Programmes de colle PSI* 2016-2017 NB : ce document contient

Programmes de colle PSI* 2016-2017
NB : ce document contient tous les programmes de cette année. Le programme en cours est à la dernière
page.
Rappel : le cours et les exercices faits en classe doivent être connus.
Colle 1 (semaine du 12/9/2016)
Séries :
1) Vocabulaire : convergence, divergence, divergence grossière, restes, opérations. « Boîte à outils » : séries
géométriques, sommation télescopiques (équivalence suite-séries), séries de Taylor (en particulier, série
exponentielle), série harmonique, séries de Riemann. Critère spécial des séries alternées (ou de Leibniz).
2) Séries à termes positifs. Elles convergent ssi les sommes partielles sont majorées. Comparaison (inégalités,
domination, prépondérance). Deux SATP de termes généraux équivalents sont de même nature. Théorème de
comparaison séries-intégrales.
3) Convergence absolue : Une série ACV est CV. Extension des théorèmes de comparaison. Méthode par
"éclatement" (DL). Formule de Stirling. Règle de d’Alembert. Produit de Cauchy.
4) Compléments : il s’agit de résultats officiellement hors programme, mais qui ont été vus (et doivent être
connus) : séries de Bertrand, théorème de Cesaro, exemple de sommation d'équivalents, développement
asymptotique de ∑1≤ k≤ n 1/k, permutation des termes d’une série ACV. Transformation d’Abel : exemple de ∑
sin(k)/k.
Colle 2 (semaine du 19/9/2016)
Séries Voir programme précédent.
Colle 3 (semaine du 26/09/2016)
Algèbre linéaire
1) Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels, dimension.
2) Somme directe d'une famille finie de sevs ; supplémentaires. Majoration de la dimension d'une somme,
caractérisation d'une somme directe par sa dimension. Définition d'une application linéaire par sa restriction à
des sevs en somme directe. Fractionnement, recollement d'une base. Base adaptée à un sev, à une somme directe
3) Révisions : projecteurs, théorème du rang.
4) Matrices définies par blocs, opérations par blocs.
5) Formule de changement de base pour un vecteur, une famille de vecteurs, ou un endomorphisme. ; matrices
semblables.
6) Sev stable par un endomorphisme, endomorphisme induit. Traduction sur la forme de la matrice (triangulaire
ou diagonale par blocs).
8) Endomorphismes et matrices nilpotents (en complément).
NB : Sont hors programme les notions suivantes : idéal, algèbre, groupe, polynôme minimal, matrices
équivalente, formules de Cramer, groupe symétrique, cycles, orbites et signatures d'une permutation, comatrice.
Colle 4 (semaine du 3/10/2016)
Algèbre linéaire
Voir programme précédent.
Polynômes d'endomorphismes ou de matrices, déterminants :
1) Polynômes d'un endomorphisme, d'une matrice. Polynômes annulateurs. Application au calcul
de l'inverse ou de puissances. Interpolateurs de Lagrange (en complément).
2) Déterminant d'une matrice. Rappel des règles de calcul : n-linéarité (exemple de développement par
multilinéarité), antisymétrie, invariance par transvection sur les rangées, déterminant d'une transposée, d'un
produit. Caractérisation des matrices inversibles. Invariance par similitude. Déterminant d'un endomorphisme,
d'une famille de vecteur. Développement par rapport à une rangée. Déterminant de Vandermonde (résultat et au
moins une démonstration à connaître). Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs. Déterminant et
opérations sur les rangées de blocs (en complément).
3) Trace d’une matrice carrée. Linéarité. Trace de la transposée. Tr(AB)=Tr(BA) dès que le produit AB est carré.
Invariance par similitude. Trace d’un endomorphisme en dimension finie.
Résultats complémentaires : Tr(tA.B) =(A|B) défini le produit scalaire canonique sur Mn(R) ; les formes
linéaires sur Mn(K) s’écrivent MTr(AM). Trace d'un projecteur = rang.
NB : Sont hors programme les notions suivantes : idéal, algèbre, groupe, polynôme minimal, matrices
équivalente, formules de Cramer, groupe symétrique, cycles, orbites et signatures d'une permutation, comatrice.
Colle 5 (semaine du 10/10/2016)
Déterminants , Trace d'une matrice carrée
Voir programme précédent.
Formes linéaires en dimension finie et hyperplans
1) Formes linéaires. Matrice d'une forme linéaire ; lien avec les équations linéaires et les systèmes d'équations
linéaires vus en 1ère année.
2) Hyperplans en dimension finie : un hyperplan est un sev admettant un supplémentaire de dimension 1 (déf) ;
un hyperplan est un sev de dimension n-1 (caract.2) ; un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle
(caract.3). Deux formes linéaires non nulles qui ont le même noyau sont proportionnelles : les équations d'un
hyperplan sont proportionnelles.
NB Tout résultat sur les hyperplans en dimension infinie est hors programme. La notation E* est hors
programme. La notion de base duale/antéduale et plus généralement la dualité est hors programme.
Colle 6 ("semaine" du 17/10/2016 au 4/11 2016)
Convergence des séries entières
Lemme d’Abel. Rayon de convergence (sup r≥0, (a n rn) bornée). Caractérisation : |z|<R : convergence absolue ;
|z|>R : divergence grossière. Cercle « d’incertitude ».
