Chapitre 3 ‐ Les paraboles


1
Chapitre
3
‐
Les
paraboles
Définition
Notations
La PARABOLE est le lieu des points à égale distance d'un point donné,
appelé le FOYER, et d'une droite donnée, appelée la DIRECTRICE.
P = la parabole;
F = le foyer;
d = la directrice.
Exercices - construction point par point
1)
Voici un foyer F et une directrice d. Construire les points qui sont à la fois à
une distance r = 3 de F et à cette même distance r = 3 de d, en prenant 1 cm
pour représenter l'unité.
2)
Faire la même opération pour plusieurs valeurs de r, de 0,5 en 0,5 unité.
2
Équation cartésienne
Choix d'un repère
axe des y = perpendiculaire à d passant par F;
origine = point de l'axe des y à mi-distance de F et de d;
axe des x = parallèle à d passant par l'origine.
Dans ce repère,
∃p≠0
Exemple :
p = 2;
tel que
F(0,
F(0, 1)
€
p
)
2
et
p
d ≡ y =− .
2
et
d ≡ y = −1.
€
€
 si p > 0, F est au - dessus de d;
d(F, d) = p et 
 si p < 0, F est en dessous de d.
∀ point P(x,y),
d(P, F)€=
2

p
x + y − 
2
€ 
2
et
d(P, d) = y +
p
2
Etablissement de l'équation
€
€ P.
Soit P(x, y) un point de
d(P, F) = d(P, d)
d2(P, F) = d2(P, d)
€
par élévation au carré.
2
2

