PCSI - MPSI Modélisation des SLCI Prof_sii 1 le 13/10/2013

PCSI - MPSI
1
Modélisation des SLCI
PRESENTATION SLCI : .................................................................................................................................................... 2
1.1
1.2
1.3
1.4
SYSTEMES LINEAIRES : .................................................................................................................................................... 2
SYSTEME CONTINU : ........................................................................................................................................................ 2
SYSTEME INVARIANT : ..................................................................................................................................................... 3
SYSTEMES NON LINEAIRES: ............................................................................................................................................. 3
2
REPRESENTATION DES SLCI: ....................................................................................................................................... 4
3
ENTREES TYPES................................................................................................................................................................ 4
4
TRANSFORMATION DE LAPLACE: ............................................................................................................................. 5
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5
FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME: ........................................................................................................... 8
5.1
5.2
5.3
5.4
6
FONCTION DE TRANSFERT.............................................................................................................................................. 13
REPONSE A UN ECHELON ............................................................................................................................................... 13
REPONSE A UNE IMPULSION ........................................................................................................................................... 19
.REPONSE A UNE RAMPE ................................................................................................................................................ 21
IDENTIFICATION D’UN MODELE DE COMPORTEMENT A PARTIR D’UNE REPONSE A UN ECHELON
23
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
9
ÉLEMENTS DE BASE ....................................................................................................................................................... 11
OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS ......................................................................................................................... 11
SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX: ............................................................................................................. 13
7.1
7.2
7.3
7.4
8
GENERALITES .................................................................................................................................................................. 8
INTERET .......................................................................................................................................................................... 9
FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE D'UN SYSTEME ASSERVI: ....................................................................... 10
FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE OUVERTE: .......................................................................................................... 10
OPERATIONS SUR LES SCHEMAS BLOCS: .............................................................................................................. 11
6.1
6.2
7
TRANSFORMEE DE LAPLACE : A QUOI ÇA SERT ? ............................................................................................................. 5
DEFINITION:..................................................................................................................................................................... 5
-PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE: ............................................................................................................ 6
– TRANSFORMEES DE FONCTIONS COURANTES: ............................................................................................................... 7
EXEMPLE DE RESOLUTION D’UNE EQUATION DIFFETRENTIELLE ....................................................................................... 8
PRINCIPE ....................................................................................................................................................................... 23
IDENTIFICATION D’UN PREMIER ORDRE NON RETARDE .................................................................................................. 24
IDENTIFICATION D’UN PREMIER ORDRE RETARDE .......................................................................................................... 25
.IDENTIFICATION PAR UN 2EME ORDRE APERIODIQUE ....................................................................................................... 25
.IDENTIFICATION PAR UN 2EME ORDRE PSEUDOPERIODIQUE............................................................................................. 26
ANALYSE HARMONIQUE ............................................................................................................................................. 28
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
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PRINCIPES...................................................................................................................................................................... 28
LIEUX DE TRANSFERT .................................................................................................................................................... 29
PREMIER ORDRE ............................................................................................................................................................ 32
IDENTIFICATION D’UN MODELE DU PREMIER ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE ........................................ 33
REPONSE HARMONIQUE D’UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE ....................................................................................... 34
.IDENTIFICATION D’UN MODELE DU DEUXIEME ORDRE A PARTIR DE LA REPONSE HARMONIQUE .................................... 37
1
le 13/10/2013
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Modélisation des SLCI
1 Présentation SLCI :
Un système linéaire est représenté sous la forme de schémas-blocs, les entrées (Causes) étant situées généralement à gauche et
les sorties (Effets) à droite. L’intérieur du bloc contient une description du système étudié (Fonction de transfert).
e1 (t )
s1(t)
SYSTEME
LINEAIRE
en (t )
s k (t )
Fonction de
transfert
Cause
Effet
Remarque : Dans les cas réels, k ≤ n, on parle alors de système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t).
1.1
Systèmes linéaires :
Un système est dit linéaire si la fonction qui le décrit est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors le principe de
proportionnalité et de superposition:
-Proportionnalité :
Si s(t) est la réponse à l’entrée e(t) alors λs(t) est la réponse à λe(t).
λ.e(t)
s(t)
e(t)
Système linéaire
Système linéaire
λ.s(t)
-Superposition :
e1(t)
s1(t)
Système linéaire
e2(t)
1.2
Système linéaire
e1(t) + e2(t)
s2(t)
Système linéaire
s1(t) + s2(t)
Système continu :
Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques le
caractérisant sont des fonctions à temps continu et que l’on peut donc définir ces grandeurs à tout instant. On parle aussi dans
ce cas de système analogique.
La plupart des systèmes physiques, du point de vue macroscopique, sont continus. Un système informatique par contre
a besoin d’un temps non nul pour réaliser un traitement de l’information. On ne peut donc pas le qualifier de système continu, il
ne peut que traiter des échantillons des signaux continus qui lui sont soumis, on parle dans ce cas de système échantillonné.
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2
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1.3
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Système invariant :
Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance,
impédance, …) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").
Si s(t) est la réponse à l’entrée e(t) alors s(t-τ) est la réponse à e(t-τ).
1.4
Systèmes non linéaires:
1.4.1 Comment traiter les non linéarités
La plus part des systèmes physiques ne sont pas linéaires sur toute la totalité de leur domaine d’application. Cependant
dans de nombreux cas, ils ne sont utilisés que sur une plage réduite de leur domaine. Sous ces conditions, il est possible en
général d’approcher le comportement par un modèle linéaire. Le système est dit alors linéarisé.
1.4.2 Quelques non linéarités remarquables
Les systèmes réels présentent des non linéarités. Voici quelques cas très couramment observés :
Dénomination
Saturation
Seuil
Hystérésis
Schéma
Exemples
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Butée mécanique,
aimantation, moteur
électrique
frottement
3
Jeux mécaniques,
matériaux (élastomère)
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2 Représentation des SLCI:
En réalité, les systèmes qu'on étudiera ne sont ni continus (point de vue microscopique), ni invariants (vieillissement),
ni linéaires. En faisant des hypothèses simplificatrices, on se ramène à ce cas, c'est-à-dire à des systèmes dont le
comportement peut être représenté par des équations différentielles à coefficients constants:
Equation fondamentale
d n s( t )
d m e( t )
an
+ ...+ a 0 s( t ) = b m
+...+ b 0 e( t )
dt n
dt m
Deux modèles de systèmes fondamentaux sont à étudier dans le cadre des classes préparatoires :
o
o
o
o
o
3
ds (t )
+ s(t) = K e(t)
dt
d 2 s (t )
ds (t )
les systèmes du deuxième ordre :
+ 2 m ω0
+ ω02 s(t) = K ω02 e(t)
2
dt
dt
gain s(t)=b0 e(t)
de(t)
dérivateur s(t)=b1
dt
ds(t)
intégrateur a1
=e(t)
dt
les systèmes du premier ordre :
τ
Entrées Types
Fonction de Dirac (ou impulsion unité) δ(t):
δ(t) = 0, ∀t ≠ 0
Cette fonction représente une action s'exerçant pendant un
temps très court.
δ(t)
t1
Fonction échelon unité u(t):
u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0
u(t)
t
t
remarque : la réponse à l’échelon unité est appelée réponse
indicielle.
Fonction rampe de pente unitaire:
f(t) = 0 si t < 0 et f(t) = t si t ≥ 0
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Fonction sinusoïdale:
donc
f(t) = sin ωt . u(t)
f(t) = t.u(t)
4
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f(t)
f(t)
t
4
4.1
t
Transformation de Laplace:
Transformée de Laplace : A quoi ça sert ?
Il s’agit d’une méthode de résolution pour résoudre les systèmes d’équa diff
La transformation mathématique va remplacer la résolution de l'équation différentielle par l'étude d'une fraction
polynomiale
Méthode par les transformées de Laplace :
Equation
algébrique
Ecriture sous
format type
Domaine de Laplace
Décomposition
en formes
« type »
Conditions
initiales
Transformation
de Laplace
Transformation de
Laplace inverse
Equation
différentielle avec
second membre
Solution totale
Domaine temporel
4.2
Définition:
La transformée de Laplace de la fonction f(t) est notée F(p) = L [f(t)].
∞
L → F(p) = e − pt f (t )dt
f(t) 
∫
0
Avec :
• p est une variable complexe. p=a+jb
• f(t) est intégrable
• f(t) croit mois vite q’une exponentielle (=> convergence)
Conditions de Heaviside :
On dit qu’une fonction du temps f(t) vérifie les conditions de Heaviside si elle vérifie :
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5
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 f (0+ ) = 0
 ' +
, c’est à dire si les conditions initiales sont nulles
 f (0 ) = 0
 f '' (0+ ) = 0,....

