Licence de Mécanique Thermodynamique et Thermique LA3M1

Licence de Mécanique
Thermodynamique et Thermique LA3M1
Examen du Lundi 04 Janvier 2010
Les documents et calculettes ne sont pas autorisés.
Votre copie doit être bien présentée:
ƒ écrire de façon lisible ;
ƒ souligner vos résultats ;
ƒ faire des réponses synthétiques mais pertinentes ;
ƒ ne pas prendre votre copie pour un brouillon ;
ƒ séparer vos copies de thermodynamique et de thermique, vérifier que vous avez bien
mis votre nom sur chaque feuille ainsi qu’une numérotation des copies
ƒ Notation approximative : 13 points pour la thermodynamique, 7 points pour la
thermique
Problème 1 : Optimisation d’un groupe froid à deux étages
On ne fera aucune application numérique. Les réponses devront être fournies sous forme littérale
(en faisant attention aux notations) puis on posera le calcul par les valeurs relevées sur le
diagramme. Les résultats sont donnés à titre indicatif. On justifiera les valeurs numériques
relevées en indiquant les tolérances de lecture. Le tracé du cycle devra se faire avec la plus grande
précision.
On considère un groupe froid à deux étages (frigidaire haut de gamme) (cf.
figures 1 et 2) fonctionnant grâce au cycle suivi par un fluide frigorigène dont la
désignation industrielle est le R12. Il est fourni le diagramme de Mollier
enthalpique (pression P fonction de l’enthalpie massique h) donnant une
description précise des états et des changements de phase de ce fluide.
Le circuit comporte deux compresseurs électriques permettant au cycle de
fonctionner sur trois niveaux de pression (P1,P2,P) :
• la pression basse P1 est choisie pour un changement de phase à une
température de T1=-20 °C (température dans l’enceinte de congélation) ;
• la pression intermédiaire P2 est réglée relativement à une température de
changement de phase de T2=5°C (température dans l’enceinte de
réfrigération) ;
• la pression maximale P est choisie pour atteindre une température de T=20°C.
Le fluide, une fois à la pression P, parcourt un condenseur dans lequel il cède de la
chaleur à l’air ambiant (source chaude) considéré à une température de
Tambiant=18°C. Le refroidissement du fluide ainsi réalisé provoque une condensation
totale du fluide (le point sur le diagramme enthalpique se situe sur la courbe
d’ébullition).
Le liquide est ensuite conduit à travers un détendeur (détente isenthalpe)
l’amenant au niveau de pression intermédiaire P2. Après cette première détente, le
fluide est diphasique du fait de la co-existence des phases liquide et vapeur. Une
partie du fluide est soutirée (en proportion α ) et passe dans l’évaporateur 2 qui
sert à conditionner l’enceinte à température T2. L’autre partie (en proportion
1− α ) est à nouveau détendue au niveau de pression P1 (détente isenthalpe). Cette
portion du fluide passe alors dans un l’évaporateur 1 qui permet de conditionner
l’enceinte à la température T1.
On suppose les deux compressions sont adiabatiques réversibles. Le fluide à
l'entrée de la première compression est à une température de 20°C.
1
Feuille à rendre
Nom :
Date :
Prénom :
Section :
N° dossier
signature :
1. Les phases du cycle se décomposent en une compression isentropique, un
refroidissement isobare (condensation), une détente isenthalpe et un apport de
chaleur isobare (évaporation). En vous aidant du schéma de la figure 1, on vous
demande de reproduire le tracé du cycle en respectant les grandeurs
thermodynamiques du diagramme de Mollier exprimé dans le repère (P pression,
h enthalpie massique).
Rendre le diagramme de Mollier (mettre votre nom)
2. Si les deux compressions n’étaient pas isentropiques, les points 2 et 3 réels
seraient-ils placés à gauche ou à droite des points 2 et 3 isentropiques ?
Pourquoi ?
3. A l'aide du diagramme enthalpique du fluide R12, remplir le tableau 1
Tableau 1
P (bar)
T (°C)
P=
20
P2=
5
P1 =
-20
Liquide à saturation
Vapeur à saturation
sL (kJ/kg.K)
sV (kJ/kg.K)
hL (kJ/kg)
hV (kJ/kg)
4. On vous demande de définir l’état des points 1, 2, et 3 en prenant en
considération que les compressions sont adiabatiques réversibles. On remplira le
tableau 2 des grandeurs suivantes relevées sur le diagramme de Mollier ;
pression, température, volume massique, enthalpie et entropie (si le relevé est
difficile, donner un encadrement à la valeur).
