TRIANGLE RECTANGLE-cercle circonscrit

2. Réciproque
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle,
Alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l'hypoténuse du triangle
Démonstration :
Données :
- (C) est un cercle de centre O
- M, N, P sont trois points de (C) tels que [MN ] soit un diamètre
Conséquence : MNP est un triangle rectangle en P
Démonstration :
- On appelle S le point de (C) tel que [PS ] soit un diamètre
- D'après les données, [MN ] et [PS ] sont des diamètres de (C)
Donc ils ont la même longueur et se coupent en leur milieu
- Or, si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu, alors c'est un
rectangle
En conclusion, MPNS est un rectangle
- Or, un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits
Donc, MNP est un triangle ayant un angle droit
Donc, MNP est un triangle rectangle
Remarque
Ce théorème réciproque sert à montrer qu'un triangle est un triangle rectangle
EXERCICES
II. DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE
1. Définition
La distance d’un point à une droite est la plus petit longueur séparant ce point de la droite
2. Propriété
La distance du point O à la droite (d) est la longueur OH, où H est le point d'intersection de (d) avec
la droite perpendiculaire à (d) passant par O.
{ou : tel que (HO) perpendiculaire à (d) et H∈(d)}
H est le point de (d) le plus proche de O
O
Remarque
Si M est un point de (d) différent de H,
Alors : OM ≥ OH
EXERCICES
4ème-XI-Triangle rectangle : Cercle circonscrit, distance, Tangente
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III. TANGENTE A UN CERCLE PASSANT PAR UN POINT DE CE CERCLE
1) Définition
Soit (C) un cercle de centre O et A un point de (C).
La tangente à (C) passant par A est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon [OA]
2) Remarque
La distance du point O à la droite (d) (qui est la tangente) est égale à OA, c'est-à-dire au rayon du
cercle.
3) Propriété
Soit (d) une droite et O un point n'appartenant pas à (d).
Si la distance du point O à la droite (d) est égale à r (un nombre),
Alors la droite (d) est tangente au cercle de centre O et de rayon r
4ème-XI-Triangle rectangle : Cercle circonscrit, distance, Tangente
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