TD22 - Correction des SLCI - Corrigé_2014

TD 22 - Systèmes Automatiques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
Etude de l’asservissement en vitesse du câble tracteur du téléphérique à conduite
double FUNITEL – Corrigé
Q.1.
UC(p)
VC(p)
K1
ε(p)
+
CR(p)
UA(p)
C(p)
UM(p)
KA
+
-
I(p)
1
R
-
ΩM(p)
CM(p)
kc
+
1
J.p + f
V(p)
Kr
E(p)
ke
ΩPC(p)
UE(p)
Avec Kr =
KT
2
DT
V(p)
tel que :
Ω M (p)
ΩR(p)
V(p)
ΩM(p)
Réducteur
Poulie/câble
1700 tr/min
Soit Kr =
7,2 m/s
V(p)
7,2
=
=0,04
ΩM (p) 1700 × 2.π
60
2
.V(p)
DT
2
2
Pour VC(p) = V(p) on doit avoir ε(p) = 0 → K1 – KT.
= 0 → K1 = KT.
DT
DT
2
= 1,5 V.s.m-1
A.N. : K1 = 0,3.
0,4
1
1
.k c .
.k e
1
kc .k e
Ω (p) 1 R
f + J.p
Q.3. HM (p) C (p)= 0 = M = .
= .
R
1
1
UM (p) k e 1 + .k .
.k e ke R.(f + J.p ) + k c .k e
c
R
f + J.p
kc
k c .k e
k c .k e + R.f
1
HM (p) C (p)= 0 = .
=
R
J.R
k e J.R.p + k c .k e + R.f
.p + 1
k c .k e + R.f
1
1
.k c .
.ke
CR (p)
R
R
k c .k e
R
f + J.p
HR (p) U (p)= 0 =
=
.
=
.
M
UM (p) k c .k e 1 + 1 .k . 1 .k kc .k e J.R.p + k c .k e + R.f
c
e
R
f + J.p
Q.2. On a ε(p) = UC(p) – UE(p) = K1.VC(p) – KT.
Florestan MATHURIN
Page 1 sur 4
TD 22 - Systèmes Automatiques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
R
1
1
.k c .
.k e
C (p)
R
k c .k e + R.f
R
f + J.p
.
=
HR (p) U (p)= 0 = R =
M
1
1
J.R
UM (p) k c .k e 1 + .k .
.ke
.p + 1
c
R
f + J.p
k c .k e + R.f
Enfin en utilisant le théorème de superposition on obtient :
ΩM(p) = HM (p) C
R (p ) = 0
.UM(p) – HR (p) U
M (p ) = 0
.CR(p)
kc
KM
kc .k e + R.f
=
Q.4. HM (p) C (p)= 0 =
R
J.R
.p + 1 TM.p + 1
k c .k e + R.f
kc
J.R
→ système du 1er ordre avec KM =
et TM =
k c .ke + R.f
k c .ke + R.f
2,5
A.N. : KM =
= 0,37 rad.V-1.s-1
2,5 × 2,5 + 0,0999 × 4 ,8
TM =
420 × 0,0999
= 6,23 s
2,5 × 2,5 + 0,0999 × 4 ,8
Q.5. En régulation le schéma bloc devient :
UA(p)
VC(p)
+
KE
-
C(p)
UM(p)
KA
ΩM(p)
KM
1 + TM.p
V(p)
Kr
2
= K1 et C(p) = KC
DT
KE .KC .KA .KM.Kr
KC .KS
V(p)
1 + TM.p
1 + TM.p
=
=
Calcul de la FTBF :
VC (p) 1 + KE .KC .K A .KM.Kr 1 + KC .KS
1 + TM .p
1 + TM.p
K C .K S
KC .KS
K C .K S + 1
V(p)
KC .KS
KC .KS + 1
V(p)
=
=
→ G(p) =
=
VC (p) KC .KS + 1 + TM.p 1 + TM .p
VC (p) 1 + TM .p
KC .KS + 1
K C .K S + 1
Avec KE = KT.
Q.6. On obtient question 5 un système du 1er ordre → stable par définiGon.
TM
par définition pour un système du 1er ordre.
KC .KS + 1
TM
3.T − 5
< 5 → 3.TM < 5.KC .K S + 5 → M
Cahier des charges → t5% < 5 s → 3.
< KC .
5.K S
K C .K S + 1
Q.7. t5% = 3.
