corrigé

L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
TB2 − 2010-2011
Mathématiques
Correction du devoir de vacances
Les suites dans plusieurs situations
Exercice 1 : Un pas vers les fractales
On considère un carré F1 de côté de longueur 1. Au milieu de chaque côté, à l’extérieur de F1 , on place un
1
carré de côté , dont on supprime le côté en contact avec la figure initiale. On obtient ainsi une figure F2 .
3
F1
F2
On procède de même avec F2 . On obtient ainsi une nouvelle figure F3 . En réitérant le procédé, on construit
ainsi une suite (Fn ) de figures. On note pn le périmètre de Fn et An l’aire de Fn .
1. Tracer F3 .
2. Exprimer en fonction de n :
(a) cn , le nombre de côtés de Fn ,
(b) ln , la longueur de chaque côté de Fn ,
(c) pn .
3. La suite (pn ) converge-t-elle ?
4. Exprimer An+1 en fonction de An .
5. En déduire An en fonction de n.
6. Montrer que (An ) converge et calculer sa limite.
7. Quelles réflexions vous inspire ce problème ?
Correction
1. Tracé de F3 .
1
2. (a) Expression de cn , le nombre de côtés de Fn , en fonction de n.
Lorsque l’on passe de Fn à Fn+1 , chacun des côtés de Fn donne lieu à 5 côtés de la figure Fn+1 ,
comme on le voit sur le dessin ci-dessous.
On a donc cn+1 = 5cn pour tout n ∈ N∗ . La suite (cn ) est donc géométrique, de raison 5. Son premier
terme étant c1 = 4 (F1 a 4 côtés), on a donc
cn = 4 × 5n−1
pour tout n ∈ N∗ .
(b) Expression de ln , la longueur de chaque côté de Fn , en fonction de n.
1
de la longueur d’un côté de Fn . (On peut
3
1
vérifier cette relation sur la figure ci-dessus.) On a donc ln+1 = ln pour tout n ∈ N∗ . La suite (ln )
3
1
est donc géométrique, de raison . Son premier terme étant l1 = 1 (un côté de F1 a pour longueur
3
1), on a donc
n−1
1
pour tout n ∈ N∗ .
ln =
3
D’après l’énoncé, la longueur d’un côté de Fn+1 vaut
(c) Expression de pn en fonction de n.
Tous les côtés de Fn ont même longueur (ln ). On a donc
périmètre de Fn = (nombre de côtés de Fn ) × (longueur d’un côté de Fn ).
On a donc
pn = cn × ln = 4 × 5n−1 ×
n−1
n−1
5
1
=4×
3
3
pour tout n ∈ N∗ .
3. Étude de la convergence de la suite (pn ).
D’après 2.(c), la suite (pn ) est géométrique, de raison q =
le cours, la suite (pn ) diverge et on a lim pn = +∞.
5
> 1 et de premier terme p1 = 4 > 0. D’après
3
n→+∞
4. Expression de An+1 en fonction de An .
D’après la construction de la figure Fn+1 à partir de la figure Fn , on a :
aire de Fn+1 = (aire de Fn ) + (nombre de côtés de Fn ) ×
aire d’un carré de côté de longueur
1
de la longueur d’un côté de Fn
3
!
On a donc
An+1
1
= An +cn × ln
3
2
= An + 4 × 5
5. Expression de An en fonction de n.
n−1
1
×
×
3
n−1 !2
n−1
4
1
5
= An + ×
3
9
9
pour tout n ∈ N∗ .
4
5
D’après 4., la suite (An+1 − An ) est géométrique, de raison et de premier terme A2 − A1 = . D’après
9
9
le cours, on dispose donc d’une formule pour la somme de ses N premiers termes, pour tout N ∈ N∗ :