Tableau 2
1
2
3
P (bar)
T (K)
v (m3/kg)
H (kJ/kg)
s (kJ/kgK)
5. Rappeler la définition du titre de mélange. Exprimer les titres x6 et x5 du
premier et du second étage relatif aux points 6 et 5 en fonction uniquement des
enthalpies de saturation liquide et vapeur du tableau 1 (expression littérale et
celle avec les valeurs).
2
A.N. : L’application numérique donne x6=0.21, x5=0.066
6. Donner l’expression des travaux massiques w12 et w23 fournis dans chaque étage
de compression pour 1 kg de fréon admis dans le second étage. On considère
chaque élément du système comme un système ouvert. On rappellera d’abord
l’expression générale du 1er principe en système ouvert pour un écoulement
stationnaire.
A.N. : w12 = 16kJ / kg et w 23 = 10kJ / kg
7. L’objectif est à présent de choisir les conditions de fonctionnement (choix du
et de la valeur du soutirage α ). Il vous est demandé de répondre au
débit m
mieux aux contraintes suivantes:
- La première est de pouvoir congeler à une température T1 grâce au circuit
de l’évaporateur 1, une certaine quantité C de produit exprimée en kg/h
(C =2kg/h: pouvoir de congélation). Il s’agit d’écrire un bilan d’égalité de
puissance entre la puissance de congélation et la puissance de l’évaporateur 1. La
puissance de l’évaporateur est entièrement utilisée à la congélation (pas de perte
au niveau de l’échange). Pour exprimer cette contrainte, vous considérez que les
produits à congeler sont initialement liquides à une température de Tambiant et ont
une capacité calorifique à l’état liquide et à l’état solide de Ccap (J/kg/K). La
chaleur latente de solidification à la pression atmosphérique et à T1=-20°C est ls
(kJ/kg).
- La seconde est d’atteindre une consommation énergétique la plus faible
possible, au plus égale à celle de la concurrence, définie par la puissance nominale
w
de consommation électrique Pe (W). Le rendement global vaut ηg = m
13 Pe où
w13 représente le travail de compression.
Exprimer ces deux contraintes par deux équations en fonction de α et du débit
du liquide frigorigène R12. Résoudre le système de façon littérale. Poser
total m
ensuite le système avec les valeurs numérique du texte.
A.N. : Ccap=4184J/kg/K, ls= 334 kJ/kg, Pe =119W, ng=0.6
On trouve α = 0.59 et m = 4 . 3 1 .1 0 − 3 k g / s
8. Donner l’expression de la quantité de chaleur par unité de temps pour chaque
évaporateur.
AN : Q 61 = 273W , Q 52 = 434W
9. Que vous inspire la valeur du coefficient d’effet frigorifique dont la définition
Q + Q52
= 6.3 .
est donnée par ε = 61
W12 + W23
3
Courbe Liquide à saturation: L-4-C
Courbe Vapeur à saturation: V-C
P bars
C
4
3
Evaporation 2
5
6
Evaporation 1
L
2
1
P
P2
P1
h kJ/kg
V
Figure 1 : schéma du cycle frigorifique dans le diagramme de Mollier
m
4
Condenseur
Détendeur 2
5
m 2 = α m
3
Compresseur 2
L->G
2
Évaporateur 2
Détendeur 1
6
G->L
m 1 = (1 − α ) m
L->G
Compresseur 1
1
Évaporateur 1
Figure 2. Schéma de l’installation frigorifique
4
Problème de thermique
1. EQUATION DE LA CHALEUR
a) Rappeler les hypothèses permettant d’établir l’équation de la chaleur.
∂T
p
= a ΔT +
(1)
b) Montrer que l’équation de la chaleur devient :
∂t
ρc
si p est la puissance dissipée par unité de volume (W/m3). On précisera la
définition des autres termes employés.
2. MILIEU CONDUCTEUR PARCOURU PAR UN COURANT ELECTRIQUE
z
Te
Te
I
x
x=0
x=L
Figure 1
Un milieu indéformable et conducteur de la chaleur parallélépipédique est compris
entre des plans parallèles situés en x = 0, x = L ; y = 0, y = E ; z = 0, z = H (cf.
dessin Annexe).