Florestan MATHURIN
Page 2 sur 4
TD 22 - Systèmes Automatiques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
A.N. : KS = KA.KE.Kr.KM = 30×1,5×0,04×0,37 = 0,67→ KC >
3 × 6,3 − 5
= 4 ,1
5 × 0,67
V0
1
V0
.
=
et cahier des charges → er < 0,02.V0
K
.
K
p→ 0
p 1+ C S
1 + KC .KS
1 + TM.p
V0
0,98
→
≈ 74
< 0,02.V0 → 1 < 0,02.(1 + KC .KS ) → 0,98 < 0,02.KC .KS → KC >
1 + KC .KS
0,02.KS
Q.8. Erreur statique : er = lim p.
Q.9. Pour KC = 74 et V0 = 7,2 on obtient une tension UM en entrée de moteur UM = 7,2×1,5×30×74 = 23976 V
>>> 300 V nominal du moteur → le correcteur proporGonnel n’est pas adapté.
Q.10. En régulation le schéma bloc devient :
UA(p)
VC(p)
+
KE
C(p)
UM(p)
KA
-
ΩM(p)
KM
1 + TM.p
V(p)
Kr
2
K
= K1 et C(p) = i
p
DT
KE .K i .K A .KM .Kr
Ki .K S
p.(1 + TM .p)
p.(1 + TM .p)
V(p)
Calcul de la FTBF :
=
=
VC (p) 1 + KE .K i .K A .KM .Kr 1 + K i .K S
p.(1 + TM .p)
p.(1 + TM .p)
Ki .K S
V(p)
1
V(p)
1
=
=
→ H(p) =
=
2
T
T
1
1
VC (p) TM .p + p + Ki .K S
VC (p)
M
M
.p 2 +
p +1
.p 2 +
p+1
K i .K S
K i .K S
K i .K S
K i .K S
Système du 2ème ordre avec :
K .K
1
1
1
T
2.z
1
K=1 ;
→z= .
= M → ω0 = i S ;
=
2
TM
2 Ki .KS .TM
ω 0 K i .K S
ω0 Ki .KS
Avec KE = KT.
Q.11. FTBO de classe 1 → erreur staGque nulle → C.d.C.F. ok.
Q.12. D1 = e
−
z.π
1− z 2
= 0,1 → −
z.π
1−z
2
= ln 0 ,1 → z2 .π 2 = (ln 0 ,1)2 .(1 − z2 )
(ln 0,1)2
= 0,6
(π 2 + (ln 0,1)2 )
1
1
→ 4.z2 =
→ Ki = 2
Ki .KS .TM
4.z .K S .TM
→ z2 .(π 2 + (ln 0 ,1)2 ) = (ln 0 ,1)2 → z =
1
1
z= .
2 Ki .KS .TM
A.N. : Ki =
1
= 0,17
4 × 0,6 × 0,67 × 6,23
2
Q.13. Pour z = 0,6 on a t 5% .ω0 = 5 avec ω0 =
Florestan MATHURIN
K i .K S
0,17 × 0,67
→ ω0 =
= 0,13 rad/s
TM
6,23
Page 3 sur 4
TD 22 - Systèmes Automatiques
→ t 5% =
5
ω0
=
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
5
= 38,5 s → Système très lent.
0,13
Q.14. Temps de réponse minimal pour z = 0,7 → Ki =
3
= 27,2 s → Système trop lent encore.
ω0 0,11
L’action intégrale pure ne permet pas de corriger le système correctement.
→ t 5% =
3
1
0,12 × 0,67
= 0,12 → ω0 =
= 0,11
4 × 0,7 × 0,67 × 6,23
6,23
2
=
Q.15.
10 Vitesse v(t) (m/s)
KI = 5
8
KI = 1
6
Vitesse v(t) (m/s)
9
KI = 2
KI = 5
8
KI = 0,5
4
KI = 2
KI = 1
7
2
6
KI = 0,5
0
5
Temps (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Temps (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
KI = 1 est le bon gain qui permet de respecter le critère de rapidité, de précision et de dépassement imposé par
le C.d.C.F..
Q.16. Il faudrait déterminer la fonction de transfert qui permet de passer de la vitesse du vent à une action
mécanique sous forme de couple résistant. Dans le sujet on suppose que l’action du vent est modélisable par
un couple résistant sous forme de perturbation en échelon. Avec le correcteur PI il y a un intégrateur dans la
boucle ouverte en amont de la perturbation, l’erreur en régulation est donc nulle.
Florestan MATHURIN
Page 4 sur 4