4.3
-Propriétés de la transformée de Laplace:
4.3.1 -Propriétés générales :
- Unicité: à f(t) correspond F(p) unique,
à F(p) correspond f(t) unique.
- Linéarité: L [f1(t) + f2(t)] = L [f1(t)] + L [f2(t)] = F1(p) + F2(p)
L [λ f(t)] = λ L [f(t)] = λ F(p)
-Transformée de la dérivée:
Pour cela, intégrons par partie :
∞
∞
∞
0
0
L  f ' (t )  = ∫ e − pt f ' (t )dt =  e− pt f (t )  − ∫ (e − pt )' f (t )dt
0
∞
= p∫ e
0
− pt
f (t )dt − f (0 ) = pL [ f (t )] − f (0 + )
+
Car la fonction f(t) est intégrable. Ainsi, nous avons de même, avec la même démarche :
L  f ' (t )  = pL [ f (t ) ] − f (0+ )
L  f '' (t )  = p 2 L [ f (t )] − pf (0+ ) − f ' (0+ )
Dans les conditions de Heaviside, une dérivation dans le domaine temporel revient à
une multiplication par p dans le domaine symbolique de Laplace.
-Transformée de l'intégrale:
t
L[
∫ f (u)du ] = L
0
F(p) g(0 + )
[ ∫ f (u )du ] =
+
p
p
0
t
-Théorème du retard:
∞
L [f(t-τ)] =
f(t)
τ
∫e
− pt
f ( t − τ)dt = L [f(t-τ)] = e-τp F(p)
0
f(t-τ)
t
4.3.2 – Théorème de la valeur initiale:
Ce théorème permet de déterminer la valeur initiale du système.
lim f (t ) = lim p F ( p)
t →0
4.3.3
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p →∞
- Théorème de la valeur finale:
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lim f (t ) = lim p F ( p)
t →∞
p →0
Remarque1: ces deux derniers résultats n'ont de sens que si les limites existent.
Remarque2: faire attention au p dans les théorèmes précédents. Ne pas l’oublier !
4.4
– Transformées de fonctions courantes:
démonstration échelon unité
u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0
∞
∞
∞
 1 − pt 
L [u(t)] = ∫ e u ( t )dt = ∫ e dt = − e 
 p
0
0
0
Démonstration exponentiel
− pt
− pt
⇒
1
p
L [u (t)] =
1
p+a
L [e-at.u(t)] =
Tableau des transformées de Laplace usuelles
f(t)u(t)
F(p)
1
δ(t )
K
f(t)u(t)
e
e− at
sin(ωt )
cos(ωt )
sin(ωt )
e− at cos(ωt )
K
p
K
p2
1
p+a
ω
2
p + ω2
p
2
p + ω2
Kt
− at
eat t n
tn
1− e
−
t
τ
F(p)
ω
( p + a ) 2 + ω2
p+a
( p + a ) 2 + ω2
n!
( p − a )n +1
n!
p n +1
1
p (1 + τp )
Fonction de Dirac (ou impulsion unité) δ(t):
par définition
δ(t) = 0, ∀t ≠ 0
Cette fonction représente une action s'exerçant pendant un temps très court.
∞
d'où L [δ(t)] =
∫[e ]
− pt
t =0
⋅δ(t)dt =1
L [δ (t)] = 1
0
Fonction rampe de pente unitaire:
f(t) = 0 si t < 0 et f(t) = t si t ≥ 0
df
U ( p ) f ( 0)
= u(t) ⇒ L [t.u(t)] =
+
dt
p
p
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donc
f(t) = t.u(t)
L [t.u(t)] =
⇒
7
1
p2
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Fonction sinusoïdale: f(t) = sin ωt . u(t)
∞
F(p) =
∫e
− pt
sin ωt dt qu'on intègre par parties en posant du = sin ωt dt
et v = e-pt
0
∞
∞
ω
∞
 1 p 2
p
1 p  1
p
 − cos ωt −pt 
− pt
− pt 
= 
e  - ∫ cos ωt e dt = −  sin ωt e  + ∫ sin ωt e −pt dt  = − 2 F(p)
ω ω  ω
 ω ω
0 ω 0
 ω
0 ω 0
L [sin ωt.u(t)] =
ω
p + ω2
2
4.5
Exemple de résolution d’une équation diffétrentielle
d 2 s( t )
ds( t )
+5
+ 6 s( t ) = e( t ) avec s(0) = 2, s'(0) = 2
Soit un système régi par l'équation différentielle
2
dt
dt
et e(t) = 6 u(t)
On applique la transformation de Laplace à cette équation:
 d 2 s (t ) 
 ds (t ) 
+ 5L 
+ 6 L [ s (t )] = L [ e(t )]
L
2 
 dt 
 dt 
p² S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p)
p² S(p) – 2 p – 2 + 5[p S(p) – 2] + 6 S(p) =
6
p
2 p 2 + 12 p + 6
2 p 2 + 12 p + 6
S( p ) =
=
p( p + 2 )( p + 3 )
p( p 2 + 5 p + 6 )
soit
On décompose cette fraction en éléments simples: S(p) =
Par identification, on trouve S(p) =
A
B
C
+
+
p
p+2
p+3
1
5
4
+
−
p
p+2
p+3
On retourne au domaine temporel en prenant les transformées inverses, d'où :
s (t ) = (1 + 5e −2 t − 4e −3t )u (t )
5
5.1
Fonction de transfert d'un système:
Généralités
notation : Dans le domaine symbolique, la relation entre l'entrée et la sortie s'écrit donc
E(p)
H(p)
S(p)
S(p) = H(p).E(p)
La fonction de transfert d’un SLCI est dans les conditions de Heaviside :
On appelle fonction de transfert H(p) du système:
H(p) =
bm p m +...+b0
S(p)
=
an p n +...+a0
E ( p)
Démonstration :
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n
Soit un système décrit par l'équation différentielle:
an
k
d s( t )
d e(t )
+ ...+ a 0 s( t ) = bk
+ ... +b0 e(t )
n
dt
dt k
d'après le théorème de la dérivée dans les conditions d'Heaviside):: L [
d n s( t )
dt
n
] = pn F(p)
On applique la transformation de Laplace à l'équation différentielle:
an pn S(p) + … a0 S(p) = bm pm E(p) + … + b0 E(p)
d’où H(p) =
b p k + ... + b0
S(p)
= k n
E ( p)
a n p + ... + a 0
Cette relation est très utile pour calculer des réponses temporelles de systèmes à l’aide de transformée de Laplace. Il
suffit de calculer le transmittance du système, de prendre la transformée de Laplace du signal d’entrée et de faire le produit de
ces deux grandeurs. Une transformée inverse donne enfin la réponse temporelle souhaitée.
La fonction de transfert représente le comportement du système et s'exprime simplement comme le rapport de deux
polynômes en p (fraction rationnelle) construits à partir des coefficients de l'équation différentielle régissant son évolution.
Forme canonique de la fonction de transfert:
avec
n = ordre du système
α = classe du système
K = gain statique
H(p) =
K (1 + ... + b m ' p m ' )
p α (1 + ... + a n ' p n ' )
En explicitant les racines (complexes éventuellement) de ces polynômes, H(p) peut s'écrire:
H(p) =
5.2
k (p − z1 )(p − z 2 )...(p − z m )
les zi sont les zéros et les pi les pôles de la fonction de transfert.
(p − p1 )(p − p 2 )...(p − p n )
Intérêt
La connaissance de la fonction de transfert d’un système permet de connaître sa réponse à une sollicitation sans résolution
d’équations différentielles
Considérons le système moteur électrique
ω(t) en rad/s
u(t) en V
MCC
Son comportement est régi par les équations suivantes :
•
électrique : u( t )
= e(t ) + R ⋅ i(t ) + L ⋅
di( t )
•
dt
électromécanique : e( t ) = K ⋅ ω( t ) et c( t ) = K ⋅ i( t )
•
mécanique : J ⋅
On a donc
u( t ) = K ⋅ ω( t ) +
u(t) en V
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d ω( t )
dt
= c( t ) − f ⋅ ω(t )
 L d  d ω( t )