p
p
x2 +  y −  = y +

2
2
2
2


p
p
2
x + y −  = y + 


2
2
2
p
p2
= y 2 + py +
x 2 + y 2 − py€+
4
4
x€2 − py = py
€
€
€
€
Finalement,
par définition de P.
€
€
x 2 = 2py
x2
= y
€
2p
€
P≡y =
x2
2p
avec p ≠ 0.
3
Autre écriture de l'équation
Si l'on pose
1
a= ,
2p
Exemple :
€
p = 2;
P ≡ y = ax 2 on a
F(0, 1); € d ≡ y = −1;
€
avec
a=
1
4
a ≠ 0.
et
P≡y=
x2
4
€
€
F
S
d
m
Axe de symétrie
Sommet
L'axe perpendiculaire à d passant par F est
un axe de symétrie de P. On le notera m.
Dans le repère choisi, m est l'axe des y.
L'intersection m ∩ P est le sommet de P.
On le notera S. Dans le repère choisi, S
est l'origine des coordonnées.
m≡x=0
S(0, 0)
Exercices
3)
Déterminer les coordonnées du foyer F et l'équation de la directrice d de la parabole P si
a)
P ≡ y = x2
d)
P≡y=
x2
2
b)
P ≡ y = 2x2
c)
P ≡ y = 3x2
e)
P≡y=
x2
3
f)
P≡y=
x2
4
4
4)
Déterminer l'équation de la parabole P de directrice d horizontale, de sommet S(0, 0) et
ayant son foyer F au-dessus de d si
a)
5)
d(F, d) = 2
b)
d(F, d) = 1
c)
Déterminer l'équation de la parabole P représentée.
Déterminer les coordonnées de son foyer F.
Déterminer l'équation de sa directrice d.
Représenter F et d sur le graphique.
a)
b)
d)
c)
d(F, d) = 4
Corrigé des exercices
1)
2)
Les points cherchés sont l'intersection du cercle de centre F et de rayon 3 et de la
droite à 3 unités au-dessus de d. Ce sont les points A et B.
5
6
3)
Détermination des coordonnées du foyer F et de l'équation de la directrice d
d'une parabole P.
On fait appel aux formules données à la page 2 :
Principe général
a)
2
P≡y=x
P≡y =
x2
2p
donc
€
x2
= x2;
2p €
1
)
et
4
€
2
P ≡ y = 2x
donc
€
1
F(0, )
et
8
€
2
P ≡ y = 3x
donc
€
1
F(0,
)
et
12
€
x2
P≡y=
donc
2
€
1
F(0, )
et
2
€
€
€
x2
P≡y=
donc
3
€
3
F(0, )
et
4
€
€
€
2
x
P≡y=
donc
4
€
F(0, 1)
et
c)
d)
e)
f)
4)
p
d ≡ y =− .
2
et
2p = 1;
p=
1
;
2
€
p 1
= ;
2 4
1
d ≡ y =− .
4
F(0,
b)
p
)
2
F(0,
€
x2
= 2x2;
2p
€
1
= 2;
2p
1
d ≡ y =− .
8
€
2
€
1
= 3;
2p
x
= 3x2;
2p
€
d ≡ y =−
€
x2 x2
=
;
2p
2
€
€
€
1
;
2
p=
€
1
2p = ;
3
€
€
1
p= ;
6
€
€ €
p 1
= ;
2 2
2p =
1
;
4
p 1
= ;
2 8
p
1
= ;
2 12
1
.
12
€
2p = 2;
p = 1;
1
d ≡ y =− .
2
x2 x2
=
;
2p
3
€
€
2p = 3;
€
3
p= ;
2
p 3
= ;
2 4
3
d ≡ y =− .
4
€
x2 x2
=
;
2p = 4;
2p
4
€
d ≡ y = −1.
€
€
p
= 1;
2
p = 2;
€
€
€
€
Détermination de l'équation de la parabole P de directrice d horizontale,
de sommet S(0, 0) et de foyer F€situé au-dessus de d.
Principe général
On utilise la propriété donnée à la page 2 :
d(F, d) = p
avec
p > 0 si F est au-dessus de d
p < 0 si F est en dessous de d.
Ici, comme F est au-dessus de d, p > 0 donc d(F, d) = p.
€
x2
Ayant la valeur de p, on l'introduit dans l'équation P ≡ y =
.
2p
a)
d(F, d) = 2;
p = 2;
2p = 4
donc
P≡y=
x2
.
4
€
7
b)
d(F, d) = 1;
p = 1;
2p = 2
donc
x2
P≡y=
.
2
c)
d(F, d) = 4;
p = 4;
2p = 8
donc
P≡y=
x2
.
8
€
5)
Détermination de l'équation d'une parabole P représentée sur un graphique.
€
Détermination des coordonnées de son foyer F et de l'équation de sa directrice d.
Représentation de F et de d sur le graphique.
Principe général
On repère le sommet S. Dans tous les cas présentés dans cet
exercice, on a S(0, 0). Il en découle que l'équation de de P est
du type
P ≡ y = ax 2 .
Pour déterminer le coefficient a, on exprime qu'un point,
repéré sur le graphique, est un point de P.
€
Pour déterminer F et d, on utilise les formules
1
p
p
F(0, ) et
d ≡ y = − , avec p déduit de a = .
2p
2
2
a)
Equation de la parabole :
€
Foyer et directrice :
€
P ≡ y = ax 2 or (4; 2) ∈ P donc 2 = a.42;
€
€
1
x2
2 = 16a; 1 = 8a; a = ;
P≡y =
.
8
8
€
1
1 1
p
a= ;
= ; 2p = 8; p = 4;
= 2;
2p
8 2p
2
€
€
F(0, 2) et
d ≡ y = −2 .
€
€
€
P
8
b)
Equation de la parabole :
P ≡ y = ax 2
2 = a.22;
donc
€
or (2; 2) ∈ P
1
a= ;
2
1 = 2a;
P≡y=
x2
.
2
P
Foyer et directrice :
€
a=
1
;
2p
F(0,
€
€
c)€
1 €1
= ;
2 2p
1
)
2
F
p = 1;
p 1
= ;
2 2
1
d ≡ y =− .
2
€ €
et
Equation de la €
parabole :
P ≡ y = ax 2
€
or (1; −2) ∈ P
−2 = a.12;
donc
d
a = −2 ;
F
P ≡ y = −2x 2 .
P
€
Foyer et directrice :
€
a=
1
;
2p
−2 =
€
1
1
p=− = − ;
4
4
€
€
€
1
F(0, − )
8
€
€
d)
€
1
;
2p
p=
1
;
2(−2)
p
1
=− ;
2
8
et
€
d≡y=
1
.
8
Equation de la parabole :
€
P ≡ y = ax 2
€
or (1; 1) ∈ P
1 = a.12;
donc
P
a = 1;
P ≡ y = x2.
Foyer et directrice :
€
1
a= ;
2p
F(0,
€
€
€
d
1
)
4
1
1= ;
2p
F
1
p= ;
2
1
d≡y= − .
4
€ €
et
€
€
p 1
= ;
2 4
d
9
Paraboles de sommet quelconque
P ≡ y = a(x − xS ) 2 + yS
P 0 ≡ y = ax 2
P (x, y)
€
€
€
P0 (x 0 , y 0 )
€
S (xS , yS )
€
S0 (0, 0)
On veut obtenir l'équation d'une parabole P de directrice horizontale et de sommet
€
S(xS, yS).
Soit P 0 ≡ y = ax2
une parabole de directrice horizontale et de sommet S0(0, 0).
P peut être obtenue par une translation de P 0 amenant le sommet S0(0, 0) en S(xS, yS).
Cette translation amènera tout point P0(x0, y0) de P 0 en un point P(x, y) de P.
Les coordonnées des points P0 et P sont liées par les relations
 x = x 0 + xS

