] Relativität, Gruppen, Teilchen. Roman U. Sexl Helmut K. Urbantke, 1992.
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