Correction DM1_seconde1

CORRECTION DU DEVOIR MAISON DE MATHEMAIQUES N°1
EXERCICE : calcul algébrique (4 points)
1) On donne l’expression suivante : A = (7. + 3)(2. − 1) − (2. − 1)².
a. On développe :
A = 7. × 2. − 7. × 1 + 3 × 2. − 3 × 1 − (4.² − 2 × 2. + 1²) Attention à l’identité remarquable, il
A = 14.² − 7. + 6. − 3 − 4.² + 4. − 1
faut garder les parenthèses pour ensuite changer les
A = =>?² + @? − A (1 point)
signes.
b. On factorise :
A = (7. + 3)(2. − 1) − (2. − 1)(2. − 1)
Pour factoriser il faut repérer un facteur commun.
A = (2. − 1)C(7. + 3) − (2. − 1)D
Il faut garder les parenthèses à cause du signe −.
A = (2. − 1)C7. + 3 − 2. + 1D
A = (E? − =)(F? + A) (1 point)
On simplifie dans les parenthèses.
H
H
c. Calculer A pour . = 0 puis pour . = I : il faut remplacer . par 0 puis par I mais, comme il
existe deux formes pour A, alors c’est à vous de choisir la mieux adaptée.
Si . = 0 alors on prend A = 10.² + 3. − 4 et on a A = 10 × 0² + 3 × 0 − 4 = −4.
Si ? = > alors A = −A . (0,5 point)
H
H
H
M
Si . = I alors on prend A =(2. − 1)(5. + 4) et on a A =K2 × I − 1L K5 × I + 4L = 0 × KI + 4L = 0
=
Si ? = E alors A = 0 . (0,5 point)
2) Résoudre l’équation suivante : 2(. − 2) − 1 = −2(. + 4).
La méthode consiste à isoler l’inconnue, il faut alors développer tous les produits.
2(. − 2) − 1 = −2(. + 4)
⟺
2. − 4 − 1 = −2. − 8
⟺
2. − 5 = −2. − 8
On rassemble les termes en x d’une part
⟺
2. + 2. = 5 − 8
et les constantes de l’autre.
⟺
4. = −3
⟺
. = −R
Q
@
La solution est − A. (1 point)
PROBLEME : Optimisation de l'aire d'un rectangle inscrit dans un triangle (11 points)
On pose UV = ..
PARTIE A : étude de la figure.
1)
a. Démontrer que la droite (W) est parallèle au segment CUXD.
UXY est un triangle équilatéral et (YZ) est la médiane de issue de Y. Or, dans un triangle
équilatéral, les médianes sont aussi des médiatrices. Donc (YZ) est la médiatrice de CUXD. On en
déduit que (YZ) est perpendiculaire à la droite (UX).
En résumé, ([\) est perpendiculaire à la droite (YZ) et (YZ) est perpendiculaire à (UX),
donc (]) est parallèle à (^_). (1 point)
Certains élèves n’ont pas compris la construction de la figure et ont utilisé le fait que MNPQ est
un rectangle pour montrer la parallélisme de (W) et (UX). Or c’set parce que (W) est parallèle à
(UX) que l’on peut construire le rectangle ensuite.
b. Calculer la longueur du segment CYZD.
De la démonstration précédente, on déduit que UXY est un triangle rectangle en Z. On peut donc
appliquer le théorème de Pythagore :
UY² = UZ² + ZY²
d’où ZY² = UY² − UZ²
donc ZY² = 144 − 36
ZY² = 108 donc ZY = √108
Or √108 = √36 × 3 = √36 × √3 on a donc cd = e√@ . (1 point)
2) On admet que UV = Xf et on pose . = UV. On admet que . est un réel de l'intervalle C0 ; 6D.
a. Les points V et f sont alignés avec U et X donc Vf = UX − UV − Xf = 12 − . − ..
Donc hi = =E − E?. (1 point)
Si les points ne sont pas alignés on ne peut pas appliquer l’égalité et c’est une hypothèse essentielle
trop souvent oubliée par les élèves.
b. Vf[\ est un rectangle donc (V\) ⊥ (Vf). Comme (YZ) ⊥ (Vf) alors (V\) et (Vf) sont
parallèles.
On a la configuration suivante :
(V\) et (Vf) parallèles
V ∈ CUZD et \ ∈ CUYD
Donc d’après le théorème de Thalès,
lm
ln
On obtient V\ =
qe√@
r
lo
= lp =
mo
np
.
On garde
lm
ln
=
mo
np
q
mo
d’où r = e√@.
donc hs = √@?.. (1,5 point)
c. L'aire du rectangle Vf[\ en fonction de . est t(.) = Vf × V\.
Donc u(?) = √@ ? (=E − E?) = E√@ ? (e − ?) (en factorisant par 2) (1 point)
PARTIE B : étude de l'aire du rectangle MNPQ
L'aire du rectangle Vf[\ est donnée en fonction de . par t(.) = 2√3 . (6 − .)pour . ∈ C0 ; 6D.
1)
a. Tableau de valeurs de t : (2 points)
Attention aux arrondis !
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
f(x)
0
9,5
17,3
23,4
27,7
30,3
31,2
30,3
27,7
23,4
17,3
9,5
0
b. Représentation de la courbe de la fonction t dans un repère orthogonal : (1,5 point)
c. Pour quelle valeur de . l’aire du rectangle Vf[\ est-elle maximale ?
L’aire est maximale pour ? = @. (0,5 point)
2) Déterminer la ou les valeurs exactes de . pour lesquelles Vf[\ est un carré.
Vf[\ est un carré lorsque Vf = V\.
Vf = V\
⟺
12 − 2. = √3 .
⟺
12 = (2 + {3) .
⟺
. = Iz
⟺
12 = 2. + √3 .
HI
√Q
=E
Donc hiys est un carré pour ? = Ez√@ cm.
(1,5 point)