 y = y 0 + yS
ou
 x 0 = x − xS

 y 0 = y − yS
Comme P0 est un point de P 0, ses coordonnées vérifient l'équation de P 0, donc
€
y 0 = ax 20
€
y − yS = a(x − xS ) 2
€
€
y = a(x − xS ) 2 + yS
Cette relation est vérifiée
par€les coordonnées (x, y) de tout point P de P. C'est l'équation de P.
€
€
€
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
Toute parabole de directrice horizontale a une équation de ce type et toute équation de ce type
(avec a ≠ 0) est celle d'une parabole de directrice horizontale.
Le coefficient a détermine la forme de la parabole tandis que xs et ys déterminent sa position.
10
Exercice
6)
Déterminer l'équation des paraboles suivantes. En développer le second membre.
a)
b)
c)
e)
g)
d)
f)
11
Principe de la résolution de cet exercice
On commence par écrire la forme générale de l'équation :
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
Il y a dans cette équation 3 paramètres : a, xS et yS. Pour passer de la forme générale à la
forme particulière qui est celle de la parabole particulière montrée sur le graphique, il faut
remplacer ces trois paramètres par leur valeur.
Prenons comme exemple la parabole représentée ci-contre.
C'est celle du cas a) de l'exercice 6).
•A(0; 1)
On détermine grâce au graphique la position du sommet S, ce
qui donne la valeur de deux des trois paramètres : xS et yS.
On a dans l'exemple
S(−1; −2)
 xS = −1

 yS = −2
•
S(−1; −2)
On peut alors remplacer les deux paramètres xS et yS par leur valeur :
P ≡ y€= a(x − (−1))2 + (−2)
P ≡ y = a(x + 1)2 − 2
Cette forme de l'équation n'est plus la forme générale mais elle n'est pas encore la forme
très particulière qui corresponde au graphique. Il reste en effet un paramètre à déterminer,
le paramètre a. Pour cela, on cherche un point de la parabole, si possible avec des
coordonnées qui facilitent les calculs. On voit que la parabole passe par le point (0, 1).
Baptisons A ce point.
A(0; 1) ∈ P
 xA = 0

