Devoir de revision des vacances de printemps tst2s 1

Terminale st2s
Devoir de révision vacances de printemps
Durée : 2 heures
nom et prénom :
Exercice 1 :
Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament. Le test de contrôle de qualité de ce médicament porte sur deux points
: sa masse et sa teneur en potassium. On s'intéresse au nombre de médicaments rejetés par ce laboratoire ces dernières années.
On sait qu'en 1990 le nombre de médicaments rejetés était de 18 000. On constate qu'à partir de cette année-là, le nombre de
médicaments rejetés a diminué régulièrement de 3 % chaque année, et on fait l'hypothèse que cette évolution va continuer à se
poursuivre. On note u n le nombre de médicaments rejetés pour les années (1990 + n).
Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.
1) Calculer u1 , u 2 et u 3 .
2) Exprimer u n +1 en fonction de u n . Quelle est la nature de cette suite ? (Justifier)
3) Exprimer u n en fonction de n.
4) Quelle est le nombre de médicaments rejetés entre 1990 et 2010 ?
8) Résolvez algébriquement l'inéquation 18000 × 0,97 n < 4500. Interpréter ce résultat.
Formulaire : La somme de p termes consécutifs d’une suite géométrique (u n ) , de raison q différente de 1, se calcule de la
p
manière suivante :
∑u
n
= u 0 + u1 + u 2 + ... + u p = u 0 ×
n =1
1− q p+1
.
1− q
Exercice 2 :
5 points
Lors d'une épidémie de grippe en Guadeloupe, on a relevé lors des six premières semaines, le nombre de nouveaux cas
contaminés. Cette épidémie a évolué comme indiqué dans le tableau suivant :
Semaine ( x i )
1
2
3
4
5
6
Nombres de personnes contaminées ( y i )
200
300
500
900
1400
2000
Partie A :
1) Construisez le nuage de points associé à la série statistique (xi , yi) dans le repère orthogonal de la feuille ANNEXE.
2) Calculez les coordonnées du point moyen G et donnez-en une valeur arrondie au dixième. Placez le point G dans le repère
orthogonal de la feuille ANNEXE.
3) En première approximation, on envisage de représenter le nombre de personnes contaminées y comme une fonction affine
du nombre x de semaines. L’équation de la droite d’ajustement est donnée par : y = 362,86x - 386,67.
Vérifier que G appartient à cette droite.
4) Tracez cette droite (D) dans le repère orthogonal de la feuille ANNEXE en justifiant.
5) Quelle prévision pouvait-on faire lors de la 7ème semaine avec cette approximation ? Donnez une valeur arrondie à l'unité.
Partie B : En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par y= f(x) avec :
f ( x ) = 66x 2 −100x + 230 .
1) Calculez la dérivée f ′ ( x ) et dressez le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [1; 6].
2) Tracez la courbe représentative Cf de la fonction f dans le repère orthogonal de la feuille ANNEXE en correspondance avec
le nuage de point de la question 1) de la partie A.
3) Quelle prévision pouvait-on faire pour la 7ème semaine avec ce deuxième ajustement ? Donnez une valeur arrondie à l'unité.
Partie C : En réalité, le nombre de personnes contaminées lors de la 7ème semaine a été en hausse de 20 % par rapport à celui
de la semaine précédente. Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la
meilleure prévision pour le nombre de personnes contaminées lors de la 7 ème semaine ? Justifiez votre réponse.
Exercice 3 :
Dans une partie du monde, on estime que 15 % de la population est contaminée par un virus X.
La stratégie de dépistage met en place un test biologique qui devrait être négatif si la personne n’est pas contaminée et positif
si la personne est contaminée. On observe les résultats suivants :
Quand la personne est contaminée par le virus X, le test est positif dans 99,6 % des cas ;
Quand la personne n’est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans 97,6 % des cas.
1) En considérant une population de 10 000 personnes observées, compléter le tableau suivant, sans justifier les calculs.
Personnes contaminées
Personnes non contaminées
Total
Test positif
Test négatif
Total
10 000
2) Dans l’exercice, les probabilités seront exprimées sous la forme d’un nombre décimal, arrondi éventuellement à 10−4 près.
On choisit une personne au hasard dans cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité d’être choisies.
On pose les événements : A : « la personne est contaminée par le virus » ; B : « la personne a un test positif ».
a) Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
b) Ecrire avec une phrase en français l’événement A ∩ B .
c) Calculer la probabilité de A ∩ B .
d) Calculer la probabilité que la personne ne soit pas contaminée par le virus et ait un test positif.
e) Calculer la probabilité que la personne soit contaminée par le virus et ait un test négatif ;
f) Calculer la probabilité de l’évènement F : « le test donne un résultat faux ».
3) On choisit maintenant, au hasard, une personne ayant un test négatif. Quelle est la probabilité qu’elle soit contaminée par le
virus ?
Annexe : Exercice 2
Nom et prénom :
Terminale st2s
Correction du devoir de révision vacances de printemps
Exercice 1 :
1) Comme il y a une diminution en pourcentage de 3 % alors tous les termes sont multipliés par un coefficient multiplicatif de


3 
3 
baisse égal à 1 −
= 0, 97 donc u1 = 1 −
u = 0,97 ×18000 = 17460 u 2 = 0,97 u1 = 0,97 ×17460 = 16936 et
 100 
 100  0
u 3 = 0,97 u 2 = 0,97×16936 = 16428 .

