FONCTION LINEAIRE

CHAPITRE XVIII
FONCTION LINEAIRE
Ce sera là notre premier vrai contact avec les résolutions graphiques des polynômes. En
même temps ces fonctions-ci assureront la liaison indispensable vers les tangentes et les
dérivées. Nous chercherons aussi à y préciser le rôle de la pente et des constantes dans
toute variation.
170. L’équation du premier degré.
On aurait pu écrire, aux §§ 37 et 110, une relation similaire x − 1 = 5 − x, après
quelques transformations, sous la forme différente, 2x − 6 = 0, sans rien changer
aux valeurs, qui, attribuées à l’inconnue x, vérifieraient cette équation.
Nous aurions pu aussi faire subir une transformation similaire aux autres
équations contenues dans ce même chapitre XII.
FORME DÉJÀ VUE
NOUVELLE VERSION
3x + x = 44 (§ 111)
4x − 44 = 0
8x = 40 (§ 112)
8x − 40 = 0
30 + x = 12 + 4x (§ 113)
3x − 18 = 0
Ces 4 nouvelles versions, dans lesquelles nous avons renoncé aux simplifications,
ont plusieurs points communs :
A droite du signe égal, elles comportent un zéro,
A gauche, elles comportent un premier terme, contenant l’inconnue x,
dotée d’un coefficient (2, 4, 8, 3).
Le membre de contient encore un autre terme (−6, −44, etc.), indépendant
de toute variation, car il ne comporte ni x, ni aucune autre variable : ce
terme sera une constante.
Nous pourrons dégager ainsi une forme plus générale pour toutes ces équations :
ax + b = 0
et nous parlerons d’une équation du PREMIER degré, car, à aucun moment,
l’inconnue x ne comporte un exposant, à une puissance supérieure à 1.
Les coefficients a et b prendraient ainsi, comme valeur numérique a = 3, b = −18,
dans l’équation du § 113, a = 4, b = −44, dans celle du § 111, et ainsi de suite.
171. La fonction linéaire.
En fait, cette forme ax + b = 0, autrement dit l’équation du premier degré ellemême, ne représente qu’un cas particulier, tout comme au § 160, l’équation du
second degré n’était qu’un cas particulier du trinôme du second degré.
Pour que l’équation initiale du § 170, soit vérifié, en d’autres termes, pour que
ax + b s’annule, il faut obligatoirement attribuer à x la valeur numérique de 3. Si
nous remplacions, par contre, x par le chiffre 2, le membre de gauche reviendrait
2x − 6 =2.2 − 6 = −2
et encore si x = −1, on aurait
2(−1) −6 = −8
Nous conclurons, que la forme plus générale, y = ax + b, concerne un binôme,
(parce que contenant deux termes), du premier degré (parce que la variable
indépendante est à la puissance un) et que ce binôme devient une équation du
premier degré, lorsque y = 0, parce que nous retrouvons alors, ax + b = 0. Le
paragraphe 116 nous enseigne alors, que nous nous trouverons devant une
fonction linéaire, dont la représentation graphique sera encore une droite.
Le paragraphe 129 a même montré, que l’on conservait encore une droite, en
utilisant deux échelles logarithmiques.
172. Résolution graphique.
Lorsque, dans la fonction linéaire, y = 2x − 6, x prend la valeur de 3, y s’annule ;
autrement dit, pour cette valeur de x, la fonction y correspondra à l’axe des
abscisses lui-même, comme nous l’avons vu à la suite du tableau VIII-C. Or, 3 est
aussi la valeur, qui vérifie l’équation 2x − 6 = 0, ou encore la RACINE de cette
équation.
Et nous conclurons ainsi, que le point d’intersection entre la courbe représentative
et l’axe des abscisses indiquera la racine même de l’équation : nous disposerons là
d’un nouveau moyen
ordonnée
de résoudre de telles
y+∞
3
équations.
+
x
2
Cette propriété
=
y
s’applique à la forme
2x
5
=
y
générale y = ax + b,
4
-6
elle-même ; ce point
3
2x
d’intersection sera
2
b=3
y=
x+∞
1
1
2
3
alors donné par
abscisse
-2
x-∞
-1
x= −b , puisque nous
x = 3 -1
2
a
X=3
avons ax + b = 0
et ax = −b.
Sur la figure XVIII-1,
on retrouvera bien
x = −6 = −(−3) = 3
+2
valeur que nous avons
déjà reconnue comme
étant la racine de l’équation.
origine
-2
-3
-4
b = -6
-5
-6
y-∞
Fig. XVIII-1. Les trois fonctions on la même pente.
173. Coefficient angulaire.
Si nous traçons, dans un même système d’axes de coordonnées, trois fonctions
telles que
y = 2x − 6, y = 2x + 3, y = 2x,
nous constatons (fig. XVIII-1), que :
Les droites obtenues sont parallèles et « quelles ne se rencontrent donc
jamais », (d’après la géométrie euclidienne, la plus couramment
employée).
