Démonstration 05

Démonstration 05
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Le plan est rapporté à un repère (O; i , j ) .
• Soit d une droite. Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points distincts de d.
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Un point M de coordonnées (x ; y) appartient à d si et seulement si AM est colinéaire à AB .
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AM a pour coordonnées (x - xA ; y - yA) , AB a pour coordonnées (xB - xA ; yB - yA).
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AM est colinéaire à AB ⇔ (x - xA)(yB - yA) - (y - yA)(xB - xA) = 0
⇔ (yB - yA) x - (xB - xA) y - (yB - yA) xA + (xB - xA) yA = 0
en posant a = yB - yA ; b = - (xB - xA) et c = - (yB - yA) xA + (xB - xA) yA
on obtient une équation de la forme ax + by + c = 0
Comme A et B sont deux points distincts, on a (xA ; yA) ≠ (xB ; yB) , donc (a ; b) ≠ (0 ; 0) .
toute droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 a, b, c étant trois réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0)
→
Cette droite a pour vecteur directeur AB de coordonnées
Donc d a pour vecteur directeur
(xB - xA ; yB - yA) = (-b ; a)
→
v (-b ; a) .
Réciproquement considérons l'équation ax + by + c = 0 a, b, c étant trois réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0)
Si b ≠ 0 , on peut écrire by = -ax - c donc y = - a x - c .
b
b
Cette équation est de la forme y = px + q avec p = - a et q = - c
b
b
C'est l'équation d'une droite de coefficient directeur p = - a
b
Si b = 0 on a nécessairement a ≠ 0 et on peut écrire ax + c = 0 donc x = - c
a
→
C'est une équation de la forme x = k, donc c'est l'équation d'une droite parallèle à (O; j ).
• D'après les résultats vus précédemment, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points d'abscisses
yB - yA
y - yA
différentes, la droite (AB) a pour coefficient directeur p = - a = donc p = B
.
- (xB - xA)
xB - xA
b
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