3 
2) Pour tout n, u n +1 = 1 −
u = 0, 97 × u n . Pour calculer le nombre de médicaments rejetés une année, on multiplie le
 100  n
nombre de médicaments rejetés l'année précédente par un même nombre 0,97. Donc la suite ( u n ) est une suite géométrique de
raison 0,97 et de premier terme 18000.
3) Selon la formule du cours, u n = u 0 × q n = 18000× 0,97 n .
4) Pour calculer ce nombre, il faut faire la somme des termes consécutifs de u 0 jusqu'à 20. On utilise la formule du cours.
S = u 0 + u1 + ... + u 20 = u 0
1 − q 20 +1
1 − 0,97 21
= 18000
= 283512 à l'unité. Il y a eu 283 512 médicaments rejetés entre 1990 et
1− q
1 − 0,97
2010.
5) Pour résoudre cette inéquation, nous aurons besoin d'utiliser la fonction logarithme :
4500
log 0, 25
1
1
18000 × 0,97 n < 4500 ssi 0,97 n <
ssi log 0,97 n < log ssi n × log 0,97 < log ssi n >
4
4
log 0,97
18000
(Le sens change car log 0,97 < 0).
log 0, 25
≈ 45,51 . Le premier entier à partir duquel l'inégalité est vraie est donc 46.
Or
log 0,97
Donc il faut 46 ans pour que la quantité de médicaments rejetés soit inférieure au quart de la quantité de 1990.
Exercice 2 :
Partie A :
1) Voir feuille ANNEXE.
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6
200 + 300 + 500 + 900 + 1400 + 2000
= 3,5 et yG =
= 883,3 . Donc G (3,5 ; 883,3).
2) x G =
6
6
3) Si x = 3,5 alors y = 362,86 × 3,5 − 386, 67 = 883, 3 au dixième près.
4) Plaçons les points suivants : Si x = 2, y = 362,86 × 2 − 386, 67 = 339, 05 et si x = 6, y = 362,86 × 6 − 386, 67 = 1790, 49 .
5) On peut répondre graphiquement ou par le calcul :
Si x = 7, y = 362,86 × 7 − 386, 67 = 2153, 35 . On peut estimer le nombre de cas à 2153 lors de la 7éme semaine de l'épidémie.
Partie B :
1) f ′ ( x ) = 66 × 2x − 100 = 132x − 100 . C'est une fonction affine à coefficient strictement positif. f ′ ( x ) = 0 ssi 132x − 100 = 0
100 25
=
< 1 . Alors la fonction dérivée est strictement positive sur [1 ; 6].
132 33
La fonction f est strictement croissante sur [1 ; 6]. f (1) = 66 × 12 − 100 × 1 + 230 = 66 − 100 + 230 = 196 et
ssi x =
f ( 6 ) = 66 × 6 2 − 100 × 6 + 230 = 2006 .
Voici le tableau de variation de f sur [1 ; 6] :
2) On représente la courbe grâce au tableau de valeurs suivant :
x
1
2
3
4
5
6
f ( x ) = 66x 2 −100x + 230 196 294 524 886 1380 2006
3) On peut répondre graphiquement ou par le calcul : Si x = 7,
f (7 ) = 66× 7 2 −100× 7 + 230 = 2764 . On peut estimer le nombre de cas à 2764
x
1
6
2006
f(x)
196
lors de la 7éme semaine de l'épidémie avec cet ajustement.
20 

Partie C : S'il y a une augmentation de 20 % entre la 6ème et la 7éme, on calcule : 2000 × 1 +
 = 2000 × 1, 20 = 2400 . En
 100 
réalité, il y a eu 2400 la 7éme semaine.
Premier ajustement : 2400 - 2153 = 247 cas en moins par rapport à la réalité.
Deuxième ajustement : 2764 - 2400 = 364 cas en plus que la réalité. Le premier ajustement est donc le plus proche de la réalité.
Exercice 3 :
1) Personnes contaminées :
15
× 10000 = 1500 ; Si la personne est contaminée, le test est positif dans 99,6 % des cas donc
100
99, 6
97, 6
× 1500 = 1494 ; Si la personne n’est pas contaminée, le test est négatif dans 97,6 % des cas donc
× 8500 = 8296 .
100
100
Personnes contaminées
Personnes non contaminées
Total
Test positif
1494
204
1698
Test négatif
6
8296
8302
Total
1500
8500
10 000
2) Il y a 10 000 cas possibles.
a) A : « la personne est contaminée par le virus » ; il y a 1500 cas favorables ; P ( A ) =
B : « la personne a un test positif » ; ; il y a 1698 cas favorables ; P ( B ) =
1500
= 0,15 ;
10000
1698
= 0,1698 .
10000
b) A ∩ B : « la personne est contaminée par le virus et a un test positif » .
c) il y a 1494 cas favorables ; P ( A ∩ B ) =
1494
= 0,1494
10000
d) G : « la personne n’est pas contaminée le virus et a un test positif » ; il y a 204 cas favorables ; P ( G ) =
e) H : « la personne est contaminée et a un test négatif » ; il y a 6 cas favorables ; P ( H ) =
204
= 0, 0204 .
10000
6
= 0, 0006
10000
f) F : « le test donne un résultat faux » ; On remarque que F = G ∪ H , la réunion étant disjointe ; il y a donc 204 + 6 = 210 cas
favorables ; P ( F ) =
210
= 0, 0210 . Ou bien P(F) = P(G) + P(H) = 0,0204 + 0,0006 = 0,0210.
10000
3) On choisit maintenant, au hasard, une personne ayant un test négatif. Il y a donc 8302 cas possibles.
6
= 0, 0007 .
A’ : « la personne est contaminée par le virus » ; il y a 6 cas favorables ; P ( A′ ) =
8302
Annexe : Exercice 2