Correction du devoir maison no 3

Correction du devoir maison no 3
Exercice 1: D’après Bac L Polynésie 2006
1. D’après l’énoncé on a d1 = 5000.
Le deuxième jour, sa performance diminue de 1 % ce qui signifie que d2 = d1 −
1
d1 = 0, 99d1 = 49, 5
100
De même pour le calcul de d3 : d3 = 0, 99d2 = 49, 005.
2. • Comme expliqué dans la question précédente, le n + 1-ième jour la performance du globe-trotter
en diminuée de 1% par rapport au n-ième jour. On a donc :
dn+1 = dn − 0, 01dn = 0, 99dn
On a bien dn+1 = 0, 99dn
• La suite (dn ) est donc géométrique de raison 0, 99.
On sait donc que pour tout entier n non nul, dn = d1 × (0, 99)n−1.
Pour tout entier n non nul, dn = 50 × (0, 99)n−1
3. Pour tout entier n non nul :
Ln = 50 + 50 × 0, 99 + 50 × (0, 99)2 + · · · + 50 × (0, 99)n−1
= 50 1 + 0, 99 + (0, 99)2 + · · · + (0, 99)n−1
1 − (0, 99)n
= 50 ×
1 − 0, 99
50(1 − (0, 99)n )
=
1
100
= 50(1 − (0, 99)n ) × 100 = 5000(1 − (0, 99)n )
Pour tout entier n non nul, Ln = 5000(1 − (0, 99)n )
4. On sait que lim (0, 99)n = 0 car 0 < 0, 99 < 1.
n→+∞
Donc
lim Ln = 5000(1 − 0) = 5000.
n→+∞
La distance totale va donc tendre vers 5 000 km sans jamais l’atteindre donc le globe-trotter ne
gagnera jamais son pari.
5. N = 23 jours
Exercice 2: 45 page 26
1. Notons pour cette question M le marché en valeurs.
En 2009 : M = 500 × 7, 5 = 3750.
En 2010 : le prix unitaire à baissé de 15% donc il est de 500 × 0, 85 = 425 et le volume de vente a
progressé de 13% donc il est de 7, 5 × 1, 13 = 8, 475.
On a donc M = 425 × 8, 475 = 3601, 875.
2. a) • Pour tout entier n on sait que le prix unitaire chute de 15% par an donc :
Un+1 = 0, 85Un
De plus le volume des vente augmente de 13% donc :
Vn+1 = 1, 13Vn
• Les suites U et V sont toutes les deux géométriques de raisons respectives 0, 85 et 1, 13 et de
plus U0 = 500 et V0 = 7, 5.
Donc pour tout entier n :
Un = 500 × (0, 85)n
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et
Vn = 7, 5 × (1, 13)n
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b) Par définition du marché de valeurs on a Wn = Un × Vn .
D’après la question précédente :
Wn = 500 × (0, 85)n × 7, 5 × (1, 13)n = 500 × 7, 5 × (0, 85 × 1, 13)n = 3750 × (0, 9605)n
On a donc Wn = 3750 × (0, 9605)n.
On reconnait ici que Wn est la suite géométrique de raison 0, 9605 et de premier terme 3750.
c) La raison de la suite Wn est égale à 0, 9605 et 0 < 0, 9605 < 1 donc la suite W est décroissante
et lim Wn = 0.
n→+∞
A long terme le marché de valeur sera proche de 0.
3. Avec le même raisonnement en Allemagne on a Wn = U0 ×V0 ×(0, 95 ×1, 13)n = U0 ×V0 ×(1, 0735)n .
La raison de la suite Wn est alors supérieure à 1 donc lim Wn = +∞.
n→+∞
Le marché de valeur augmente à l’infini.
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