R  d ω(t )
⋅ J ⋅
+ f ⋅ ω( t )  + ⋅  J ⋅
+ f ⋅ ω(t ) 



K 
dt
dt
 K dt 

2
f ⋅R 
JR + Lf d ω( t ) LJ d ω( t )

u( t ) =  K +
⋅
+
⋅
 ⋅ω +
K  (t )
K
dt
K dt 2

9
ω(t) en rad/s
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Dans le domaine de Laplace et dans les conditions de Heaviside, cette équation devient :
1


U ( p ) =  K + ⋅ f ⋅ R + ( JR + Lf ) ⋅ p + LJ ⋅ p 2  ⋅ Ω( p )
K


(
D’où
Ω( p )
U( p)
)
= H( p) =
1
1


 K + K ⋅ ( ( R + Lp ) ⋅ ( Jp + f ) ) 
Le système peut être représenté par
U(p)
Ω (p)
H(p)
La réponse à une entrée e(t) connue est donnée en utilisant la démarche suivante :
e(t)
s (t)
système
E(p)=L(e(t))
s(t)=L-1(S(p))
E(p)
S (p)
H(p)
S(p)=H(p).E(p)
5.3
Fonction de transfert en boucle fermée d'un système asservi:
E(p)
ε(p)
M(p)
5.4
S(p)
A(p)
H(p)=
S(p)
A(p)
=
E(p) 1+ A(p).B(p)
B(p)
Fonction de transfert en boucle ouverte:
La fonction de transfert en boucle ouverte est définie comme la fonction de transfert du système lorsque le retour sur le
sommateur est coupé. Elle comprend la chaîne d'action et la chaîne de mesure.
E(p)
S(p)
ε(p)
H(p)
E(p)
FTBO
M(p)
+
M(p)
K(p)
Figure 1 : Système en boucle ouverte
La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :
FTBO=
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10
M(p)
=H(p).K(p)
E(p)
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On peut toujours se ramener à un système à retour unitaire:
E(p)
A(p)
B(p)
1/B(p)
S(p)
H ( p) =
A (p).B(p)
1
.
1 + A(p).B(p) B(p)
Système réduit de fonction de transfert Hr =
A(p).B(p)
1 + A(p).B(p)
On note FTBO la fonction de transfert en boucle ouverte du système soit FTBO = A.B et on étudie la fonction de transfert du
système réduit soit
FTBO
1 + FTBO
FTBF =
Si on connaît la FTBO (en général simple à calculer), la FTBF se trouve en réalisant
la transformation
6
6.1
Opérations sur les schémas blocs:
Éléments de base
Exemple :
C( p ) = K ⋅ I ( p )
U(p)
Ecart ε
+
-
1
R + Lp
I(p)
C( p ) = ( f + Jp ) ⋅ Ω( p )
C(p)
E(p)
Ω(p)
1
Jp + f
K
K
U ( p ) − E( p ) = ( R + Lp ) ⋅ I ( p )
E( p ) = K ⋅ Ω( p )
Les blocs : Ils contiennent une fonction de transfert (H(p)) caractérisant la relation entre l'entrée et la sortie.
Les liens : Ils représentent une grandeur (U(p)) dans le domaine de Laplace.
Les points de jonction : Une jonction permet de transmettre une grandeur en entrée de plusieurs blocs ou sommateurs.
Les sommateurs : Ils additionnent (ou soustraient selon le signe) les différentes entrées. Ils n'ont qu'une sortie.
Les termes qui dépendent du temps deviennent les entrées et sorties des schémas blocs
6.2
Opérations sur les schémas blocs
FT en série
E1
H1
E2
H2
E3
H3
S
=
E1
S
H
H = H1.H2.H3
FT en parallèle
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S1
H1
E
E
S
+
S
H
=
-
S2
H2
H = H1 + H2
déplacement d’une jonction:
E
S
H
E
E
S
H
E
H'
H' = 1/H
E
S
H
E
S
H
S
S
H'
H' = H
Déplacement d'un sommateur:
E1
+
E1
S
H
H
+
+
E2
E2
H
+
S
E1
+
+
E2
E2
1.1.2
+
H
'
1.1.1
E1
S
H' = H
H
+
H
'
S
H' = 1/H
Cas des systèmes perturbés
•
•
Ces systèmes ont deux entrées :
l’une est maîtrisées par l’utilisateur E(p)
l’autre est imposée par le milieu extérieur Q(p)
Q
E
+
H1
+
+
H2
-
S
R
H1H 2 et si E = 0 on obtient S2= Q⋅ H 2
1+ H1H 2R
1+H1H 2R
Si Q = 0 alors on obtient S1= E⋅
Le système étant linéaire, on peut appliquer le théorème de superposition ce qui donne S=S1+S2= E⋅
H1H2 +Q⋅ H2
1+H1H2R 1+H1H2R
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Systèmes linéaires fondamentaux:
7.1
Fonction de transfert
premier ordre :
τ
L
ds( t )
+ s(t) = K e(t)
dt
τ p S(p) + S(p)= K E(p) ⇒
H(p) =
K
1+ τp
K = gain statique
τ = constante de temps
deuxième ordre :
forme canonique avec
K = gain statique
ω0 = pulsation propre
m = coefficient d'amortissement
2
d s( t )
ds( t )
+ 2 m ω0
+ ω02 s(t) = K ω02 e(t)
2
dt
dt
La transformée de Laplace de cette équation donne:
p2 S(p) + 2 m ω0 p S(p) + ω02 S(p)= K ω02 E(p)
K
H(p) =
d'où la fonction de transfert:
1+
2m
1
p + 2 p2
ω0
ω0
7.2
Réponse à un échelon
E
L
e( t ) = E0 ⋅ u( t ) 
→ E( p ) = 0
p
7.2.1
S(p) =
Premier ordre
K E0
.
1+ τ p p
Pour connaître complètement s(t), il faut décomposer S(p) en éléments simples:
S(p) =
τK
A
B
K
1
+
=E0 (
) = K E0 ( p 1+ τ p
p 1+ τ p
p
1
p+
1
τ
)
L-1
t
s(t) = K E0 (1 - e τ ) u(t)
−
• pente à l’origine
lim s(t) = lim p S(p) = lim
t →0
p →∞
p →∞
Kp
K
K
= 0 et lim s'(t) = lim p2 S(p) = lim
=
⇒ pente à l'origine
t
→
0
p
→
∞
p
→
∞
1+ τ p
1+ τ p
τ
• asymptote horizontale
lim s(t) = lim p S(p) = lim
t →∞
•
p →0
p →0
K
= K ⇒ asymptote horizontale de valeur K
1+ τ p
Rapidité : temps de réponse à 5%
au bout d’un temps 3τ , la réponse atteint 95% de la valeur finale K.E0 :
temps de réponse à 5% = instant tr pour lequel s(tr) = 0,95 smax
t
t
− r
− r
τ
) = 0,95K ⇒ e τ = 0,05 ⇒ tr ≈ 3τ. Le temps de réponse à 5% d’un système du premier ordre est égal
K(1- e
à 3τ : tR5% = 3τ
Le tracé de la réponse est donné ci-dessous :
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13
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
7.2.2 Deuxième ordre
E
K
S ( p) =
⋅ 0 . Le résultat dépend des racines du dénominateur
2
p
p
p
1 + 2.ξ
+ 2
ω0
Modélisation des SLCI
ω0
Etude des pôles de la fonction de transfert H(p) (racines du dénominateur).
H ( p) =
1 + 2.ξ
K
p
ω0
+
K .ω 02
=
p 2 ω 02 + 2.ξ .ω 0 . p + p 2
ω 02
(
(
)
)
 p = −ω ξ − ξ 2 − 1 = −ω
K .ω 02
1
0
1
H ( p) =
ξ > 1: H(p) possède deux pôles réels 
( p + ω1 )( p + ω 2 )
 p 2 = −ω 0 ξ + ξ 2 − 1 = −ω 2
ξ = 1: H(p) possède un pôle réel double p0 = −ω 0 H ( p ) =
ξ < 1: H(p) ne possède pas de pôle réel H ( p ) =
K .ω 02
( p + ω 0 )2
K .ω 02
ω 02 + 2.ξ .ω 0 . p + p 2
réponse en régime apériodique (ξ > 1)
7.2.2.1
K .ω 0 .E0
S ( p) = H ( p). E( p ) =
p( p + ω 1 )( p + ω 2 )
2


α = 1

α
β
γ 
ω 02
 avec  β = −
= K .E0  +
+

ω1 (ω 2 − ω1 )
 p p + ω1 p + ω2 


ω 02
γ =

ω 2 (ω 2 − ω1 )
1
1
 1ω1
ω 02
ω2

S ( p ) = K .E 0  −
−
 p (ω 2 − ω1 )  p + ω1 p + ω 2



Après transformée de Laplace inverse :