 yA = 1
Comme A est un point de la parabole, ses coordonnées doivent en vérifier l'équation donc
yA = a(xA + €
1)2 − 2
1=a−2
1 = a(0 + 1)2 − 2
1+2=a
1 = a.1 − 2
3=a
On peut dès lors remplacer le paramètre a par sa valeur, 3, dans l'équation
P ≡ y = 3(x + 1)2 − 2
On a là l'équation particulière de la parabole particulière montrée sur le graphique.
On ne s'arrête cependant pas là, on va rendre cette équation plus présentable en
développant son second membre.
P ≡ y = 3(x2 + 2x + 1) − 2
P ≡ y = 3x2 + 6x + 3 − 2
P ≡ y = 3x2 + 6x + 1.
12
Corrigé
6)
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
a)
 xS = −1
S(−1; −2) 
 yS = −2
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
c)
et
 xS = 3
S(3; 3) 
 yS = 3
donc
Or, A(0; 0) ∈ P donc
€
yA = a(xA − 3)2 + 3;
Or, A(0; 1) ∈ P donc
€
yA = a(xA + 1)2 − 2;
0 = a(0 − 3)2 + 3;
1 = a(0 + 1)2 − 2;
0 = 9a + 3;
1 = a − 2;
0 = 3a + 1;
1 + 2 = a;
−1 = 3a;
a = 3.
1
a=− .
3
P ≡ y = 3(x + 1)2 − 2;
P ≡ y = 3(x2 + 2x + 1) − 2;
P≡y= −
2
P ≡ y = 3x + 6x + 3 − 2;
€
P ≡ y = 3x2 + 6x + 1.
P ≡ y = a(x − xS) + yS
 xS = −2
S(−2; 1) 
 yS = 1
et
P≡y= −
x2
+ 2x − 3 + 3;
3
P≡y= −
x2
+ 2x.
3
€
donc
€
P ≡ y = a(x + 2)2 + 1.
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
d)
Or, A(0; 2) ∈ P donc
€
yA = a(xA + 2)2 + 1;
€
S(2; 3)
2
2 = a(0 + 2) + 1;
1 = 4a;
1 = a(1 − 2)2 + 3;
1
a= .
4
1 = a + 3;
1
(x + 2)2 + 1;
4
1 − 3 = a;
a = −2 .
1
P ≡ y = (x2 + 4x + 4) + 1;
4
x2
P≡y=
+ x + 1 + 1;
4
€
P≡y=
€
€
donc
Or, A(1; 1) ∈ P donc
€
yA = a(xA − 2)2 + 3;
2 − 1 = 4a;
€
 xS = 2

 yS = 3
et
P ≡ y = a(x − 2)2 + 3.
2 = 4a + 1;
€
1
(x − 3)2 + 3;
3
1
P ≡ y = − (x2 − 6x + 9) + 3;
3
€
2
P≡y=
donc
P ≡ y = a(x − 3)2 + 3.
P ≡ y = a(x + 1)2 − 2.
b)
et
x2
+ x + 2.
4
P ≡ y = −2(x − 2)2 + 3;
€
P ≡ y = −2(x2 − 4x + 4) + 3;
P ≡ y = −2x2 + 8x − 8 + 3;
P ≡ y = −2x2 + 8x − 5.
13
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
e)
S(7; 4)
 xS = 7

 yS = 4
et
donc
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
g)
S(2; 3)
P ≡ y = a(x − 7)2 + 4.
€
Or,
A(8; 5) ∈ P
yA = a(xA − 7)2 + 4;
€
Or,
5 = a(8 − 7)2 + 4;
yA = a(xA − 2)2 + 3;
5 = a + 4;
2 = (−4)2a + 3;
5 − 4 = a;
2 = a(−2 − 2)2 + 3;
a = 1.
2 = (−4)2a + 3;
P ≡ y = (x − 7)2 + 4;
2 = 16a + 3;
P ≡ y = x2 − 14x + 49 + 4;
2 − 3 = 16a;
P ≡ y = x2 − 14x + 53.
−1 = 16a;
S(0; 4)
 xS = 0

