1 Objectifs 2 Rappels de cours 3 Exemples

Fiche méthode : méthode par identification des coefficients
Niveau : première
F. Demoulin
1 Objectifs
Cette méthode est utilisée pour factoriser un polynôme ou pour décomposer en éléments simples
une fraction rationnelle. On la rencontre dans des questions du type : « Déterminer les réels a, b et
c tels que, pour tout x de R, f (x) = . . . ».
2 Rappels de cours
Dans ce paragraphe, P et Q sont deux polynômes définis sur un même domaine D.
Définition 2.1 On dit que P et Q sont identiquement égaux si, pour tout x de D :
P (x) = Q(x)
Exemple. Les polynômes f et g définis sur R respectivement par f (x) = x 2 −1 et g (x) = (x −1)(x +1)
sont identiquement égaux.
Propriété 2.1 Deux polynômes P et Q sont identiquement égaux si, et seulement si, les polynômes
ont même degré et les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
Exemple. Cas du second degré :
pour tout x de R,
ax 2 + bx + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ ⇐⇒


′


a = a
′
b=b




c = c′
3 Exemples
3.1 Factorisation d’un polynôme
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 2.
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x − 1)(ax 2 + bx + c).
Réponse : pour tout x de R :
f (x) = (x − 1)(ax 2 + bx + c)
⇐⇒
On identifie les
coefficients des termes de
même degré.
f (x) = ax 3 + bx 2 + cx − ax 2 − bx − c
⇐⇒ x 3 − 2x 2 + 3x − 2



a





b−a
⇐⇒



c −b




−c




a
⇐⇒
= ax 3 + (b − a)x 2 + (c − b)x − c
=1
= −2
=3
= −2
=1
b = −1




c =2
Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x − 1)(x 2 − x + 2).
1
Niveau : première
Fiche méthode : méthode par identification des coefficients
F. Demoulin
3.2 Décomposition d’une fraction rationnelle
2x 2 + 7x + 8
.
x +2
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R − {−2}, on ait : f (x) = ax + b +
Soit f la fonction définie sur R − {−2} par f (x) =
Réponse : pour tout x de R − {−2} :
c
x +2
(ax + b)(x + 2) + c
⇐⇒
f (x) =
x +2
2x 2 + 7x + 8
ax 2 + (2a + b)x + (2b + c)
⇐⇒
=
x +2
x +2
£ 2
¤
2
⇐⇒ (2x + 7x + 8)(x + 2) = ax + (2a + b)x + (2b + c) (x + 2)
f (x) = ax + b +
Comme x + 2 6= 0, on peut
effectuer un produit en
croix, puis simplifier par
x + 2.
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
2x 2 + 7x + 8



a


2a + b




2b + c




a
= ax 2 + (2a + b)x + (2b + c)
=2
=7
=8
=2
b =3




c =2
Conclusion : pour tout x de R − {−2}, f (x) = 2x + 3 +
2
2
.
x +2
c
.
x +2