ω 02  1 −ω1 .t 1 −ω 2 .t 
 e
 pour t > 0
s( t ) = K .E0 1 −
−
e
ω2

 (ω 2 − ω 1 )  ω1
Tracé :
Valeur initiale :
s ( 0 ) = lim s ( t ) = 0
t → 0
Pente à l’origine :
)s′0(ts=
(lim
0′
t→
Valeur finale :
s(+∞ ) = lim s(t) = K .E 0
t → +∞
Temps de réponse à 5% (temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à ± 5% de la valeur finale) : voir courbe
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14
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
exemple: réponse indicielle pour K=1, ω0=1rad/s, m=2
7.2.2.2
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réponse en régime apériodique critique (ξ = 1)
15
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
S ( p) = H ( p). E( p ) =
K .E0 .ω 02
p( p + ω 0 )
2
α
β
γ
= K .E0  +
+
2
 p p + ω 0 ( p + ω0 )
Modélisation des SLCI
α = 1

 avec  β = −1


γ = −ω

0
1  1

ω0

S ( p ) = K .E 0  − 
+
2 
 p +ω
p
(
p
+
ω
)
0

0
 

−ω 0 t
pour t > 0
Après transformée de Laplace inverse : s (t ) = K .E 0 1 − (1 + ω 0.t )e
[
]
Tracé :
Valeur initiale :
s ( 0 ) = lim
s (t)= 0
t→ 0
Pente à l’origine :
s'(0)=lim
s'(t)=0
t →0
Valeur finale : s ( +∞ ) =
lim
t →
+∞
s (t) = K .E
0
Dépassement : aucun
Temps de réponse à 5% (temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à ± 5% de la valeur finale) : voir courbe
Exemple : réponse indicielle pour K=1, ω0=1rad/s, m=1
7.2.2.3
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réponse en régime pseudo périodique (ξ < 1)
16
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
α
K .E0 .ω 02
β. p + γ
= K .E0  + 2
2
2
2
p ω 0 + 2.ξ .ω 0 . p + p
 p ω 0 + 2.ξ .ω 0 . p + p
S ( p) = H ( p). E( p ) =
(
)




Modélisation des SLCI
α = 1

avec β = −1
γ = −2.ξ .ω
0

1

p + 2.ξ .ω 0

S ( p) = K .E 0  − 2
2 
 p ω 0 + 2.ξ .ω 0 . p + p 
1
p + 2.ξ .ω 0
= K .E 0  −
 p ( p + ξ .ω ) 2 + ω 2 1 − ξ 2

0
0
(
)




1
ω0 1− ξ 2
ξ
p + .ξ .ω 0
= K .E 0  −
−
2
2
2
 p ( p + ξ .ω ) 2 + ω 2 1 − ξ 2
1 − ξ 2 ( p + ξ .ω 0 ) + ω 0 1 − ξ
0
0

(
en posant Ω 0
)
(
)




= ω 0 1 − ξ 2 et après transformée de Laplace inverse :
 


ξ
s( t ) = K .E0 1 −  cos (Ω 0 t ) +
sin (Ω 0t ) e −ξ .ω 0 . t  pour t > 0

 

1−ξ 2



(
)


1
= K .E0 1 −
1 − ξ 2 cos (Ω 0t ) + ξ sin (Ω 0 t ) e −ξ .ω 0 .t  pour t > 0


1− ξ 2


ξ = cos ϕ
e −ξ .ω 0 . t
s
(
t
)
=
K
.
E

1
−
sin
(
Ω
t
+
ϕ
)
 pour t > 0
en posant : 
⇒
0
0
2


 1 − ξ = sin ϕ
1− ξ 2
t →
s ( 0 ) = lim
Valeur initiale :
Pente à l’origine :
Valeur finale :
0
s (t) = 0
s'(0)=lim
s'(t)=0
t →0
s ( +∞ ) = lim
t → +∞
s (t) = K .E
0
Temps de réponse à 5% (temps nécessaire pour que la réponse se stabilise à ± 5% de la valeur finale) : voir courbe
pour ξ < 1
pseudo période :
T=
date des extréma
tk =
2.π
ω0 1 − ξ 2
k .π
ω0 1− ξ 2
k : entier naturel
distance des extréma à la valeur finale :
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Dk = e
−
17
k .π .ξ
1 −ξ 2
(%)
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
dépassement transitoire
%
1
D1
D2
D3
D4
0,1
D5
D6
D7
D8
0,01
0,01
ξ
0,1
1
Exemple : réponse indicielle pour K=1, ω0=1rad/s, m=0.3
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18
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
7.2.2.4
Modélisation des SLCI
Comparaison
Réponse indicielle d'un système du deuxième ordre
1,8
ξ =0,1
1,6
ξ =0,2
1,4
ξ =0,4
1,2
ξ =0,7
1,05
1
ξ =1
0,95
0,8
ξ =2
0,6
0,4
0,2
0
0
7.3
2
4
6
temps réduit τ.ω0
8
10
12
14
16
Réponse à une impulsion
e(t)=δ(t) L(δ(t))=1
7.3.1
Réponse à une impulsion pour un modèle du premier ordre
t
−
S(p)= K = K ⋅ 1 d’où s(t)= K e τ
1+τ ⋅ p τ 1 + p
τ
τ
Exemple K=1 et tau =2
Prof_sii
19
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
7.3.2 Réponse à une impulsion pour un modèle du deuxième ordre
K ω02
K ω02
E(p) = 1 ⇒ S(p) = 2
=
D ( p)
p + 2m ω0 p + ω 02
Modélisation des SLCI
avec D(p) de discriminant réduit ∆' = m2ω02 - ω02 = ω02(m2 – 1)
•
premier cas: m>1 ⇒ D(p) a alors 2 racines réelles p1 et p2
p1 = - m ω0 - ω0
m 2 − 1 et p2 = - m ω0 + ω0
m 2 − 1 avec p1 < p2 < 0
La décomposition en éléments simple donne :
K ω0
K ω 02
A
B
1
1
S(p) =
= K ω02 (
+
)=
(−
+
)
2
(p − p1 )(p − p 2 )
( p − p1 ) p − p 2
p − p1 p − p 2
2 m −1
d'où
⇒
s(t) =
K ω0
2 m −1
2
( e p 2 t - e p1t ) u(t)
système amorti (régime apériodique) : il n’y a pas de dépassement
s(t)
•
deuxième cas: m<1 ⇒ D(p) a alors 2 racines complexes conjuguées
p1 = - m ω0 - jω0
De plus S(p) =
1−m2 et p2 = - m ω0 + jω0 1−m2
K ω 02
(p − p1 )(p − p 2 )
On peut alors écrire S(p) sous la forme: S(p) =
K ω 02
(p + mω0 ) 2 + ω 02 (1 − m 2 )
soient ω2 = ω02 (1 – m2) et a = m ω0
S(p) =
d'où
s(t) =
K ω0
1− m
2
⇒
K ω0
1− m2
ω
(p + a ) 2 + ω 2
e −mω0 t sin(ω0 1 − m 2 t ) u(t)
⇒ système sous-amorti (régime pseudo-périodique)
La pseudo-période des oscillations vaut T =
Prof_sii
2π
ω0 1 − m 2
20
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
T
enveloppe exponentielle
Lorsqu'il n'y a pas d'amortissement (m = 0), on a une réponse sinusoïdale de pulsation ω0 (ce qui justifie le nom de pulsation
propre donné à ω0).
• troisième cas: m=1 ⇒ D(p) a alors une racine double.
L'allure de la réponse serait comparable à celle obtenue dans le cas du régime apériodique mais ce cas est impossible dans la
réalité: on ne peut avoir une valeur réelle de m exactement égale à 1!
7.4
.Réponse à une rampe
7.4.1 Premier ordre
aK
a
e(t) = a t u(t) ⇒ E(p) = 2 ⇒ S(p) = 2
p
p (1 + τ p)
• pente à l’origine
s’(0+) = lim p S'(p) = lim p² S(p) =
p→∞
p→∞
lim
p²
p→∞
Ka = 0
p²(1+τp)
• asymptote
lim s(t) tend vers K a.(t-τ ), (le terme τ.e-t/τ est pratiquement éteint au bout de 4τ ).
t →∞
• s(t)
Pour connaître complètement s(t), il faut décomposer S(p) en éléments simples:
aK
a a τ a τ2
S(p) = 2
= K( 2 +
)
p 1+ τ p
p (1 + τ p)
p
•
L-1
t
s(t) = a K (t - τ + τ e τ ) u(t)
−
Ecart de traînage εv :
Pour K=1
ε v = lim [ e(t) − s(t ) ]
t →∞
= aτ
Pour K≠1 εv va varier
•
s(t) = 0 pour t = 0
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21
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
s(t)
s(t)
s(t)
T
e(t)
s(t)
e(t)
s(t)
εv = aT
e(t)
K=1
K>1
K<1
s(t)
t
t
t
T
O
-aT
T
T
7.4.2
Deuxième ordre
Avec e(t) = a.t.u(t) , soit E ( p ) =
a
, on a S ( p ) = H ( p ) ⋅ E ( p ) =
p²
p² ⋅ (1+
Ka
2z
ω
n
p+
p²
ω n²
)
De la même manière que précédemment, la décomposition de S(p) dépend des racines du dénominateur D(p), donc de z. La
réponse est fonction de s1 qui dépend de z :
•
Cas z >1 : régime apériodique
1

