TD14 - TEC - Corrigé_2014

TD 14 - Systèmes Mécaniques
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
Véhicule TIM - Corrigé
r
Moteur Cme .y
4
CP avec frottement +
condition de RSG en A4
r
Pivot d’axe (04 y )
r
Pivot d’axe (05 y )
0+1
r
Pivot d’axe (06 y )
r
Couple résistant Cr .y
6
5
Engrenage
θ&
u=− 6
θ&
5
On isole l’ensemble E = 4+5+6, on effectue le BAME et on applique le TEC sur E :
d
Ec (E / 0) = PFext →E / 0 + Pint
dt
0
Q.1. Calcul de l’énergie cinétique de l’ensemble E/0 :
On décompose en solides élémentaires : Ec (E / 0) = Ec (4 / 0) + Ec (5 / 0) + Ec (6 / 0)
1
1
1
Avec Ec (4 / 0) = I.θ&42 ; Ec (5 / 0) = I5 .θ&52 ; Ec (6 / 0) = I6 .θ&62
2
2
2
1
→ Ec (E / 0) = (I.θ&42 + I5 .θ&52 + I6 .θ&62 )
2
De plus on a θ&6 = −u.θ&5 (réducteur) et R.θ&5 = −R.θ&4 (condition de RGS en A4)
1
2
→ Ec (E / 0) = (I + I5 + I6 .u2 ).θ&4 le terme (I + I5 + I6 .u2 ) correspond à l’inertie équivalent du système ramenée
2
sur l’arbre moteur.
Q.2. Puissance développée par les AME :
r
r
 0  θ&4 .y 0 
r
P
=
.
Puissance liée au couple moteur : moteur →4 / 0
r  

 = C me .θ&4
C
.
y
0
me
0
 O4 

O4 
r
r
 0  θ& .y 
Puissance liée au couple résistant : P couple resist . →6 / 0 =  r .  6 r 0  = Cr .θ&6
C .y
0 
O4  r 0  O4 
4/0, 5/0 et 6/0 sont des liaisons parfaites, la puissance développée par chacune de ces 3 liaisons est nulle pour
tout mouvement compatible avec la liaison.
Q.3. Puissance développée par les AMI :
r
r
r
− T54 .x + N54 .z  θ&4 / 5 .y 0 
Puissance intérieure liaison 5-4 : P 5 ↔ 4 = {F5 → 4 }⊗ {V4 / 5 }= 
r .  r 
− N54 .r.y   0 
A4 
A4
P 5 ↔ 4 = −N54 .r.θ&4 / 5 = −N54 .r.(θ&4 / 0 − θ&5 / 0 ) or θ&4 / 0 = θ&4 = −θ&5 / 0 = −θ&5 (condition de RSG en A4).
P 5 ↔ 4 = −2.N54 .r.θ&4
La puissance développée par la liaison 5/6 est nulle (la vitesse de glissement est nulle).
Florestan MATHURIN
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d
Ec (E / 0) = PFext →E / 0 + Pint
dt
0
2 & &&
→ (I + I5 + I6 .u ).θ 4 .θ 4 = Cme .θ&4 + Cr .θ&6 − 2.N54 .r.θ&4
Q.4. TEC :
De plus on a θ&6 = −u.θ&5 (réducteur) et R.θ&5 = −R.θ&4 → θ&6 = u.θ&4
→ (I + I5 + I6 .u2 ).θ&4 .θ&&4 = Cme .θ&4 + Cr .u.θ&4 − 2.N54 .r.θ&4
→ Cme = (I + I5 + I6 .u2 ).θ&&4 + 2.N54 .r − Cr .u
Bilan et rebouclage avec les résultats du TD 09-10 :
Lors du fonctionnement du véhicule sur piste on avait obtenu l’expression du couple moteur suivante :
1
 3.I

Cm = (M + 3.m).g. cos α .r +  + R.(M + 3.m).&x& − R.(M + 3.m).g. sinα + R.ρ .S.Cx .x& 2
2
R

Sur le banc d’essai on a :
Cme = (I + I5 + I6 .u2 ).θ&&4 + 2.N54 .r − Cr .u
 3.I

En jouant sur (I + I5 + I6 .u2 ).θ&&4 on peut simuler les effets inertiels correspondant au terme  + R.(M + 3.m).&x&
R

