TD 06 - Etude temporelle 1er ordre

TD 06 - Systèmes automatisés
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
Etude des performances du système d'ouverture de porte automatique de TGV Corrigé
Q.1. um(t) = e(t) + Rm.i(t)
e(t) = ke.ωm(t)
J.
dωm (t)
= Cm(t)
dt
Cm(t) = km.i(t)
→
Um(p) = E(p) + Rm.I(p)
→
E(p) = ke.Ωm(p)
→
J.p Ωm(p) = Cm(p)
→
Cm(p) = km.I(p)
Q.2.
I(p)
Cm(p)
Um(p)
+
km
1/Rm
-
1
J.p
Ωm(p)
E(p)
ke
k m .k e
K
km .k e
Ω (p) 1 R .J.p
1
1
1
1
R .J
Q.3. m = . m
= .
= .
=
avec K= et T= m
k
.
k
R
.
J
Um (p) k e 1 + m e k e Rm .J.p + k m .k e k e 1 + m .p 1 + T.p
ke
km .k e
Rm .J.p
k m .k e

−
Q.4. ωm (t) = K.u0 . 1 − e


t
T

.u(t) → voir cours réponse indicielle 1er ordre


Q.5. tr5% = 3.τ =0,48s avec τ = T = 0,16s. → voir cours réponse indicielle 1er ordre
Q.6. Ωm(t)=
d
θm(t) → u>lisa>on de la fonc>on de transfert intégra>on.
dt
Q.7. FTBO :
R K
Y(p)
== .
Um (p)
p 1 + T.p
Q.8. Y(p) = =
37.10 −3
1,2
1 44 ,4.10 −3.U0
.
. Um (p) = 2 .
p
1 + 0,16.p
p
1 + 0,16.p
t 

−
0 ,16 

→ y(t) = 44 ,4.10 .U0 . t − 0,16 + 0,16.e
.u(t) → voir cours réponse à une rampe 1er ordre




La réponse à un échelon d’un système en boucle ouverte comprenant un intégrateur est une rampe infinie.
−3

−
Q.9. y(t = 4) = 44 ,4.10 × 5. 4 − 0,16 + 0,16.e


−3
Florestan MATHURIN
4
0 ,16

.u(t) =0,850m → C.d.C.F. ok


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t 
4 


−
−
d y(t)
−3
−3
0 ,16 
0 ,16 


Q.10.
= 44 ,4.10 .U0 . 1 − e
.u(t) → y(t = 4) = 44 ,4.10 × 5. 1 − e
.u(t) =0,22m/s




dt




Valeur supérieure au C.d.C.F.(0,09m/s) → il faut modifier la loi d’entrée pour répondre au C.d.C.F.
Etude des performances des motoréducteurs équipant les roues d’un robot Martien Corrigé
Q.1. H(p) : moteur et G(p) : réducteur à engrenages.
Q.2.
Ω v (p)
H(p).G(p)
=
Ω c (p) 1 + H(p).G(p)
Q.3. um(t) = e(t) + R.i(t)
e(t) = ke.ωm(t)
J.
dωm (t)
= Cm(t) – f.ωm(t)
dt
Cm(t) = km.i(t)
→
Um(p) = E(p) + R.I(p)
→
E(p) = ke.Ωm(p)
→
J.p Ωm(p) = Cm(p) – f. Ωm(p)
→
Cm(p) = km.I(p)
km .k e
Ωm (p) 1 R.(J.p + f )
1
km .k e
1
km .ke
= .
= .
= .
Q.4.
Um (p) k e 1 + km .ke
k e R.(J.p + f ) + km .k e k e R.J.p + f.R + km .k e
R.(J.p + f )
km .k e
Ωm (p) 1
f.R + km .ke
Km
km
R.J
= .
=
avec Km=
, Tm = =
.
R.J
Um (p) ke 1 +
1
+
T
.
p
f
.
R
+
k
.
k
f
.
R
+
k
.
k
m
m
e
m
e
.p
f.R + km .ke
I(p)
Um(p)
+
1
R
-
Cm(p)
km
Ωm(p)
1
J.p + f
E(p)
ke
K
Ωr (p)
, avec K=1 et T=0,05s.
=
Ωc (p) 1 + T.p

−
→ système du 1er ordre → ωr(t) = K.ωc 0 . 1 − e

p

er
Q.6. t5% = 3.τ avec τ = T. → voir cours réponse indicielle 1 ordre
Q.5. ωc(t) = ωc0.u(t) → Ωc(p) =
ωc 0
t
T

.u(t)


t5%= 0,15s <200ms C.d.C.F. ok.
Florestan MATHURIN
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Q.7.et 8.
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d x r (t)
= R.ωr (t)
dt
→
p.Xr(p) = R.Ωr(p)
Ωm(p)
Um(p)
ε(p)
Ωc(p)
+
Xr(p) =
1 V/(rad/s)
H(p)
G(p)
-
K
R
.
.Ωc(p)
p 1 + T.p
→
Xr(p) =
Ωr(p)
Xr(p)
R
p
ω
KT
R
. c0
.
p 1 + TT .p p

−
→ Réponse d’un système du premier ordre à une rampe : xr (t) = R.K.ωc 0  t − T + T.e


er
→ voir cours réponse à une rampe 1 ordre
t
T

.u(t)


Q.9. xr (t1 ) = R.K.ωc 0 (t1 − T ).u(t) = 1000 m
xr (t1 ) = 10.10 −2 × 1 × 2(t1 − 0,05) = 1000 → t1=5000s < 7200s du C.d.C.F. → C.d.C.F. ok.
t1 = 5000s est très grand et lim xr (t) = R.K.ωc 0 (t1 − T ).u(t) → on peut donc négliger l’exponen>elle.
t→ ∞
Florestan MATHURIN
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