N 
5

1 − 9


.
(∗)
(AN +1 − AN ) + (AN − AN −1 ) + . . . + (A3 − A2 ) + (A2 − A1 ) = (A2 − A1 ) × 
5 


1−
9
2
Dans le membre de gauche de (∗), les termes −AN et AN , . . ., −A2 et A2 s’annulent et il ne reste que
N
5
. Ainsi a-t-on
AN +1 − A1 . Le membre de droite de (∗) se simplifie pour donner 1 −
9
N
5
AN +1 − A1 = 1 −
9
c’est-à-dire
AN +1 = A1 + 1 −
Comme A1 = 1 = 2 −
pour tout N ∈ N∗
N
N
5
5
=2−
9
9
pour tout N ∈ N∗ .
0
5
, on a en fait
9
N
5
9
pour tout N ∈ N,
N −1
5
9
pour tout N ∈ N∗ .
AN +1 = 2 −
ce qui se réécrit, en décalant l’indice :
AN = 2 −
6. Étude de la convergence de la suite (An )
D’après le cours sur les suites géométriques, la suite
car sa raison est
n−1 !
5
est convergente et sa limite est nulle,
9
5
5
et −1 < < 1. On en déduit que la suite (An ) converge et que lim An = 2.
n→+∞
9
9
7. Réflexion sur ce problème.
Le périmètre de Fn tend vers +∞ et son aire tend vers 2, quand n tend vers +∞. On peut donc trouver
une figure de périmètre arbitrairement grand et dont l’aire est voisine de 2. Ainsi, ce n’est pas parce
qu’une figure a un grand périmètre que son aire est également grande.
Exercice 2 : Suites et économie
Le 1er janvier 2005, Sabrina et Joanna ont placé chacune 3000 euros à la banque.
– Sabrina a choisi un placement rapportant chaque année 5% d’intérêts simples (les intérêts sont dits simples
lorsqu’ils sont calculés chaque année à partir du placement initial).
– Joanna a choisi un placement à 4% d’intérêts composés (les intérêts sont dits composés lorsqu’ils sont
calculés chaque année à partir du capital de l’année précédente).
Pour tout n ∈ N, on note sn le capital de Sabrina l’année 2005 + n et jn le capital de Joanna l’année 2005 + n.
On admet que ni Sabrina ni Joanna ne retirent de l’argent de la banque.
1. Calculer les 4 premiers termes des suites (sn ) et (jn ).
2. (a) Montrer que (sn ) est une suite arithmétique et donner sa raison.
(b) En déduire l’expression de sn uniquement en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de la suite (sn ).
3. (a) Montrer que (jn ) est une suite géométrique et donner sa raison.
(b) En déduire l’expression de jn uniquement en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de la suite (jn ).
4. Représenter sur votre calculatrice sur un même graphique les 20 premiers termes des deux suites. Discuter
à partir du graphique et suivant la valeur de n du placement le plus intéressant.
Correction
3
1. Calcul des 4 premiers termes des suites (sn ) et (jn ).
D’après l’énoncé, on a, pour tout n ∈ N :
(∗)
sn+1 = sn + 0, 05 × 3000 = sn + 150
et
jn+1 = jn + 0, 04 × jn .
s0 = 3000
j0 = 3000
s1 = s0 + 150 = 3150
j1 = j0 + 0, 04 × j0 = 3120
s2 = s1 + 150 = 3300
j2 = j1 + 0, 04 × j1 = 3244, 8
s3 = s2 + 150 = 3450
j2 = j2 + 0, 04 × j2 = 3374, 592
2. (a) Preuve de l’assertion : (sn ) est une suite arithmétique.
D’après (∗), sn+1 − sn = 150 pour tout n ∈ N. Ainsi la suite (sn ) est-elle arithmétique de raison 150.
(b) Expression de sn en fonction de n.
(sn ) est une suite arithmétique, de raison 150 et de premier terme s0 = 3000. D’après le cours, on a
donc :
sn = 3000 + 150n
pour tout n ∈ N.
(c) Étude de la convergence de (sn ).
De 2.(b), on déduit que lim sn = +∞.
n→+∞
