TSTGM DS du vendredi 10 décembre 2010. NOM

TSTGM DS du vendredi 10 décembre 2010.
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MATHEMATIQUES
Exercice 1
Pour chaque fonction, calculer la dérivée, en déterminer le signe et construire le tableau de variation.
1
4x −1
sur [ 0 ; 3] ; h ( x ) = x3 − 4 x + 3 sur [ −6 ; 6]
3x + 4
3
2) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f en son point d’abscisse 3.
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Exercice 2
Une entreprise fabrique des machines-outils. Sa capacité maximale de production est de 100 machines par an.
Le coût total de production de x machines est donné en milliers d'euros par la fonction f définie sur l'intervalle
[ 0 ;100 ] par : f ( x) = 0, 2 x 2 + 8 x + 60 .
1)
f ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 1 sur [ 0 ; 5] ; g ( x ) =
On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 100];
Chaque machine-outil étant vendue au prix de 20 000 €, le chiffre d'affaire en milliers d'euros réalisé par
l'entreprise pour la vente de x machines-outils est donné par la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 100] par
g ( x) = 20 x .
1)
Tracer la courbe représentative de la fonction g sur ce même graphique.
2)
Déterminer graphiquement, le nombre minimal et le nombre maximal de machines-outils que l'entreprise
doit produire pour réaliser un profit. Expliquer la démarche.
3) Le bénéfice (ou résultat d'exploitation) en milliers d'euros réalisé par la production et la vente de x
machines-outils est donné par la fonction h définie sur l'intervalle [0 ; 100] par h ( x) = g ( x) − f ( x ) .
a) Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 100], h ( x) = −0,2 x 2 + 12 x − 60 .
b) Calculer h '(x), puis étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 100].
c) En déduire le tableau de variation de la fonction h sur l'intervalle [0 ; 100].
d) À l'aide du tableau de variation, déterminer le profit maximal ainsi que la production pour laquelle il est
réalisé.
CORRIGE
Exercice 1
Pour chaque fonction, calculons la dérivée, déterminons son signe et construisons le tableau de variation.
1)
f ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 1 sur [ 0 ; 5] ; f ' ( x ) = 6 x − 12
x
0
2
–
f '( x)
5
0
+
1
16
f ( x)
-11
g ( x) =
4x −1
19
sur [ 0 ; 3] ; g ' ( x ) =
>0
2
3x + 4
( 3x + 4 )
x
0
3
+
g '( x)
g ( x)
h ( x) =
11
13
−1
4
1 3
x − 4 x + 3 sur [ −6 ; 6] ; h ' ( x ) = x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 )
3
x
–6
–2
2
x−2
–
–
x+2
–
0
+
h '( x)
+
0
–
0
6
+
+
0
25/3
+
51
h( x)
–45
–7/3
2) Déterminons une équation de la tangente T à la courbe de f en son point d’abscisse 3.
On a : f ( 3) = 27 − 36 + 1 = −8 et f ' ( 3) = 18 − 12 = 6 , donc l’équation est y = f ' ( 3)( x − 3) + f ( 3) soit :
y = 6 ( x − 3) − 8 soit : y = 6 x − 26
Exercice 2
Une entreprise fabrique des machines-outils. Sa capacité maximale de production est de 100 machines par an.
Le coût total de production de x machines est donné en milliers d'euros par la fonction f définie sur l'intervalle
[ 0 ;100 ] par : f ( x) = 0, 2 x 2 + 8 x + 60 .
Chaque machine-outil étant vendue au prix de 20 000 €, le chiffre d'affaire en milliers d'euros réalisé par
l'entreprise pour la vente de x machines-outils est donné par la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 100] par
g ( x) = 20 x .
1) Traçons la courbe représentative de la fonction g sur ce même graphique.
2) Pour déterminer graphiquement le nombre minimal et le nombre maximal de machines-outils que
l'entreprise doit produire pour réaliser un profit, on observe pour quelles valeurs de x la courbe de g est
située au-dessus de celle de f, soit pour x compris environ entre 6 et 54 machines.
3) Le bénéfice (ou résultat d'exploitation) en milliers d'euros réalisé par la production et la vente de x
machines-outils est donné par la fonction h définie sur l'intervalle [0 ; 100] par h ( x) = g ( x) − f ( x ) .
a) Vérifions que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 100], h ( x) = −0,2 x 2 + 12 x − 60 .
h( x) = g( x) − f ( x) = 20 x − ( 0, 2 x 2 + 8 x + 60 ) = −0, 2 x 2 + 12 x − 60
b) Calculons h'( x) = −0, 4 x + 12 , puis étudions son signe sur l'intervalle [0 ; 100].
c) On en déduit le tableau de variation de la fonction h sur l'intervalle [0 ; 100] :
x
0
30
+
h '( x)
0
100
–
120
h( x)
–60
–860
d) À l'aide du tableau de variation, on détermine le profit maximal 120 000 € ainsi que la production pour
laquelle il est réalisé soit 30 machines.