Première S2. D.S. De Mathématiques. Jeudi 7 mai 2009. (durée 2h

Première S2.
D.S. De Mathématiques.
Jeudi 7 mai 2009.
(durée 2h.)
Exercice I. (6 points) Menace sur la Californie (de la série TV 24 heures)
Jack Bauer, Tony Almeida, Michelle Dessler et toute leur équipe vont encore avoir une dure journée car une nouvelle et terrible menace
terroriste vient d'être proférée par les proches du trafiquant Ramon Salazar, actuellement en prison : si celui-ci n'est pas libéré, le virus
Cordillo sera répandu sur le territoire américain. Le Service National de Santé a réussi à réunir un certain nombre d'informations sur ce
virus. Il y a une période d'incubation de 14 heures après contamination. Une fois déclenché, le mal tue au bout de 10 heures. Ainsi, toute
personne infectée est morte 24 heures après exposition. Entre temps, une personne infectée en contamine 7,1 autres en moyenne mais après
son décès, elle n'est plus contagieuse.
Avec ces informations et en faisant l'approximation qu'une personne contamine les autres au bout de 24 heures exactement, les experts
peuvent calculer une estimation des pertes. Ils annoncent à l'équipe du CTU qu'au bout d'une semaine, 9 % de la population californienne
sera touchée. Jack, Tony et Michelle sont horrifiés et se demandent au bout de combien de temps l'intégralité de la Californie sera
contaminée ou morte. Pouvez-vous les aider ?
On appelle u n , le nombre de nouvelles personnes contaminées au bout de n jours après la première contamination et
v n le nombre personnes mortes au bout de n jours. On a alors u o =1 (première contamination) et v 0=0 (le premier
mort apparaît au bout de 24 heures).
1. Montrer que la suite u n  est géométrique. Quelle est sa raison ? Exprimer u n en fonction de n.
2. Justifier que pour tout entier naturel n non nul : v n= u 0u 1 …un – 1 .
3. Donner l'expression de v n en fonction de n puis celle du nombre de personnes mortes ou contaminées au bout de n
jours.
4. Montrer que le nombre de personnes touchées (mortes ou contaminées) au bout d'une semaine est 1 058 612.
En déduire le nombre d'habitants de la Californie.
5. En combien de temps l'intégralité de la Californie serait contaminée ou morte ?
Exercice II. (6 points)
Soit la suite
u n  définie par u 0=1 et pour tout n ∈ ℕ, u n1=
On appelle
f la fonction définie par f  x =
2 un – 2
( u n ≠– 1 et u n ≠– 5 )
u n5
2x–2
.
x5
1. Représenter graphiquement la fonction f ainsi que les premiers termes de la suite.
Que peut-on conjecturer au sujet de la convergence de la suite u n  ?
2. Pour étudier la convergence de cette suite, on introduit une suite auxiliaire
v n  définie, par pour tout n ∈ ℕ par
2u n
. Montrer que la suite v n  est géométrique et donner sa raison et son premier terme.
1u n
3. Déterminer une expression de v n en fonction de n , puis celle de u n en fonction de n .
4. Conclure sur la convergence de la suite u n  .
v n=
Exercice III. (6 points)
Soit u n  la définie par u 0 =0 et pour tout entier n par u n 1 = 2u n .
1. Montrer que pour tout entier n, on a : u n1 – 2 u n12 =u n – 2 .
2. On admet que
u n0 pour tout entier n. Déduire de la question précédente: | un 1 – 2 | 
3. En déduire : | u n – 2 |  2 1 – n , pour tout entier n.
4. Montrer que la suite u n  est convergente. Quelle est sa limite ?
Présentation et rédaction sur 2 points.
Corrigé : www.elm.boxnet.net
1
| u n – 2 |.
2