3. (a) Preuve de l’assertion : (jn ) est une suite géométrique.
D’après (∗), jn+1 = 1, 04 × jn pour tout n ∈ N. Ainsi la suite (jn ) est-elle géométrique de raison
1, 04.
(b) Expression de jn en fonction de n.
(jn ) est une suite géométrique, de raison 1,04 et de premier terme j0 = 3000. D’après le cours, on a
donc :
jn = 3000 × (1, 04)n
pour tout n ∈ N.
(c) Étude de la convergence de (jn ).
D’après 3.(a), la suite (jn ) est géométrique, de raison q = 1, 04 > 1. Son premier terme est
j0 = 3000 > 0. D’après le cours, la suite (jn ) diverge et on a lim jn = +∞.
n→+∞
4. Représentation des 20 premiers termes des deux suites et discussion sur le placement le plus intéressant
en fonction de n.
Sur le graphique ci-après, on a représenté les 20 premiers termes des suites (sn ) (marqués d’un •) et (jn )
(marqués d’un ×).
Le placement choisi par Sabrina est plus avantageux si le nombre d’années n est compris entre 1 et 11
ans, celui choisi par Joanna est plus intéressant pour une durée de placement supérieur. (Les points correspondant à s12 et j12 sont quasiment confondus sur le graphique, mais s12 = 4800 < 4803, 096656 = j12 .)
4
7000
×
6500
×
×
6000
b
×
b
b
×
b
5500
×
b
b
×
b
5000
×b
×
b
b
×
4500
b
×
b
×
b
×
b
4000
×
b
×
b
×
b
3500
×
b
×
b
×
b
×
3000
b
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Exercice 3 : Suites et intégrales
On considère la suite (un ) définie pour tout n ∈ N∗ par
Z n
x
un =
e− 2 dx.
n−1
1. Calculer u1 et u2 .
x
(a) Après une rapide étude de la fonction x 7→ e− 2 tracer la courbe de cette fonction.
(b) Donner une interprétation géométrique de u1 , de u2 puis de un pour un n ∈ N∗ quelconque.
2. Calculer un et donner le résultat uniquement en fonction de n.
3. Montrer que (un ) est une suite géométrique et donner sa raison et son premier terme.
4. On note Sn la somme des n premiers termes de la suite (un ).
(a) Grâce à une formule du cours sur les suites géométriques, calculer Sn et donner le résultat uniquement
en fonction de n.
(b) Montrer que
Z
n
x
e− 2 dx
Sn =
0
Donner une interprétation géométrique de Sn .
(c) Calculer Sn grâce à la question précédente. Vérifier que le résultat trouvé est le même qu’à la question
4.a.
(d) Déterminer la limite de Sn quand n tend vers +∞. Proposer une interprétation géométrique de
votre résultat.
5
Correction
1. Calcul de u1 et u2 .
x
x
La fonction x 7→ −2e− 2 définie sur R est une primitive de la fonction x 7→ e− 2 définie sur R. Ainsi a-t-on :
u1 =
Z
0
1
x
x 1
1
e− 2 dx = −2e− 2 0 = 2(1 − e− 2 )
et
u2 =
Z
2
1
x
x 2
1
e− 2 dx = −2e− 2 1 = 2(e− 2 − e−1 ).
1
1
1
On peut remarquer que e− 2 = √ et que e−1 = . Les résultats précédents peuvent donc se réécrire :
e
e
1
1
1
et
u2 = 2 √ −
u1 = 2 1 − √
.
e
e e
x
(a) Étude de la fonction f définie sur R par f (x) = e− 2 et représentation graphique de f .
La fonction f est dérivable sur R, comme composée de deux fonctions dérivables sur R (x 7→ − x2 et
x 7→ ex ). En appliquant le théorème donnant la dérivée d’une composée, on obtient
1 x
f ′ (x) = − e− 2
2
pour tout x ∈ R.
L’exponentielle ne prenant que des valeurs strictement positives, on en déduit que f ′ (x) < 0 pour
tout x ∈ R. Par suite, la fonction f est strictement décroissante sur R.
La limite de f en +∞ est 0. En effet :

