18. Vorlesung

18.Vorlesung
Transportprobleme
Neben der Lagerung ist der Transport zentrales Element
jedes logistischen Systems. Transport ist immer durch die
folgenden Elemente charakterisiert:
Anbieter, Angebotsknoten oder
-orte, Produzenten, Quellen
Nachfrager, Nachfrageknoten
oder -orte, Kunden, Senken
Transportverbindungen,
Kanten, Bögen
(Umladeorte zur Umladung oder
Aufteilung von Sendungen)
Quellen
Senken
q
1
Q
1
.
. q
i
Q
i
.
.
s
x
s
ij
q
n
1
B
1
j
B
j
s
m
Q
n
B
m
Transportkosten
Einfachstes lineares Transportproblem
gegeben sind:
m Produzenten mit Kapazität a i ,
n Kunden mit Bedarf b j
und Bilanzbeziehung Summe a i = Summe b j ,
Jeder Produzent kann jeden Kunden beliefern,
der Transport einer Einheit vom Produzenten i zum
Kunden j (kostet c ij bzw. bringt diesen Erlös)
Fragestellung
Transportplan zur Minimierung der Summe der
Transportkosten oder der Transporterlöse eines
Transportunternehmens
n
b
a =
j
i
j=1
i=1
m n
c x
(2) K (x) =
min!
ij ij
i=1 j=1
n
(3)
x = a > 0 für i = 1,...,m
ij
i
j=1
m
x = b > 0 für j = 1,...,n
(4)
ij
j
i=1
(5)
x > 0 für i = 1,...,m und j = 1,...,n
ij
(1)
m
Modell und Realität
Bilanzbeziehung gilt nicht
zusätzliche Angebots- oder Bedarfspunkte werden
eingeführt zu null Kosten
Transportbeziehungen sind verboten oder akute
Transportprobleme
die entsprechenden Kosten werden sehr hoch angesetzt
Lösungsmethoden
Heuristische Verfahren
Nordwest-Ecken-Methode
Spaltenminimum-Methode
Vogel‘sche Approximations-Methode
Optimierungsverfahren
Stepping-Stone-Methode
Modifizierte Distributionsmethode
Nordwest Ecken Methode
Beginnen Sie im nordwestlichen Ecke (links oben)
Verteilen Sie das gesamte Angebot der obersten
Zeile von links nach rechts entsprechend dem
Bedarf
Fahren Sie mit der nächsten Zeile fort
Verteilen Sie die gesamte Produktion nach dem
Verfahren
Spaltenminimum Methode
Zuordnung der Produktion zur kostengünstigsten
Position in der ganz linken Spalte
Bei Bedarf mit der nächsten Position fortfahren bis
Spalte komplett zugeordnet ist.
Mit der nächsten Spalte fortfahren.
Vogel‘sche Approximations-Methode
Berechnen Sie für jede Zeile die Differenz zwischen dem
zweitkleinsten und dem kleinsten Element aus allen
Spalten.
Berechnen Sie für jede Spalte die Differenz zwischen dem
zweitkleinsten und dem kleinsten Element aus allen Zeilen.
Bestimmen Sie die Zeile oder Spalte mit der größten
Differenz und das zugehörige kleinste Element (p,q).
Setzten sie xpq = min(ap,bq) und markieren Sie die Zeile
oder Spalte, für die die Nachfrage bzw. das Angebot damit
in den Transportplan eingeordnet ist.
Bestimmen Sie die Differenzen neu und fahren Sie fort.
Stepping-Stone-Methode
Verbesserungsmöglichkeiten Marginalbetrachtung
Jedes noch nicht belegte und überprüfte Feld mit einer
Einheit belegen –gleichzeitiges Abziehen von belegtem
Feld
Verbesserung
durchführen
ja
nein
Einsparungen?
Aufgabe
Produktionsplan an verschiedenen Fertigungsstätten:
-F1
-F2
-F3
40 Tonnen
90 Tonnen
80 Tonnen
Nachfrage in den Märkten:
-M1
-M2
-M3
-M4
-M5
30 Tonnen
50 Tonnen
40 Tonnen
60 Tonnen
30 Tonnen
Transportkosten/Tonne:
F1
M1
M2
M3
M4
M5
16
12
18
17
19
F2
14
13
17
15
14
F3
15
16
14
18
13
Beispielaufgabe
Kompakte Aufgabenstellung:
M1
M2
M3
M4
M5
ai
F1
16
12
18
17
19
40
F2
14
13
17
15
14
90
F3
15
16
14
18
13
80
bj
30
50
40
60
30
210
Spaltenminimumverfahren
M1
F1
F2
F3
M2
M3
M5
M4
ai
40
16
12
30
18
17
15
10
50
14
13
17
15
16
14
30
50
90
14
40
bj
40
19
10
18
40
30
13
30
60
80
210
Stepping-Stone-Methode 1
1. Verbesserungsversuch
M1
F1
2
0
F3
1
M3
40
0
2
1
10 3
0
4
0
40 3
50
ai
40
6
30+1
+1
30
M5
M4
4
30 -1
F2
bj
M2
40
90
1
10 -1
30
0
60
30
80
210
Stepping-Stone-Methode 2
2. Verbesserungsversuch
M1
M2
M3
2
0
30
F2
4
2
1
3
0
1
4
50 -1
0
30
bj
0
10 +1
3
50
90
1
40-1
F3
40
6
10 +1
0
ai
+1
40 -1
F1
M5
M4
30
80
0
60
40
30
210
Stepping-Stone-Methode 3
Verbesserte Lösung
M1
F1
M2
F3
bj
M5
M4
ai
40
2
0
4
2
1
3
0
4
0
20
F2
M3
0
10
60
10
1
30
40
6
90
1
40
50
30
3
0
60
40
Kosten Spaltenminimumverfahren
€ 2910
30
80
210
Kosten nach Verbesserung
€ 2890
Klassisches Transportproblem
Region 1 Region 2 Region 3 Region 4 Kapazität
Fabrik 1
7
2
4
7
10
Fabrik 2
9
5
3
3
8
Fabrik 3
7
7
6
4
7
Bedarf
6
5
8
6