La réponse temporelle est s(t) = Ka  t - T1 - T2 −
T2 - T1

avec T1 =
•
1
ω n ( z - z² -1)
et T2 =
-
t
t
T1 − T 2 e T2
2
) ⋅ u( t)
1
ω n ( z + z² -1)
Cas z = 1 : régime apériodique critique
[
s(t) = Ka t - 2T + ( t + 2T) e
•
(
2
T1 e
-
t
T
] ⋅ u(t) avec T = ω1
n
Cas z < 1 : régime oscillatoire


2z
1
s( t ) = Ka ⋅  t −
+
e − zω n t sin ω n 1- z² ⋅ t + Φ  ⋅ u(t ) avec Φ = 2Arc tan 1- z²
z
 ω n ω n 1- z²

• L’allure de la réponse temporelle ressemble à celle du premier ordre en régime permanent.

• La réponse tend asymptotiquement vers une droite d’équation Ka ⋅  t −

2z 
.
ωn 
• L’écart de traînage εV tend vers l’infini lorsque K est différent de 1 : le système ne suit pas.
• L’écart de traînage εv tend vers
2za
lorsque K=1.
ωn
Il augmente proportionnellement à l’amortissement et inversement proportionnellement à la pulsation non amortie.
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22
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
s(t)
e(t) = a
t u(t)
z=1
z<1
z>1
2z
y(t) = Ka(t- ω )
n
t
0
8 Identification d’un modèle de comportement à partir d’une réponse à
un échelon
8.1
Principe
Lorsque les lois de comportement ne sont pas connues ou trop complexes, on peut procéder à des identifications de courbes de
réponse.
entrée
système
Réponse du système
Modèle qui peut convenir
s1(t)
SLCI1
e(t)
Modèle premier ordre non
retardé
t
s2(t)
t
Modèle premier ordre
retardé
SLCI2
t
s3(t)
Modèle deuxième ordre
aperiodique
SLCI3
t
s4(t)
Modèle deuxième ordre
pseudo periodique
SLCI4
t
Lorsque le choix du modèle est effectué, il faut identifier les différents paramètres
Prof_sii
23
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
8.2 Identification d’un premier ordre non retardé
Modélisation des SLCI
t

−
τ

La réponse d’un système du 1 ordre à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation : s(t ) = K.E 0  1 − e

ier

u(t ) où


u(t) représente la fonction échelon unitaire.
1) Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car
lim
t → +∞
s( t
)=
K .E
0
2) Détermination de la constante de temps τ :
-
K .E 0 

 pente
 ou en tout point de la courbe réponse .
τ 

Par la tangente à l’origine
Appelons y(t) la fonction qui définie la tangente à la courbe à l’instant t1 :
y (t ) = s' (t1 )(t − t1 ) + s(t1 ) =
K .E0
τ
e
−
t1
τ

(t − t1 ) + K.E 0  1 − e

−
t1
τ




ty=
K
Calculons l’instant (t2) ou cette droite coupe l’assymptôte K.E0 : 2.E
0
• Par le temps de réponse à 5% : Tr5% ≈ 3.τ
si la réponse est trop perturbée pour tracer la tangente ou évaluer le temps de réponse on peut procéder comme ci-dessous :
)(
ts=
T
+
tsE
on trace K
en fonction de =
cE
cK
t
T

−
−
τ
τ

⇒ sc (t + T ) = K.E 0 − K .E0 1 − e .e

Il s’agit d’une droite de coefficient directeur
Prof_sii
e
t
T
T

−
−
−
 = K .E0 .e τ .e τ = e τ .sc (t )


−
T
τ
24
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Pente a ⇒
8.3
Modélisation des SLCI
τ =−
T
ln a
Identification d’un premier ordre retardé
La réponse d’un système du 1ier ordre retardé à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :
t −T

−
s(t ) = K.E 0  1 − e τ

8.4

.u (t − T ) où u(t-T) représente l’échelon unitaire retardé de l’instant T.


