Ecritures décimales et fractions

Ecritures décimales et fractions
Toute fraction à termes entiers peut s’écrire sous forme décimale illimitée périodique.
Ex : Lorsqu’on ne peut pas transformer le dénominateur en une puissance de 10, on peut utiliser la division écrite
pour obtenir le développement décimal d’un nombre. On observera qu’à un moment donné, dans cette division, on
obtient un nombre déjà présent dans la division, ce qui indiquera donc la présence d’une période. Il y en aura
toujours une puisque il n’y a qu’un échantillon fini de possibilités (toutes inférieures au diviseur).
4
2
3
= 0.60
= 0. 285714
= 0, 36
11
7
5
Tout nombre réel ayant une écriture décimale illimitée périodique peut s’écrire sous
forme de fraction à termes entiers et est donc un nombre rationnel.
Voici 3 cas dans lesquels nous pouvons nous trouver :
= .
175 = ou encore0. 14
Cas 1: 0. Explications :
= 0,175175175 …⇔ 1000 = 175.175175175 … ⇔ 999 = 175 ⇔ =
175
999
et
= 0,141414 …⇔ 100 = 14.141414 … ⇔ 99 = 14 ⇔ =
14
99
= 0,0001818181818 … = .
Cas 2:0,00018
Explications :
18
0, 18
18
=
0,00018
= 99 =
.
1000 1000 99000
Cas 3 :
= 5,423423423 … = )5, 423
5418
423
5 +
.
999
999
Explications :
= 5 + 0, 1) 5, 423
423. Transformons d’abord 0, 423.
2) Le cas 1 permet de dire que 0, 423 =
.
3) 5, 423 = 5 + 0, 423 = + = .
= 0,125353535353 … = !)0,1253
1241
9900
Explications :
. Transformons d’abord 0,0053
.
= 0,12 + 0,0053
1) 0,1253
=
2) Le cas 2 permet de dire que 0,0053
.
= 0,12 + 0,0053
=
3) 0,1253
http://www.cspu.be/~termollem/
+ = + = .
1
Corollaire :
Tout nombre réel ayant une écriture décimale illimitée non périodique est
irrationnel(∈).
Notes : Par conséquent, pour créer un nombre irrationnel, il suffit par exemple d’imaginer une suite décimale non
périodique telle que 0,01001000100001 …
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