 yS = 4
a= −
et
donc
P ≡ y = a(x − 0) + 4;
Or,
A(2; 2) ∈ P
donc
1 = 2a + 2;
1 − 2 = 2a;
P≡y= −
€
€
P≡y= −
1 2
(x − 4x + 4) + 3;
16
P≡y= −
x 2 4x 4
+
− + 3;
16 16 16
P≡y= −
x2 x 1
+ − + 3;
16 4 4
P≡y= −
x 2 x 1 12
+ − + ;
16 4 4 4
P≡y= −
x 2 x 11
+ + .
16 4 4
€
€
€
x2
+ 4.
2
1
(x − 2)2 + 3;
16
€
−1 = 2a;
1
a= − .
2
P≡y= −
€
€ 2 = 4a + 4;
donc
1
.
16
€
yA = a x 2A + 4;
2 = 22a + 4;
A(−2; 2) ∈ P
€
2
€ ≡ y = ax2 + 4.
P
donc
P ≡ y = a(x − 2)2 + 3.
donc
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
f)
 xS = 2

 yS = 3
et
14
Forme développée de l'équation
Comme nous l'avons vu dans l'exercice précédent, il est toujours possible de développer le
second membre de l'équation y = a(x − xS ) 2 + yS , si bien qu'elle peut toujours être mise sous la
forme suivante.
€
P ≡ y = ax2 + bx + c
Sommet
Si l'on ne dispose pas du graphique et que l'on ne connaisse la parabole que par son équation
développée P ≡ y = ax2 + bx + c, comment peut-on calculer les coordonnées xS et yS du
sommet S ?
Détaillons la transformation de P ≡ y = a(x − xS ) 2 + yS en P ≡ y = ax2 + bx + c :
a(x − xS ) 2 + yS
= €a(x 2 − 2xS x + xS2 ) + yS
€
€
€
On a donc posé
€
€
= ax 2 − 2axS x + axS2 + yS
= ax 2 + (−2axS )x + (axS2 + yS )
= ax 2 + bx + c
 −2axS = b
 2
 axS + yS = c
Ce système va permettre de calculer xS et yS à partir de a, b et c.
De la première équation, on tire que
€
xS = −
b
2a
De la seconde équation, on tire que
 b 2 €
Δ
b2
b2
4ac − b 2
b 2 − 4ac
yS = c − ax 2s = c − a −  = c − a 2 = c −
=
=−
=−
 2a 
4a
4a
4a
4a
4a
€
€
Δ
yS = − € 4a
€ où l'on a posé
€
Δ = b 2 − 4ac €
€
Remarquons que, puisque S est un point
€ de P, on a également
Δ est appelé le discriminant
€ trinôme ax2 + bx + c.
du
yS = axS2 + bxS + c .
Exercices
7)
8)
€ €
Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole P si
a)
P ≡ y = x2 − 5x + 6
b)
P ≡ y = 4x2 + 20x + 25
c)
P ≡ y = 10x2 − 3x + 5
d)
P ≡ y = x2 − x − 1
Déterminer analytiquement les abscisses des points d'intersection
avec l'axe des x de la parabole de l'exercice 7) d).
15
Corrigé des exercices
7)
Détermination des coordonnées du sommet d'une parabole P d'équation donnée.
Principe général
a)
On utilise les formules établies à la page précédente :
b
Δ
Δ = b 2 − 4ac .
et
où
xS = −
yS = −
2a
4a
P ≡ y = x2 − 5x + 6
P ≡ y = 4x2 + 20x + 25
b)
€
2
€
a = 1€ Δ = b − 4ac
b = −5
= (−5) 2 − 4 • 1 • 6 c=6
= 25 − 24 = 1
b
−5 5
=−
=
2a
2 •1 2
Δ
1
1
yS = − = −
=− 4a
4 •1
4
5
1
S ; − 
2
4
2
a = 4 Δ = b − 4ac
b = 20
= 20 2 − 4 • 4 • 25 c = 25
= 400 − 400 = 0
b
20
5
=−
=−
2a
2•4
2
Δ
0
yS = − = −
= 0
4a
4•4
 5 
S − ; 0
 2 
d)
P ≡ y = x2 − x − 1
Δ = b 2 − 4ac
a =1
b = −1
= (−1) 2 − 4 • 1 • (−1) c = −1
= 1+ 4 = 5
b
−1 1
=−
=
2a
2 •1 2
Δ
5
5
yS = − = −
=− 4a
4 •1
4
1
5
S ; − 
2
4
xS = −
€
€
€
€
€
P ≡ y = 10x − 3x + 5
2
a = 10 Δ = b − 4ac
b = −3
= (−3) 2 − 4 • 10 • 5 c=5
= 9 − 200 = −191
b
−3
3
=−
=
2a
2 • 10 20
Δ
−191 191
yS = − = −
=
4a
4 • 10 40
 3 191
S ;