x
= −∞ 
x→+∞
2

lim ex = 0
composition
=⇒
de limites
lim −
x→−∞
x
lim e− 2 = 0.
x→+∞
La courbe représentative de f dans le plan repéré admet donc une asymptote horizontale d’équation
y = 0 en +∞.
La limite de f en −∞ est +∞. En effet :

x
lim − = +∞ 
x→−∞
2
lim ex = +∞ 
composition
=⇒
de limites
x→+∞
2
x
lim e− 2 = +∞.
x→−∞
Courbe représentative de f
1
u1
u2
1
2
3
4
5
6
7
8
(b) Interprétation géométrique de u1 , de u2 puis de un pour un n ∈ N∗ quelconque.
L’exponentielle ne prenant que des valeurs strictement positives, on en déduit que f (x) > 0 pour
tout x ∈ R. D’après l’interprétation géométrique d’une intégrale de fonction positive, vue en cours,
on a donc :
• u1 est l’aire de la portion de plan délimitée par les trois droites d’équations y = 0, x = 0, x = 1 et
la courbe représentative de f ,
6
• u2 est l’aire de la portion de plan délimitée par les trois droites d’équations y = 0, x = 1, x = 2 et
la courbe représentative de f ,
• et plus généralement, un est l’aire de la portion de plan délimitée par les trois droites d’équations
y = 0, x = n − 1, x = n et la courbe représentative de f , pour tout n ∈ N∗ .
2. Calcul de un .
On utilise à nouveau la primitive de f donnée en 1. pour effectuer le calcul de un .
=
un
Z
n
n−1
=
=
=
=
=
1
On peut remarquer que e 2 =
x n
x
e− 2 dx = −2e− 2 n−1
n−1
n
2(e− 2 − e− 2 )
1
n
n
2(e(− 2 + 2 ) − e− 2 )
1
n
n
2(e− 2 × e 2 − e− 2 )
n
1
2e− 2 (e 2 − 1)
1
1
2(e 2 − 1) × (e− 2 )n
√
1
1
e et que e− 2 = √ . On a donc aussi la forme suivante pour un :
e
n
√
1
.
un = 2 e − 1 × √
e
3. Preuve de l’assertion : (un ) est une suite géométrique.
√
On vient de démontrer que un = 2 ( e − 1) ×
1
√
e
n
, pour tout n ∈ N∗ . La suite (un ) est donc
√
1
1
1
géométrique, de raison √ . Son premier terme est u1 = 2( e − 1) √ = 2 1 − √ .
e
e
e
4. (a) Expression de Sn en fonction de n, au moyen d’une formule du cours sur les suites géométriques.
Sn
=
u1 + u2 + . . . + un
=
n 