.Identification par un 2ème ordre apériodique
La réponse d’un système du 2ème ordre apériodique à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :
t
t

−
1  − τ 1
τ2
s (t ) = K .E0 1 −
τ 1e − τ 2e
 (τ 2 − τ 1 ) 
Prof_sii

 ⋅ u (t ) on supposera τ > τ
2
1


25
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car
lim s (t ) = K .E 0
t → +∞
Détermination des constantes de temps τ1 et τ2:
• Si τ1 << τ2 on fera le choix d’une modélisation par un premier ordre retardé.
• A l’instant t1 (bien après le point d’inflexion) on peut déterminer τ2 par l’étude de la tangente à la courbe et τ1 en
t
− 1

τ2
τ2

mesurant la sortie s (t1 ) ≈ K .E 0 1 −
e
 τ 2 − τ1





• Si la réponse est perturbée, on peut utiliser une méthode similaire à celle employée pour le 1ier ordre (mise en œuvre
plus délicate et résultats moins nets).
Dès qu'on s'éloigne de t = 0, le système du second ordre est comparable à un premier ordre. Au début de l'évolution, le premier
ordre réagit plus vite (pente à l'origine non nulle
1.1.2.1.1.1.1.1
1.1.2.1.1.1.1.2
8.5
.Identification par un 2ème ordre pseudopériodique
La réponse d’un système du 2ème ordre pseudopériodique à un échelon d’amplitude E0 est définie par l’équation :


e − z .ω 0 .t
1− z2
s (t ) = K .E 0 1 −
sin ω 0 1 − z 2 t + arctan

z

1− z2

Prof_sii
26

.u (t ) .


le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
Détermination du gain K : Il se lit directement sur la courbe réponse car
Détermination du coefficient d’amortissement z :
Détermination de la pulsation propre ω0 :
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T=
D1 = e
−
π .z
1− z 2
lim s (t ) = K .E 0
t → +∞
(% )
2.π
ω0 1− z2
27
le 13/10/2013
PCSI - MPSI
Modélisation des SLCI
9
Analyse harmonique
9.1
Principes
L’analyse harmonique d’un système consiste à lui appliquer une entrée e(t) sinusoïdale,
notée e(t ) = E0 sin(ωt ) .
Vocabulaire :
E0 est l’amplitude du signal, d’unité celle de e(t), positive
1
ω est la pulsation en rad/s ou avec ω = 2πf = 2π , définie en donnant la fréquence
T
f en Hz ou la période T en
e(t)
seconde (s)
s(t)
Dans le cas d’un système stable,
une fois le régime permanent atteint, la sortie s(t) est
également sinusoïdale, de même pulsation. On note
alors :
s (t ) = S0 sin(ωt + ϕ)
Pour plus de simplicité, comme en physique, nous introduisons les notations
complexes :
e(t ) = E0 e jωt
s (t ) = S0 e
j ( ωt +ϕ )
avec
e(t ) = Im(e(t ))
s (t ) = Im( s (t ))
Nous avons alors clairement :
s (t ) S0 jϕ
=
e
e(t ) E0
L’analyse harmonique s’intéresse donc aux deux quantités :
s (t ) S0
*
=
, rapport des amplitudes
e(t ) E0
* arg(
s (t )
) = ϕ , déphasage entre la sortie et l’entrée.
e(t )
Rappel :
Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable est décrit par une équation
différentielle linéaire, à coefficients constants de la forme suivante :
système
e(t)
s(t)
d n s (t )
ds (t )
d m e(t )
de(t )
+ .. + a1
+ a0 s (t ) = bm
+ .. + b1
+ b0 e(t ) .
dt
dt
dt
dt
Les systèmes physiques vérifient toujours n ≥ m
an
En remplaçant les fonctions temporelles par les fonctions complexes, on trouve
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Modélisation des SLCI
H ( jω) =
b0 + b1 ( jω) + ... + bm ( jω)
s(t)
=
n
a0 + a1 ( jω) + ... + an ( jω) e(t)
m
conclusion:
Lorsqu’un système stable est sollicité par un signal sinusoïdal, la sortie est également
sinusoïdale, les pulsations sont les mêmes et :
Le rapport des amplitudes est le module de la fonction de transfert
S
harmonique : 0 = H ( jω)
E0
Le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée est l’argument de la fonction de
transfert harmonique : ϕ = arg( H ( jω))
9.2
Lieux de transfert
Les lieux de transfert sont des représentations graphiques de H ( jω) =
S0
(ω)e jϕ ( ω)
E0
9.2.1 Lieu de Nyquist (information)
Im( H ( jω))
ω=0
ω=∞
G
ϕ
Re( H ( jω))
ω
C’est la représentation dans le plan complexe de H ( jω) .
9.2.2 Lieu de Black (information)
Ce diagramme en coordonnées cartésiennes présente en abscisse la phase ϕ(ω) en
degrés et en ordonnée le gain GdB en décibels. Comme le lieu de Nyquist, le lieu de Black doit être gradué
en fréquence ou en pulsation.