 20 40 
€
xS = −
€
€
€
8)
€
2
c)
€
xS = −
xS = −
€
€
€
On cherche les abscisses des points d'intersection de la parabole P ≡ y = x2 − x − 1
€ avec l'axe des x
oX ≡ y = 0.
€
 y = x 2 − x −1

 y = 0.
Les coordonnées de ces points vérifient le système
x 2 − x −1 = 0 .
Leurs abscisses vérifient donc l'équation
Mais nous ne savons pas résoudre une telle équation, où l'inconnue apparaît à la fois au
€ réécrivons l'équation de P :
premier et au deuxième degré. Pour éviter cela,
€  x = 1/2
S
P ≡ y = a(x − xS ) 2 + yS où a = 1 et 
d'après les résultats du 7) d).
y
 S = −5 /4
2

1 5
P ≡ y = x −  − .

2 4
€
2

1
5
x −  = ;

2
4
Les abscisses cherchées sont donc solution de
€
1
5
;
x− =±
2
4
x−
€
Les abscisses cherchées sont donc
€
€
€
x=
1
5
;
=±
2
2
1
5
−
2 2
et
€
1
5
.
±
2 2
€
1
5
.
x= +
2 2
x=
2

1 5
x
−

 − = 0.

2 4
16
Exercices
9)
10)
Une antenne parabolique a un diamètre d d'un
mètre et une profondeur h de 20 cm. Quelle
serait la profondeur d'une antenne de même
focale ayant 1,5 m de diamètre ?
a)
d
h
Déterminer l'équation des paraboles P 1 et P 2 représentées ci-dessous
et en développer les seconds membres.
P 2
A
B
P 1
b)
11)
Déterminer l'équation de la droite d passant par les points A et B,
points d'intersection des deux paraboles.
Un objet lancé du sol suit une trajectoire parabolique de ce type :
h
α
xf

En choisissant le système d'axes représenté ci-dessus et en prenant comme instant
zéro
celui du lancement, on peut décrire le mouvement par le système
 x = v 0t cosα