Or, dans les trois fonctions, le coefficient « a » de la variable indépendante a pris
la même valeur, soit ici, 2 et nous pourrions peut-être conclure : toutes les droites,
dotées du même coefficient « a » sont parallèles.
Si nous traçons maintenant, dans un même système d’axes de coordonnées, trois
fonctions, telles que
y = 2x, y = 3x, y = x,
in
cli
n
i nc
ais li nai y =
on y s on 3x
tp = très
l us 2x
for
te
for
te
nous constatons (fig. XVIII-2), que :
Les trois
ordonnées
droites passent
y+∞
par l’origine.
La droite,
correspondant
3
à y = 3x,
x
y = ibl e
présente
2
fa
s
pl u
n
l’inclinaison la
is o
1
li na
abscisse
i nc
plus grande et
x+∞
que la droite
x - ∞ -2
-1
-1
1
2
correspondant
à y = x se
-2
rapproche le
-3
plus, de
l’horizontale.
Nous conclurons
y-∞
encore : l’inclinaison
Fig. XVIII-2. Le coeffic ient angulair e d’une fonction à l’autre.
ou « pente », varie
avec la valeur
numérique de ce même coefficient « a » ; elle est plus forte, lorsque ce coefficient
est plus élevé : il en est
ainsi dans y = 3x.
TABLEAU XVIII-A
A une même variation de
Lorsque x augmente d’une
y augmente de
x, par exemple, d’une unité,
Unité dans la fonction
correspondent dans nos
y =x
1 unité
trois fonctions, des
y =2x
2 unités
augmentations différentes
y =3x
3 unités
L’augmentation de la variable de pente en fonction du coefficient angulaire.
de y, comme le montre le
tableau XVIII-A.
Les trois termes « inclinaison », « pente » et « coefficient angulaire », sont
synonymes. Ce dernier
s’explique fort bien, car
y+∞
l’ANGLE, formé par la
+2
droite et l’axe horizontal
x
des abscisses comportera
y=
pente
bien un nombre de degrés
négative
+1
plus élevé, lorsque a est
plus grand. Quelle que
-2
-1
+1
+2 x + ∞
soit la valeur considéré de
x-∞
x, l’élongation, y, sera
abscisse
plus grande dans la
-1
fonction y = 3x, qu’elle
y=
ne l’est dans y = x.
174. Pente négative.
Parmi les diverses valeurs
que le coefficient a peut
prendre, dans le binôme
du premier degré, les
-2
-x
y-∞
ordonnée
Fig. XVIII-3. La pente peut être positive ou négative.
valeurs négatives ne sont pas exclues.
Au paragraphe 114, déjà, nous avions trouvé le binôme y = 18 − 5t, dans lequel ce
coefficient a prenait la valeur −5 ; la droite obtenue présentait bien une inclinaison
descendante de la gauche vers la droite. Il en serait de même pour la fonction
y = −x, dont la représentation graphique passerait encore par l’origine, tout comme
le faisait y = x (fig. XVIII-2), mais avec une orientation différente.
Une telle pente sera dite négative et elle sera donc provoquée par le signe négatif
du paramètre a. La fonction elle-même sera DÉCROISSANTE, parce que les
deux variables, dépendantes ou indépendante, ne varient pas dans le même sens :
lorsque, dans la fonction y = −x, x augmente de 2 à 3, y diminuera de −2 à −3.
La fonction serait évidemment CROISSANTE, lorsque les deux variations se
produisent dans le même sens, comme dans y = x, ou y = 2x, où a est positif.
175. Ordonnée à l’origine.
Si on compare ces fonctions y = x ou y = 3x, à la fonction générale y = ax + b, on
constate que, leur constante, b, se réduit à zéro à la variable indépendante, il reste
y = −6 et cette valeur −6 sera encore « L’ORDONNÉE A L’ORIGINE » (§ 74)
ou, tout simplement, la constante b de la forme générale du binôme.
Enfin, pour que toutes nos discussions de ce chapitre aient un sens, il a bien fallu
un coefficient a différent de zéro, sinon le premier terme ax de la forme générale,
se serait annulé et il n’aurait plus subsisté que de la forme générale, se serait
annulé et il n’aurait plus subsisté que y = b.
On pourrait, avec cette valeur a = 0, transformer encore le binôme en y = Ox+ b et
on dira que n’importe quelle valeur numérique, attribuée à x, donnera toujours à ,
donnera toujours à y la valeur b. La droite, qui serait la représentation graphique
d’une telle fonction, resterait toujours distante de l’axe des abscisses, de cette
valeur b ; en d’autres termes, elle lui serait parallèle.