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gain
ω = 10
ω=1
ω = 100
-180°
20 dB
10 dB
ω=0
0 dB
-90°
phase
-10 dB
-20 dB
-30 dB
-40 dB
-50 dB
ω = 1000
9.2.3 Lieux de Bode (fondamental)
Il s’agit de 2 courbes graduées, dont les abscisses sont des axes gradués en log, c’est à
dire log(ω) , qui donnent :
Le gain H ( jω) exprimé en dB, c’est à dire :
GdB = 20 log( H ( jω) )
La phase arg( H ( jω)) , exprimée en degrés ou en radians
Une exploitation complète nécessitant une vision simultanée des deux courbes, elles
figurent sur un même graphique.
Remarque Intérêt de l’échelle log
• Un des intérêts de l’utilisation du logarithme pour le module est que le produit des modules est
remplacé par une somme. Par conséquent la représentation d’une fonction de transfert complexe
pourra être effectuée facilement à partir d’un produit de termes élémentaires.
• De la même manière, l’argument sera obtenu facilement en faisant la somme des arguments des
termes élémentaires.
• L’axe des abscisses est gradué sur une échelle logarithmique pour simplifier la représentation de la
courbe de gain (termes en Log(ω)) et pour pouvoir représenter une grande plage de mesure.
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courbe de gain
décade
40
Gain (db)
20
0
-20
-40
-60
-80
0,01
0,1
1
10
100
ω (rad/s)
Une décade correspond à une multiplication par 10 en pulsation.
Propriétés des diagrammes de Bode
Produit de fonctions de transfert :
Supposons que H ( jω) = F ( jω)G ( jω) alors : H ( jω) = F ( jω) G ( jω)
En conséquence, nous avons :
20 log( H ( jω) = 20 log( F ( jω) + 20 log( G ( jω)
Les courbes de gain s’additionnent.
arg( H ( jω)) = arg( F ( jω)) + arg(G ( jω))
Les courbes de phase s’additionnent.
Tracés asymptotiques :
Ce diagramme est dérivé du diagramme de Bode en remplaçant les courbes par leurs
approximations asymptotiques. Plus clairs, ces diagrammes permettent d'apprécier globalement le
comportement du système modélisé à 10 % ou 20 % près: compte tenu des imprécisions sur les valeurs
réelles des paramètres du modèle, une telle précision s'avère souvent suffisante.
Les calculs se font pour ω
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ω0 ; ω = ω0 ; ω
ω0
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20 dB
10 dB
courbe des gains
0 dB
-10 dB
courbe asymptotique
-20 dB
-30 dB
10
100
1000
10000
ω rd/s
courbe asymptotique
0°
-90°
courbe des phases
-180°
9.3
Premier ordre
Reprenons H ( p ) =
K
K
K
. Nous avons alors H ( jω) =
=
1 + τp
1 + τjω 1 + j ω
ω0
Tracé réel
En général il est long et fastidieux. Des logiciels le font très bien (Voir Didacsyde)
Si l’on veut tracer le lieu réel (courbes lissées sur les tracés ci-dessus), on exprime
analytiquement le gain et la phase de la fonction de transfert harmonique.
K
H ( jω) =
ω
1 + ( )2
ω0
et d’autre part :
GdB = 20 log K − 10 log(1 + (
arg( H ( jω)) = − arg(1 + j
ω/ω
ω/ωn
→0
=1
→ +∞
 Fdb
→ 20LogK
20LogK - 3db
→20LogK-20Log(ω/ωn)
ω 2
) )
ω0
ω
ω
) = − arctan( )
ω0
ω0
ϕ
Remarques
→ 0°
-45°
→ -90°
asymptotes basse fréquence
pulsation de coupure
asymptote haute fréquence
Remarque :
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Les deux asymptotes à la courbe de gain se coupent à l’abscisse ω = ωn
la courbe réelle passe par les points suivants :
le tracé de la phase est symétrique par rapport au point (ωn,-45°);
la tangente au point de symétrie coupe asymptote 0° à ω = ωn /4,8 et par symétrie asymptote -90° à ω = 4,8ωn ;
le diagramme asymptotique peut être amélioré en traçant la tangente au point d’inflexion.
9.4 Identification d’un modèle du premier ordre à partir de la réponse harmonique
9.4.1
• L’asymptote horizontale permet de trouver K
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•
Modélisation des SLCI
La pulsation de coupure permet de trouver .τ.( ωC =ω0 = 1 ).On a Φ(−45°)=ω0
τ
A(ω) en dB
20 log K
diagramme asymptotique
20 log K - 20 log ω/ω0
3
ω
0
ωC =ω0 = 1
τ
Φ en degrés
diagramme de gain
diagramme asymptotique
ωC =ω0 = 1
ω
τ
O
-45°
diagramme de phase
-90°
9.5
Réponse harmonique d’un modèle du deuxième ordre
K
K
(
ω
)
=
H
j
Reprenons H ( p ) =
.
Nous
avons
alors
.
2m
ω2
2m
p2
1
+
ω
−
j
p+ 2
1+
2
ω0
ω0
ω0
ω0
 2mω