1 2
 y = v 0t sinα − gt
2
où




t est le temps,
v0 est la norme de la vitesse initiale,
α est l'amplitude de l'angle entre le sol et la direction du tir,
g est l'accélération de pesanteur terrestre.
Déterminer et exprimer en fonction de v0, g et α les grandeurs suivantes.
€
a)
L’instant tf auquel l’objet retombe sur le sol.
b)
La distance xf entre le point de chute de l’objet et son point de départ.
c)
La hauteur maximale h atteinte par l’objet.
17
Corrigé des exercices
9)
Données
d = diamètre de la première antenne = 1 m;
h = profondeur de la première antenne = 20 cm;
d' = diamètre de la seconde antenne = 1,5 m.
Inconnue
h' = profondeur de la première antenne
Résolution
Dans un repère orthonormé avec l'origine en le sommet de la parabole
et l'axe des y en son axe de symétrie, l'équation de la parabole est
P ≡ y = ax2
(1)
d 
Un point du bord de l'antenne aura comme coordonnées  ; h . Donc
2 
2
d
(2)
h=a
4
€ l'éq. (1) et si elle a un autre
Une antenne de même focale vérifiera également
diamètre d' = 1,5 m et par conséquent une autre profondeur h', ceux-ci seront
€ liés par une relation semblable à l'éq. (2) :
h'= a
d'2
4
(3)
Divisons membre à membre les éq. (3) et (2)
€
h' d'2
=
h d2
h'=
€
donc
 d'  2 1,5 m  2
 32
d'2
9
h
=
h
=
20
cm
=




  20 cm = 20 cm = 45 cm .
2
d
 1m 
 2
4
d
Une antenne de même focale et de 1,5 m de diamètre aura 45 cm de profondeur.
€
10)
Parabole de directrice horizontale et de sommet S(xS; ys) :
a)
Parabole P 1 :
S1(3; 5)
donc
P(1; 3) ∈ P 1
donc
yP = a(xP − 3)2 + 5;
3 = a(−2)2 + 5;
3 = 4a + 5;
1
(x − 3)2 + 5;
2
1
9 10
P 1 ≡ y = − x2 + 3x − + ;
2
2
2
€
P1 ≡ y = −
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS.
P 1 ≡ y = a(x − 3)2 + 5.
4a = 3 − 5;
3 = a(1 − 3)2 + 5;
4a = −2;
a=
1 2
(x − 6x + 9) + 5;
2
1
1
P 1 ≡ y = − x2 + 3x€+ .
2
2
€
−2
;
4
P1 ≡ y = −
€
1
a=− .
2
S2(4; 1)
donc
Q(3; 2) ∈ P 2
donc
yQ = a(xQ − 4)2 + 1; 2 = a(3 − 4)2 + 1;
2 = a(−1)2 + 1;
2 = a + 1;
P 2 ≡ y = (x − 4)2 + 1;
b)
18
P 2 ≡ y = a(x − 4)2 + 1.
Parabole P 2 :
a = 2 − 1;
a = 1.
P 2 ≡ y = x2 − 8x + 16 + 1;
P 2 ≡ y = x2 − 8x + 17.
A et B appartiennent à la fois à P 1 et à P 2 donc leurs coordonnées vérifient le
système constitué des équations de ces paraboles.

1
1
 y = − x 2 + 3x +
2
2

 y = x 2 − 8x + 17

 2y = −x 2 + 6x + 1

 y = x 2 − 8x + 17
Les coordonnées de A et de B vérifiant chacune de ces deux équations, elles vérifient
aussi l'équation résultant de l'addition membre à membre de ces deux équations :
€
€
2
(2y) + ( y) = −x + 6x + 1 + x 2 − 8x + 17
(
) (
)
3y = −2x + 18
€
2
y=− x+6
3
€ D’une part, cette équation est vérifiée par les coordonnées de A et par celles de B. D'autre
part c'est l'équation d'une droite. C'est donc l'équation de la droite qui passe par A et par B.
€
2
d≡ y=− x+6
3
11)
 x = v 0t cosα


1 2
 y = v 0t sinα − gt
2
Trajectoire de l'objet:
€
a)
L’instant tf est la valeur de t qui correspond à y = 0. Il est solution de l'équation

1 
t v 0 sinα − gt  = 0 ;