1
√
1
−


1
e

×
2 1− √


1
e
1− √
e
=
(b) Preuve de Sn =
Z
n
(formule du cours)
n 1
2 1− √
e
x
e− 2 dx et interprétation géométrique.
0
Sn
= u1 + u2 + . . . + un
=
Z
1
Z
n
x
e− 2 dx +
2
x
e− 2 dx + . . . +
1
0
=
Z
x
e− 2 dx
Z
n
x
e− 2 dx
n−1
(relation de Chasles)
0
Sn est donc l’aire de la portion de plan délimitée par les trois droites d’équation y = 0, x = 0, x = n
et la courbe représentative de f (cf. 1.(b)).
Sn
n
7
(c) Calcul de Sn grâce à 4.(b).
On utilise une nouvelle fois la primitive de f donnée en 1. pour effectuer le calcul de Sn .
Sn
=
=
=
=
Z
0
n
x
x n
e− 2 dx = −2e− 2 0
n
2(1 − e− 2 )
− 21 n
2(1
− (e ) ) n 1
2 1− √
e
1
1
(car e− 2 = √ )
e
(d) Étude de la convergence de (Sn ) et interprétation géométrique.
n 1
On sait que Sn = 2 1 − √
pour tout n ∈ N∗ .
e
n
1
D’après le cours sur les suites géométriques, la suite √
est convergente et sa limite est nulle,
e
1
1
car sa raison est √ et −1 < √ < 1. On en déduit que (Sn ) converge et que lim Sn = 2.
n→+∞
e
e
D’après l’interprétation géométrique de Sn donnée en 4.(b), la limite de Sn , qui vaut 2, correspond
à l’aire A de la portion (infinie) du plan délimitée par les deux droites d’équation y = 0, x = 0 et la
courbe représentative de f .
A
Exercice 4 : Suites et probabilités
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. On admet les renseignements
suivants :
– a) Si elle atteint la cible à un lancer, alors la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est
1
égale à .
3
– b) Si elle manque la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à
4
.
5
– c) Au premier lancer, elle a autant de chance d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout n ∈ N, on considère les événements suivants :
An : ”Alice a atteint la cible au ne coup ”.
Bn : ”Alice a manqué la cible au ne coup ”.
On note pn = p(An ) la probabilité de l’événement An .
1. Dresser un arbre pour représenter cette expérience aléatoire. Faire figurer les renseignements a), b) et c)
dans cet arbre.
2. Compléter l’arbre pour les 3 premiers lancers. Expliquer votre démarche en utilisant des formules du cours.
3. Déterminer p1 et p2 , en justifiant votre démarche grâce à des formules du cours.
4. Les événements A1 et A2 sont-ils indépendants ?
8
5. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout n ≥ 2, on a
pn =
1
2
pn−1 + .
15
5
3
6. Pour n ≥ 1, on pose un = pn −
. Montrer que (un ) est une suite géométrique, dont on précisera le
13
premier terme et la raison.
7. Déterminer un puis pn en fonction de n.
8. Déterminer lim
n→+∞
pn et interpréter ce résultat.
Correction
1. et 2. Arbre représentant l’expérience aléatoire, dont les trois premiers lancers.
An
A1
1/3
A2
b
b
B2
1/2
4/5
b
1/2
b
B1
4/5
2/3
1/5
A2
An+1
b
Bn+1
b
2/3
1/5 b An+1
b
Bn+1
b
B3
b
4/5
A3
b
b
2/3
1/5
b
b
Bn
A3
1/3
1/3
b
B3
..
.
...
1/3 b A3
b
B3
b
2/3
1/5 b A3
B2
b
B3
b
4/5
1/3
An
b
2/3
Bn
An+1
b
1/5
Bn+1
b
An+1
b
b
4/5
b
Bn+1
Pour placer certaines probabilités sur les branches de l’arbre, on a appliqué la formule du cours
P (A) = 1 − P (A),
où A est un événement et A l’événement contraire.
3. Calcul de p1 et p2 .
On a p1 = P (A1 ) =
p2 = P (A2 ) =
=
1
et
2
P (A1 ) × P (A2 |A1 ) + P (B1 ) × P (A2 |B1 )
4
1 1 1 1
× + × =
.
2 3 2 5
15
(théorème des probabilités totales)
4. Étude de l’indépendance des événements A1 et A2 .
1
1
1
1
4
2
1
On a P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 ) × P (A2 |A1 ) = × = . Or P (A1 ) × P (A2 ) = ×
=
6= . Les
2
3
6
2
15
15
6
événements A1 et A2 ne sont donc pas indépendants.
5. Preuve de l’assertion : pour tout n ≥ 2, on a pn =
9
1
2
pn−1 + .
15
5
Soit n ≥ 2. On a
pn = P (An ) =
P (An−1 ) × P (An |An−1 ) + P (Bn−1 ) × P (An |Bn−1 )
(théorème des probabilités totales)
1
1
(Bn−1 = An−1 et P (An−1 ) = 1 − P (An−1 ))
pn−1 × + (1 − pn−1 ) ×
3
5
1
2
pn−1 + .
15
5
=
=
6. Preuve de l’assertion : (un ) est une suite géométrique.
Soit n ≥ 1.
un+1
2
1
3
2
2
2
3
=
pn + −
=
pn −
=
= pn+1 −
13
15
5 13
15
65
15
La suite (un ) est donc góemétrique, de raison
3
2
pn −
=
un .
13
15
2
3
7
. Son premier terme est u1 = p1 −
=
.
15
13
26
7. Expressions de un et pn en fonction de n.
7
D’après le cours et 6., on a un =
×
26
2
15
n−1
, pour tout n ∈ N∗ . Ainsi a-t-on
3
7
3
+ un =
+
×
pn =
13
13 26
8. Calcul de
lim
n→+∞
2
15
pour tout n ∈ N∗ .
pn et interprétation du résultat.
D’après le cours sur les suites géométriques, la suite
car sa raison est
n−1
2
15
n−1 !
est convergente et sa limite est nulle,
2
2
3
et −1 <
< 1. On en déduit que la suite (pn ) converge et que lim pn =
.
n→+∞
15
15
13
On en déduit qu’après avoir lancé un grand nombre de fois, Alice touchera la cible au lancer suivant avec
3
.
une probabilité voisine de
13
10