Terminale S Chapitre 10 La chute verticale. I. Etude de la chute

Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT
Terminale S
Chapitre 10
La chute verticale.
I. Etude de la chute verticale d’un ballon.
1. Etude expérimentale.
A partir de la la loi horaire trouvée avec regressi on peut trouver l'accélération.
On sait que a =
dV
dt
et que V =
dy
dt
donc après avoir dérivé deux fois la loi horaire on obtient
l’accélération
2. Le champ de pesanteur.

Définir un champ de pesanteur uniforme.
La valeur de la pesanteur étant constante sur une certaine surface, on parle de champ de pesanteur.
m
R²
Masse de la Lune : 7,35.10 22 kg
Rayon de la Lune : 1 740 km
Le champ gravitationnel est obtenu par la formule : g = G.
On donne :
Masse de la terre : 5,98 .1024 kg
Rayon de la terre : 6 380 km
Constante de Cavendish : 6,67 .10-11
Remarque 1 : Déterminer la variation d’altitude pour avoir une variation de g de 1 % :
g − go
go
= 1% = 0,01 en remplaçant :
R ² − ( R + h)²
( R + h)²
= 0,01
soit R² - 1,01(R+h)²=0
de la forme a²-b²=0 d’où R - 1,01.( R + h) =0 d’où h = 32 km avec R = 6380 km
3. Etude théorique de la chute libre.


Définir une chute libre, établir son équation différentielle et la résoudre
Définir un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Définition : un corps en chute libre est un corps qui est soumis qu’à son poids.
Remarque : En théorie, la chute libre n’existe que dans le vide. Mais dans les cas ou la force de frottement
de l’air est négligeable ainsi que la poussée d’Archimède due à l’air, le système est en chute libre. Cela est
possible pour des systèmes denses et sur des distances faibles de l’ordre du mètre.
Détermination de l’expression du vecteur accélération
Le système « boule de pétanque » est étudié dans le référentiel terrestre. Il est soumis à son poids
(les autres forces sont négligeables).
Appliquons la deuxième loi de Newton : m × a = ∑ F ce qui donne : a = g
L’accélération du centre d’inertie d’un solide tombant en chute libre est indépendante de la
masse du solide et égale au vecteur champ de pesanteur.
GROSSHENY L.
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Expression de l’équation différentielle du mouvement.
Comme le mouvement ne se fait que sur une dimension ( sur OY ), il suffit de prendre un repère sur
un axe orienté vers le bas (l’origine est le point de départ de la chute).
La projection de l’égalité vectorielle a = g donne a = g
L’équation différentielle du mouvement est : y = g
Résolution de l’équation différentielle :
dVy
= g
dt
Une primitive de g permet de calculer Vy ; quel type de fonction donne g lorsqu’on la dérive ?
On propose : Vy = g .t + Vo.
L’équation différentielle s’écrit également : y =
Dans notre cas Vo = 0 m/s à t=0s
donc Vy =
dy
= g.t
dt
Recherchons une nouvelle primitive de g.t : y = ½ . g .t² + yo
Dans notre cas yo = 0 m à t= 0s (origine du repère).
La résolution de l’équation différentielle conduit à la loi horaire du mouvement : z =1/2.g.t²
Remarque : nous avons étudié le cas le plus simple, on peut prendre un axe orienté vers le haut,
d’origine le sol et un objet de vitesse verticale dirigée vers le haut de 2,0 m/s partant d’une altitude
de 3,0 m. Trouver l’équation horaire !
Dans ce cas on a a =
dV
dt
= - g d’où V = -g.t +Vo = -g.t + 2,0 et y = -1/2 g.t² + 2,0.t + 3,0
On retrouve l’équation horaire de l’étude expérimentale.
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II. Etude de chute verticale avec frottement.
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Connaître les caractéristiques de la poussée d'Archimède
Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir
l'équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée.
Connaître le principe de la méthode d'Euler pour la résolution approchée d'une équation
différentielle.
1. Etude théorique d’une chute verticale avec frottement.
Un solide en chute verticale est soumis à :
• son poids : P = m.g
• une force de frottement fluide : f= -k.Vn ou n=1 pour des petites vitesses et n=2 pour de
grandes vitesses
•
la poussée d’Archimède : force verticale dirigée vers le haut due à un fluide. Cette
force est égale au poids du volume V de fluide déplacé par le corps immergé.
FA = ρ . V . g
Appliquons la deuxième loi de Newton au solide en chute : m × a =
Soit
m.
dVy
dt
∑
F
= m.g – k.Vn – (ρ. V ) g
L’équation différentielle du type :
dVy
dt
= g(1 –
ρυ
k
) - .Vn
m
m
La résolution de l’équation différentielle est impossible.
2. Etude expérimentale d’une chute d’un bouchon dans un fluide.
Système d’étude : un bouchon de caractéristiques :
 Masse du bouchon m = 26,8 g
 Volume du bouchon : 19 cm3
Nom du fichier : bouchon 26,8_19.avi
On traite la vidéo avec avimeca puis avec Regressi :
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Que peut-on dire de la vitesse ?
Quelle est la valeur de la vitesse initiale ?
Comment prévoir la vitesse du bouchon par calcul ?
 La méthode d’Euler.
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Etude théorique.
 Etablir les forces appliquées au système d’étude.
 En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l’équation différentielle correspondant à la
vitesse du système.
 Projeter la relation vectorielle sur un axe orienté vers le bas.
 En supposant la force de frottement du type f = - k V, déterminer la valeur de k sachant que
dV
dt

est nulle pour V = vitesse limite.
Montrer que
dV
dt
= - 2,855.V + 2,855
Résolution de l’équation différentielle.
 En assimilant la dérivée à une variation, montrer que Vi+1 = Vi +(2,855-2,855 V).Δt.
 Calculer les premières valeurs de la vitesse en prenant un pas de 0,1 s.
On obtient des valeurs de la vitesse par calcul qui correspondent aux valeurs de la vitesse
expérimentales. La méthode de résolution de l’équation différentielle utilisée est appelée méthode
d’Euler
GROSSHENY L.