2 
1
;
v 0t sinα − gt 2 = 0 €
2
1
t = 0 ou v 0 sinα − gt = 0 .
2
L'équation a, d'un point de vue mathématique, deux solutions. Mais la solution t = 0
ne répond pas à la question, elle correspond à l'instant où l'objet est lancé. Déterminons
l'autre solution. €
€
2v sinα
2v sinα
1
t= 0
tf = 0
.
Cette valeur est celle de tf :
.
gt = v 0 sinα ;
g
g
2
€
b)
La distance xf est la valeur de x qui correspond à t = tf :
2v 0 sinα
v 20
x f = v 0t f cosα
cosα = 2sinα cosα
€ = v0
g
g
€
c)
€
Dans le plan (t, y), la courbe de y en fonction de t est une parabole d'équation
€
1
y = v 0t sinα − gt 2
2
€
La hauteur maximale h est la valeur de y qui correspond au sommet S de cette parabole car a < 0.
 1 
Δ
1
2
où €Δ = b 2 − 4ac = ( v 0 sinα) − 4€•  − g • 0 = v 20 sin 2 α
et a = − g
h = yS = −
 2 
4a
2
€
Δ
v 20 sin 2 α v 20 sin 2 α
.
h = yS = − = −
=
 1 
4a
2g
4
−
g


€
 2 
ou
y = at 2 + bt + c
avec
1
a = − g; b = v 0 sinα; c = 0.
2
€
19
Obtention directe de l'équation d'une parabole de sommet quelconque
 de foyer F(xF , yF )
On veut obtenir l'équation de la parabole P 
 de directrice horizontale d ≡ y = y d .
Pour tout point P(x, y), d(P, F) =
(x − xF )
2
2
+ ( y − yF ) et d(P, d) = y − y d
€ avoir, par définition de la parabole, d(P, d) = d(P, F).
Si P(x, y) est un point de P, on doit
d(P, d) = d(P, F)
€
€
y − yd =
(x − xF )
2
+ ( y − yF )
2
€ (y − y ) 2 = (x − x ) 2 + (y − y ) 2
d
F
F
(y − y d )
€
2
2
− ( y − yF ) = ( x − xF )
Elévation au carré.
2
€[( y − y d ) − ( y − yF )][( y − y d ) + ( y − yF )] = ( x − xF )
[yF − y d ][2y − ( yF + y d )] = (x − xF )
€
€
y−
yF + y d
1
2
=
( x − xF )
2
2[ yF − y d ]
y=
1
y +y
2
( x − xF ) + F d
2[ yF − y d ]
2
€
€
or, S étant à mi-distance de F et de d,
€
Si l'on pose
€
a=
2
 y + yd 
2
2[ yF − y d ]y − F
= ( x − xF )


2 
€
xS = xF
et
yS =
€
yF + y d
2
Produit remarquable :
u 2 − v 2 = (u − v)(u + v)
€
donc
1
2
( x − xS ) + yS
2[ yF − y d ]
€
€
2
on a y = a( x − xS ) + yS . C'est l'équation cherchée.
y=
1
2( yF − y d )
€
2
P ≡ y = a(x − xS)2 + yS
20
Foyer et directrice
Nous avions écrit au départ
 F(xF , yF )

 d ≡ y = yd .
Nous voudrions réécrire ces coordonnées et cette équation en ne faisant apparaître que les
paramètres de l'équation de P. Nous avons
€

1
 a= 2 y −y
( F d)

 xS = xF

y + yd
 yS = F
;

2
€
€

1
 yF − y d = 2a

xF = xS

 y +y
d
 F
= yS ;

2
 yF + y d yF − y d
1
−
= yS −

2
2 €
4a

xF = xS

 y +y
y − yd
1
d
 F
+ F
= yS + ;

2
2
4a

1
 y d = yS − 4a
 €
 xF = xS

1
 yF = yS + .

4a
 
1
xS , yS + 
 F €

4a 

 d≡y=y − 1 .
S

4a
Finalement,
€
 yF − y d 1
=

2
4a

xF = xS

 y +y
d
 F
= yS ;

2