On suppose que L << E et L << H de telle sorte que les échanges de chaleur par
les faces en y = 0, y = E, z =0, z = H sont négligés. Les faces en x = 0 et en x = L
sont à une même température constante et uniforme Te. Le milieu, qui est aussi
conducteur de l’électricité, est parcouru par un courant total constant I dirigé
suivant l’axe des z (fig.1). Le milieu est alors le siège d’une puissance par unité de
Re I 2
ρ H
volume dissipée par effet Joule égale à p =
avec Re = e
où ρ e est la
S
V
résistivité électrique (inverse de la conductivité électrique) du cuivre, V étant le
volume et S est la section droite du milieu (cf. dessin Annexe).
2.1 ETAT STATIONNAIRE
Dans l’état thermique stationnaire atteint par le milieu, la température ne dépend
que la variable d’espace x, T = Ts(x).
a- Déterminer le profil de température Ts(x) dans l’état stationnaire en fonction
de Te, p, λ, L et x.
5
b- En déduire l’expression du flux de chaleur par unité de surface qs(x).
c- Tracer l’allure de Ts(x) et de qs(x).
d- On introduit les grandeurs sans dimension suivantes :
X =
x
L
, TR =
pL2
2λ
, θS =
Ts ( x ) − Te
TR
Montrer que θ s ( X ) = X ( 1 − X ) .
e- Dans l’état stationnaire, l’entropie S du milieu change-t-elle au cours du
temps ? Calculer les variations externe ΔeS et interne ΔiS d’entropie pendant
l’intervalle de temps Δt en fonction des paramètres p, L, Te, A et Δt où A
représente l’aire des faces en x = 0 et x = L.
f- Application numérique :
température maximale Tmax.
Déterminer l’ordre de grandeur de la
L = 0.5 mm ; S = 2.5 mm2 ; Te = 300 K ; I = 1 A
On donne pour le cuivre : ρ = 8940 kg/m3 ; c = 380 J.kg-1.K-1 ; λ = 389 W.m-1.K-1 -
Résistivité électrique : ρe = 2. 10 8 Ω.m.
2.2 EVOLUTION INSTATIONNAIRE
Le milieu est initialement à la température uniforme T0 et ses faces en x = 0 et x =
L sont ensuite portées à la température constante et uniforme Te. L’évolution alors
instationnaire du milieu est décrite par l’équation de la chaleur (1) avec un terme
de source p constant venant du chauffage par effet Joule. Au cours de cette
évolution instationnaire, la température ne dépend que des variables x et t, soit T
= T(x,t).
On introduit la température adimensionnée sous la forme : θ ( x , t ) =
avec TR =
pL2
2λ
,
X =
x
L
, τ =
T ( x , t ) − Te
TR
t
ρcL2 L2
avec t r =
=
.
tr
λ
a
a- Montrer que l’équation locale vérifiée par la fonction θ ( X ,τ ) représentant
la température adimensionnée du milieu est :
∂θ ( X ,τ ) ∂ 2θ ( X ,τ )
+2
=
∂τ
∂X 2
6
On pose θ ( X ,τ ) = θ i ( X ,τ ) + θ S ( X ) où θ S ( X ) est la solution stationnaire du
problème et θ i ( X ,τ ) représente l’écart à la solution stationnaire.
b- Montrer que la fonction θ i ( X ,τ ) vérifie l’équation
∂θ i ( X ,τ ) ∂ 2θ i ( X ,τ )
=
.
∂τ
∂X 2
La solution θ i ( X ,τ ) est recherchée sous la forme d’un produit de fonctions en X et
en τ : θ i ( X ,τ ) = f ( X ) g( τ ) .
c- Montrer que la solution générale est de la forme :
θ i ( X ,τ ) = e − k τ ( A cos kX + B sin kX )
2
d- Montrer que les conditions aux limites en x = 0 et x = L imposent A = 0 et
k = nπ.
La compatibilité avec la condition initiale en température T = T0
chercher la solution sous la forme d’une somme sur n:
θ i ( X ,τ ) = ∑ e − k τ bn sin( nπX )
2
impose de
(2)
n
e- Justifier le choix de cette expression pour la fonction θ i ( X ,τ ). On ne
calculera pas les coefficients bn.
f- En se limitant au premier terme en n dans le développement (2), et en
4 T − Te
2
+ 2 ],
admettant le résultat b1 = [ 0
π TR
π
f-1 Expliciter les expressions de la température T(x,t) et du flux de chaleur
q(x,t).
f-2 Tracer l’allure de T(x,t) et de q(x,t).
Dessin annexe
z
S
A
y
z=H
Courant I
y=E
Te
Te
x=0
x=L
x
7