Coordonnées d`un point du plan, milieu, distance
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Coordonnées d`un point du plan, milieu, distance
Coordonnées d'un point du plan, milieu, distance I ) Coordonnées d'un point dans un plan Propriété : Dans un plan trois points non alignés définissent un repère. Définition : Lorsque nous parlons d’un repère (O, I, J) d'un plan : - O est l’origine du repère - (OI) est la droite (l'axe) des abscisses, O et I ont pour abscisses respectives 0 et 1 sur (OI) - (OJ) est la droite (l’axe) des ordonnées, O et J ont pour abscisses respectives 0 et 1 sur (OJ). Exemples de repères (O, I, J) : Repère orthogonal Les axes sont orthogonaux Repère orthonormé Il est orthogonal et normé, OI=OJ=1 unité –-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Repérage d'un point M dans un plan à l'aide d'un repère orthogonal (O, I, J) : M 1 le – tracer la parallèle à (OJ) passant par M, on appelle point d'intersection de cette droite avec la droite (OI) – l'abscisse de M 1 sur la droite (OI) donne l'abscisse x M du point M dans le repère (O, I, J) M 2 le – tracer la parallèle à (OI) passant par M, on appelle point d'intersection de cette droite avec la droite (OJ) M 2 sur la droite (OJ) donne l'ordonnée – l'abscisse du point y M du point M dans le repère (O, I, J). Le couple de réels x M ; y M est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). II) Coordonnées du milieu d’un segment Propriété : Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points, le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées : x x y y K A B; A B . 2 2 Utilisation : 1°) Calculer les coordonnées du milieu d’un segment dont on connaît les coordonnées des extrémités. 2°) Calculer les coordonnées d’un point qui est l’extrémité d’un segment (on connaît les coordonnées du milieu du segment et celles de l’autre extrémité). Exemples : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------III) Distance entre deux points dans un repère orthonormé Propriété : Dans un repère orthonormé la distance entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est AB = x B− x A ² y B − y A ² . Cette distance entre A et B est égale à la longueur du segment [AB]. Démonstration : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Utilisation : Calculer des longueurs de segments pour en déduire des propriétés des figures étudiées, calculer des aires... Exemples :