Recherche d`un lieu géométrique

Recherche d’un lieu géométrique
On considère un segment [AB]. Pour tout point M de [AB], on construit les triangles
équilatéraux AMC et MBE, puis le point K milieu de [CE].
Nous nous proposons d’étudier l’ensemble de points décrit par K lorsque M se
déplace sur le segment [AB].
Sans logiciel de géométrie dynamique, il est assez difficile de prévoir quel ensemble
va décrire K.
Géogébra va vite nous permettre d’émettre une conjecture (voir la vidéo). Mais,
comment peut-on démontrer cette conjecture ?
Plaçons-nous dans un repère orthonormé (A, B, J).
Dans ce repère, nous noterons x la longueur du segment [AM]
√
La hauteur d’un triangle équilatéral étant égal à son côté multiplié par
(ça, c’est le
théorème de Pythagore qui nous permet de le dire !) on peut affirmer que les coordonnées de
C et E sont :
C(
√
)
et
E(
√
)
K, le milieu de [CE], a donc pour coordonnées :
K( (
√
)
√
(
)) ce qui nous donne : K(
L’ordonnée de K étant constante (égale à
d’équation : y =
√
√
√
).
), le point K appartient donc à la droite
.
L’abscisse de K étant égal à
varie sur l’intervalle [
, avec x variant de 0 à 1, cela signifie que l’abscisse de K
].
Conclusion :
Le point K décrit un segment lorsque M se déplace sur [AB].
Pour être plus précis :
Dans une repère orthonormé (A, B, J ), le point K décrit le segment [RT] où R est le point de
coordonnées (
√
) et T, le point de coordonnées(
√
).