La loi des sinus
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La loi des sinus
La loi des sinus Z, auctore 22 février 2006 1 Notations traditionnelles On rappelle ici les notations généralement employées pour désigner un certain nombres d’éléments dans un triangle ABC. Fig. 1 – Triangle ABC les longueurs des côtés AB = c, AC = b et BC = a ; [ B̂ = ABC [ et Ĉ = ACB [; les mesures des angles  = BAC, l’aire du triangle A(ABC) = S ; Le rayon du cercle circonscrit OA = R. On retiendra notamment que le côté opposé au sommet A est désigné par la lettre a, le côté opposé à B est noté par b et le côté opposé à C est c. 1 Loi des sinus 2 Math foru’ La loi des sinus On se propose d’établir le théorème affirmant que les côtés d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés. Pour obtenir la forme la plus complète de cet énoncé, on considère deux configurations. 2.1 Première configuration Dans le triangle ABC, on mène la hauteur [CD] issue de C ; deux cas de figure se produisent selon que cette hauteur est intérieure ou extérieure au triangle. Dans le premier cas, on a CD = AC sin  = b sin  et dans le second Fig. 2 – Avec une hauteur de ABC. cas, on a CD = AC sin(180 − Â) = b sin Â. Dans les deux cas de figure, l’aire S est donnée par bc sin  S= 2 On en déduit par un raisonnement analogue les égalités ab sin Ĉ ac sin B̂ =S= 2 2 Ceci montre le fait important que l’aire du triangle peut être calculée avec deux côtés et le sinus de l’angle adjacent1 . On en déduit abc sin  abc sin B̂ abc sin Ĉ = = a b c et on obtient enfin alors cette forme de la loi des sinus a b c abc = = = 2S sin  sin B̂ sin Ĉ 2S = 1 on dit aussi l’angle compris. 2 (1) Loi des sinus 2.2 Math foru’ Deuxième configuration Dans le cercle circonscrit à ABC, on trace le diamètre [AZ]. Deux cas sont à envisager selon que Z est sur le même arc de cercle que B, d’extrémités A et C, ou bien sur l’arc complémentaire. Dans le premier cas de figure, les angles Fig. 3 – Avec un diamètre du cercle circonscrit. inscrits B̂ et Ẑ sont égaux. Dans le second cas de figure, les angles inscrits B̂ et Ẑ sont supplémentaires, et on a donc sin Ẑ = sin(180 − B̂) = sin B̂. En effet, il résulte du théorème de l’angle au centre que deux angles inscrits qui interceptent la même corde sont égaux ou bien supplémentaires. Dans les deux cas, le triangle AZC étant rectangle en C, on en déduit AC AZ = sin Ẑ c’est-à-dire b 2R = sin B̂ Par un raisonnement en tout point similaire, on obtient ainsi a sin  = 2R = c sin Ĉ Ceci montre que le rayon du cercle circonscrit ne dépend que d’un côté et de l’angle opposé, c’est à dire de l’angle inscrit qui intercepte ce côté. Il résulte de ces égalités la forme suivante de la loi des sinus a sin  = b sin B̂ = 3 c sin Ĉ = 2R. (2) Loi des sinus 2.3 Math foru’ Énoncé de la loi des sinus En regroupant les formules (1) et (2), on est conduit à cet énoncé complet. Théorème 1 (Loi des sinus). Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés ; précisément, on a a = sin  b sin B̂ = c sin Ĉ = abc = 2R 2S On rappelle que S désigne l’aire du triangle, et R le rayon de son cercle circonscrit. Un corollaire immédiat du théorème 1 est la relation abc = 4RS. (3) c’est-à-dire que le produit des trois côtés est égal à quatre fois le produit de l’aire et du rayon du cercle. 3 3.1 Applications Exemples Deux angles et le côté compris. La loi des sinus permet de déterminer, dans un triangle, un côté ou bien un angle lorsque l’on connaît par exemple un côté et les deux angles qui lui sont adjacents. Cela correspond au premier cas d’isométrie des triangles. Exemple 1. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 12, B̂ = 62° et Ĉ = 50°. Déterminer le troisième angle et les deux autres côtés. Le troisième angle est  = 68°. On applique la loi de sinus, avec a = 12 ici 12 b c = = sin 68 sin 62 sin 50 4 Loi des sinus Math foru’ et ainsi on obtient b = 12 × sin 62 ' 11, 4 sin 68 et c = 12 × sin 50 ' 9, 9 sin 68 avec des arrondis au dixième. Deux côtés et l’angle non compris. Dans certains cas de figure, on peut calculer les éléments manquants lorsque sont donnés deux côtés et un angle opposé à l’un d’eux. Exemple 2. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72°. Déterminer le troisième côté et les deux autres angles. Dans ce cas, où a = 25 et b = 36, la loi des sinus s’écrit 25 sin  = 36 c = sin 72 sin Ĉ d’où on tire sin  = sin 72 × 25 , 36 soit  ' 41° et on en déduit le troisième angle Ĉ ' 67°, les mesures des angles étant arrondies au degré. Alors, la loi des sinus permet le calcul du troisième côté c = 36 × sin 67 ' 34, 8 sin 72 valeur arrondie au dixième. 3.2 Exercices Exercice 1. Dans un triangle ABC, on a BC = 8, B̂ = 50°, Ĉ = 110°. Déterminer les éléments manquants. Exercice 2. Dans un triangle ABC, on a BC = 7, B̂ = 50°,  = 80°. Déterminer les éléments manquants. Exercice 3. Dans un triangle ABC, on a BC = 25, AC = 10 et Ĉ = 80°. Déterminer les éléments manquants. Exercice 4. Dans un triangle ABC, on a BC = 7, 5, AC = 10 et Ĉ = 42°. Déterminer les éléments manquants. Exercice 5. Dans un triangle ABC, on a BC = 36, B̂ = 45° et Ĉ = 62°. Déterminer l’aire de ABC. 5 Loi des sinus Math foru’ Exercice 6. Soit ABCD un quadrilatère convexe, dans lequel on donne les [ = 60° longueurs AB = 20, AC = 40 et CD = 30, ainsi que les angles BAC \ = 45°. Déterminer l’aire de ABCD. et ACD Exercice 7 (Calcul d’une hauteur « inaccessible »). Soit ABC un triangle [ = 74° et HBC \ = 81°. Soit H ayant l’angle B̂ obtus), tel que AB = 50, BAC le projeté orthogonal de C sur (AB). Déterminer la hauteur CH. Exercice 8 (Calcul d’une hauteur « inaccessible » bis). Sur la figure (4), on \ = 42°,  = 105°, B̂ = 36° et AB = 300. Déterminer CH. donne HAC Fig. 4 – Hauteur « inaccessible » bis. Exercice 9. Dans un triangle ABC, avec les notations usuelles, montrer que a = b cos Ĉ + c cos B̂ pour en déduire la formule d’addition sin(B̂ + Ĉ) = sin B̂ cos Ĉ + sin Ĉ cos B̂. Remarque. Dans La trigonométrie 2 de Robert Campbell (Que-sais-je no 692, 1956), on trouve des applications de la loi des sinus à l’astronomie, pour déterminer la distance Terre-Lune, la distance Terre-Soleil (par le procédé de Halley) et la distance entre la Terre et une autre étoile. 2 ouvrage hélàs difficile à se procurer. . . 6