K
ω0
H ( jω) =
et Arg ( H ( jω) ) = − Arc tan 
2
2

ω2

ω2   2mω 
1
−
 ω2
1 − 2  + 

0

 ω0   ω0 
Il existe une résonance pour m ≤






2
2
Démonstration :
K
H ( jω) =
2

ω2   2mω 
1
−
+


2 
 ω0   ω0 
Il existe un maxima si la dérivée
2
= K ⋅D
−
1
2
'
H ( jω) s’annule.
'
1
3
− 
−

K ⋅D'
2
2
K ⋅D  = K ⋅D ⋅D' =
3


D2
'
cette dérivée s’annule pour
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'
D( ω)
  ω2 2 
ω 
= 0 =  1 − 2  +  2m   = 2ω ( ω2 + 2m2 ω02 − ω02 )

ω0  
ω0  


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Il existe un maxima pour ω = ω0 1 − 2m 2 c’est à dire pour m ≤
2
2
Construction :
F ( jω ) ≈
→0
K
ω
1 + 2
ωn
2

 2ξ 2 − 1

(
)
2
K
→ F ( jω ) ≈
la courbe est au-dessous de l'asymptote
2
1+ ε
2
K
8 si ξ <
→ F ( jω ) ≈
la courbe est au-dessus de l'asymptote
2
1− ε
8 si ξ >
F ( jω ) ≈
ω → +∞
+∞
K
ω

ωn



2
ω
8 F db = 20 LogK − 40 Log 
ωn

 asymptote haute fréquence (-40db/décade)

Cas où m >
2
2
GdB
-40 dB / décade
20 log K
20 log
K
2m
log ω
ω0
ϕ
−
log ω
π
2
−π
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Cas où m ≤
2
2
GdB
20 log(
K
2m 1− m 2
)
-40 dB / décade
20 log K
log ω
ω0
ωmax = ω0 1 − 2m 2
• grande.
• Pour z donné, la fréquence de coupure ωC et donc la bande passante, sont d’autant plus grandes que la fréquence propre ωp
est grande.
• Rapidité et bande passante évoluent dans le même sens.
Tracé pour ξ ≥ 1
La fonction de transfert présente deux pôles réels :
F ( jω ) =
K
(1 + j
ω
ω
)(1 + j )
ω1
ω2
On peut considérer que le système du deuxième ordre est équivalent à la superposition de deux systèmes du premier ordre.
Dans le plan de BODE le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés des deux systèmes du premier ordre.

F
= 20 Log
db





 ω
ϕ = − arctan 

ω1
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K
 ω
1+ 
ω
 1




2
 ω
1+ 
ω
 2

 ω
 − arctan 

ω

 2




2
  ω
= 20 LogK − 10 Log 1 + 
  ω 1





2

  ω
 − 10 Log 1 + 

  ω 2






2








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9.6
.Identification d’un modèle du deuxième ordre à partir de la réponse harmonique
• L’asymptote horizontale permet de trouver K
• Le diagramme de phase permet de trouver ω0. On a Φ(−90°)=ω0
• Le diagramme de gain permet de trouver ξ
K
Cas où ξ > 2 : GdB = 20 log
pour ω = ω0
2
2m
Cas où
ξ ≤ 2 : Amax =
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2
K
2.ξ 1 − ξ
2
pour
ω r = 1 − 2ξ 2ω n
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