Programme de Colle 14

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Programme de Colle 14
Programme de Colle 14
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
Mots clés : Développements limités. Opérations sur les développements limités. Formule de TaylorYoung. Développements limités des fonctions usuelles (formulaire). Développement généralisé.
Ensemble des polynômes K[X]. Opérations sur K[X]. Produit de deux polynômes. Formule de
Taylor pour les polynômes. Divisibilité dans l’ensemble des polynômes. Racine et divisibilité par
(X − α). Cas de plusieurs racines distinctes, cas des racines multiples.
Rappel : Les interrogateurs sont libres de poser quelques questions de Scilab et d’algorithmique
en fin de colle.
Exemples de questions de cours :
√
+ x + 1en +∞ et −∞
– Étude de g(x) = x2 x
x
– DL2 (+∞) de f (x) =
√1 + x
√
– DL3 (+∞) de f (x) = x2 + 1 − x2 − 1
esin x − etan x
– DL en 0 de lim
x→0
x − sin x
x
– Étude au voisinage de 0 de f (x) =
.
ln(1 + x)
1
1
−
– Étude au voisinage de 0 de
sin x x
– Calcul des coefficients de P (l) en fonction des coefficients de P .
– Opérations sur les polynômes en particulier lien avec le degré,
– Égalité de Taylor-Lagrange pour les polynômes (plusieurs démonstration),
– α est racine de P si et seulement si (X − α)|P ,
– Cas des racines d’ordre multiple ou de plusieurs racines distinctes,
Pour les démonstrations de cours, il faut bien connaître les résultats et savoir les appliquer. Il faut
aussi savoir les démontrer avec indications.
Savoir faire :
– Tout exercice sur les développements limités, en particulier :
– Utilisation des DLs pour calculer des limites (exemple de l’exercice 8 de la feuille DLs)
– Chercher les paramètres d’une fonction pour qu’elles soit o(xn ) avec n maximal (exemple de
l’exercice 7 de la feuille DLs).
– DL d’une fonction définie par une intégrale (exemple de l’exercice 9 de la feuille DLs).
– Si (Pn )n∈N est une suite de polynôme, calculer le degré et le terme dominant de Pn par récurrence, exemple des exercices 3 et 5 de la feuille « Polynôme ».
– Démontrer qu’un polynôme est nul en montrant qu’il a n + 1 racines (ou une infinité).