&
dans l’expression du couple moteur réel. On a sur le véhicule x& = R.θ 4 , dans ce cas :
u=
3.I + R2 .(M + 3.m) − I − I5 2.I − I5 + R 2 .(M + 3.m)
=
I6
I6
En jouant sur N54 via le terme 2.N54 .r on peut simuler la résistance au roulement de la roue sur la piste
correspondant au terme (M + 3.m).g. cos α .r dans l’expression du couple moteur réel.
1
Dans ce cas : N54 = (M + 3.m).g. cos α
2
En jouant sur le couple résistant Cr via le terme Cr .u on peut simuler l’action du vent sur le véhicule moins la
1
pente favorable correspondant au terme R.ρ .S.Cx .x& 2 − R.(M + 3.m).g. sinα dans l’expression du couple moteur
2
réel.
Florestan MATHURIN
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Tapis de course - Corrigé
Q.1.
Cm
Moteur CC
Réducteur
poulie/courroie
ωm
Système
courroie/rouleau
On a
V = 19 km/h
ωr
Rayon poulie menante Rp1 = 27 mm
Rayon poulie menée Rp2 = 44 mm
T = 230 N
Rayon rouleau Re = 24,5 mm
R
R
V
ωr Rp1
=
et V = Re .ωr → ωm = p2 .ωr = p2 .
ωm Rp2
Rp1
Rp1 Re
Application numérique : ωm =
44
19.103
.
= 351 rd/s → Nm = 3352 tr/min.
27 3600 × 24 ,5.10 −3
Q.2. A 19 km/h le moteur tourne à la vitesse angulaire ωm =
Rp2 V
. = 351 rad/s. L’accélération angulaire du
Rp 1 R e
1 R V 351
moteur vaut donc ω&m = . p2 . =
= 117 rad/s2.
3 Rp1 Re
3
Q.3. On isole E = 1+2+3 et on applique le théorème de l’énergie cinétique.
[
]
d
1
EC(E / 0) 0 = PFext + PInt avec EC(E / 0) = .Ieq .ω12 , PFext = Pmoteur − Psortie et PInt = pertes = Pmoteur .(µ g − 1)
dt
2
d 1

.Ieq .ω12  = 0 en phase de mouvement uniforme et PFext = Pmoteur − T.V .
dt  2
0
F.V
→ Pmoteur − F.V + Pmoteur .(µ g − 1) = 0 → Pmoteur =
(puissance qui pouvait être trouvée directement en
µg
exprimant le rendement global du système)
Application numérique : Pmoteur =
230 × 19.103
= 1349 W
3600 × 0,9
Q.4. Pmoteur = 1349 W < 1840 W → Le moteur est capable de fournir la puissance nécessaire pour cette phase
de fonctionnement.
Florestan MATHURIN
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Axe de machine outil à commande numérique - Corrigé
1
1
pas
ωm
Q.1. EC(E / 0) = EC(1 / 0) + EC(2 / 0) = .m1 .y& 2 + .I.ωm2 avec y& = −
2
2
2.π
2
2
1
1
1   pas   2
 pas 
2
2
EC(E / 0) = .m1 .
.
ω
+
.
I
.
ω
=
.
m
.
 + I.ωm
 m
 1
m
2
2
2   2.π  
 2.π 
Q.2.
2
  pas 2 
d  1   pas   2 
pas
&
+
I
.
ω
=
C
.
ω
+
F
.
y
→
ωm
 .m1 .

  m
 + I.ωm .ω&m = Cm .ωm − F.
m1 .
m m
2.π
dt  2   2.π  
 0
  2.π  
2
pas   pas  
soit Cm = F.
+ m1 .
 + I.ω&m
2.π   2.π  
Le couple est maximal lors de la phase de mouvement uniformément accélérée ( ω&m > 0 ).
Application numérique : &y& = - 30 m/s2 → −
&y&.2.π
30.2.π
= ω&m =
= 37700 rad/s2
pas
5.10 −3
2

 5.10−3 
5.10−3 
 + 0,02.ω&m = 758 N.m < 1000 N.m → cahier des charges respecté.
+ 100.
Cm = 2000.

2.π


 2.π 
Système d’inspection pour tubes de guidage de centrale nucléaire - Corrigé
Q.1. On applique le théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble E = moteur + réducteur + tambour + câble +
outil.
Calcul de l’énergie cinétique de l’ensemble E :
1
1
1
1
1
V2
1 V2 1
J
J
EC(E / 0) = .M.V2 + .Jm .ωm2 + .Jt .ωt2 = .M.V2 + .Jm . 2 2 + .Jt . 2 = .(M + 2 m 2 + t2 ).V2
2
2
2
2
2
λ .R 2 R 2
λ .R R
→
d 1
J
J
1

.(M + 2 m 2 + t2 ).V2  = Cm .ωm − M.g.V = (Cm .
− M.g).V

dt  2
λ .R R
λ.R
0
1
Cm .
− M.g
Jm
Jt &
1
λ
.
R
&
− M.g).V → V =
→ (M + 2 2 + 2 ).V.V = (Cm .
J
J
λ .R R
λ.R
M + 2 m 2 + t2 )
λ .R R
12
13,5.
− 24 × 9,81
0
,5
&
A.N. : .V =
= 2,5 m/s2 > 1 m/s2 lors de la phase de mouvement uniformément
2
12 × 0,0126 0,8925
24 +
+
0,52
0,52
accélérée → cahier des charges ok.
Florestan MATHURIN
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