Calcul du rayon de convergence : utilisation directe de la définition ou du lemme d’Abel ; critère de d’Alembert
appliqué à la série numérique |an zn| pour z non nul ou critère spécial de
d'Alembert (|an+1 /an | tend vers 1/R) ; comparaison [an= O ( bn ) R(a) ≥R(b)] , en particulier : équivalents) ;
opérations (rayon d’une somme de séries entières, produit de Cauchy de deux séries entières). Complément :
[bn= np an  R(a) = R(b)]
Propriétés analytique de la somme d’une série entière
Continuité de la somme sur le disque (ouvert) de convergence (en particulier, sur ]-R,R[ ).
Continuité sur le disque fermé si convergence absolue en R. Intégration terme à terme. Dérivation terme à terme.
La série dérivée a même rayon de convergence…, la somme d’une série entière est C∞ sur ]-R,R[ .
Développement limité de la somme. Lien avec la série de Taylor et théorème d'unicité.
Fonction développable en série entière. CN : f est C∞ et la série entière est la série de Taylor.
Utilisation du reste de Taylor (sous forme intégrale). Développements classiques et leurs rayons de
convergence ! (série 1 : 1/(1+z)k, ln(1+t), Arctan t série 2 : exp(z), ch(t), sh(t), sin(t), cos(t), etc., série 3 :
(1+t)^a ) Développement d'une fonction rationnelle en série entière, développement obtenu par une équation
différentielle.
NB : l’étude générale de la décomposition en éléments simples n’est pas au programme en PSI mais on doit
savoir décomposer sans indication les fractions dont le dénominateur est de degré 2. Les fonctions th, argch,
argsh, argth ne sont pas au programme. L'inégalité (et a fortiori, l'égalité) de Taylor-Lagrange n'est pas au
programme.
Colle 7 (semaine du 7/11/2016 au 10/11/2016)
Séries entières
cf. programme précédent. La colle doit porter principalement sur ce sujet.
Intégration sur un intervalle quelconque
1) Fonctions continues par morceaux
Définition sur un segment, sur un intervalle quelconque. Subdivision adaptée (ou subordonnée). Intégration
d'une fonction CPM sur un segment (intégrale «ordinaire»)
2) Intégrales convergentes. Intégrales de référence : 1/t^a sur ]0,1] et sur [1,+infini[, e^(-at) sur R+, ln(t) sur
]0,1]. Notation [u]ab si u admet une limite en a et en b.
Vocabulaire : borne impropre, intégrale faussement impropre.
3) Reste. Linéarité, positivité, croissance.
Si f est continue et l’intégrale de |f| est nulle, alors f=0.
4) Théorème de comparaison pour les fonctions positives. Intégrales absolument convergentes. Fonctions
intégrables. Théorème général de comparaison (équivalence, domination par une fonction intégrable). Somme de
fonctions intégrables, produit par une constante. Espace L1(I). Fonctions de carré intégrable : somme et produit.
Espace L2(I).
5) Exemples d’étude d’intégrales : Dirichlet, Bertrand.
NB : l'objectif à ce stade est de savoir reconnaître la continuité par morceaux sur l'intervalle d'intégration,
établir la convergence d'une intégrale, l'intégrabilité d'une fonction. établir une inégalité par des majorations
bien choisies. Les aspects algébriques (structure préhilbertienne sur les fonctions L2 continues, CauchySchwarz, seront revus plus tard).
Colle 8 (semaine du 14/11/2016 au 18/11/2016)
Intégration sur un intervalle quelconque
cf. programme précédent.
4) Ajouter : inégalité de Cauchy-Schwarz
5) Changement de variable, intégration par parties.
Th. de changement de variable (C1 et strictement monotone pour les intégrales impropres),
NB : La notion de C1-difféomorphisme est hors programme.
Th d''intégration par parties : si uv admet une limite en a et b, les intégrales de u'v et uv' sont
de même nature et si convergence int(u'v, a..b)= [uv]ab – int(uv', a..b).
NB : on peut tolérer, pour ces deux théorèmes, des calculs "sous réserve de convergence", à condition qu'ils
soient proprement signalés a priori et justifiés a posteriori.
Colle 9 (semaine du 21/11/2016)
Intégrales à paramètre
1) Convergence simple d'une suite de fonctions ou d'une série de fonctions.
Propriétés qui « passent » à la limite simple (signe, monotonie, …)
Propriétés qui ne « passent » pas (continuité, intégration…) .
2) Paramètre discret : Théorème de convergence dominée (admis) : application du théorème aux suites de
fonctions, aux sommes partielles et aux restes des séries de fonctions.
Théorème d’intégration terme à terme d'une série de fonctions intégrables (« sommation L1 »).
3) Paramètre continu : Révision sur l'intégrale fonction de ses bornes.
Théorème de continuité, théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre (C1),
théorème "Ck". Hypothèses :
1. Régularité (C0/C1/Ck) par rapport au paramètre, 2.l'intégrande et ses dérivées successives sont CPM et L1
jusqu'à l'ordre k-1 et. la k-ème dérivée est CPM 3. Domination globale ou locale (sur tout segment) de la
dernière dérivée par une fonction intégrable.
NB : La fonction Γ d'Euler a été abordée mais ce n'est pas une fonction du programme.
NB : La convergence uniforme n'a pas encore été abordée.
Colle 10 (semaine du 28/11/2016)
cf. programme précédent.
Colle 11 (semaine du 5/12/2016)
Réduction des endomorphismes
1) Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme, sous-espaces propres : ils sont en somme directe.
Si u et v commutent, les SEPs de u sont stables par v. Les valeurs propres sont racines des polynômes
annulateurs.
Eléments propres d'une matrice carrée, polynôme caractéristique :
χA (X) = X^n –Tr(A) X^(n-1) +...+ (-1)^n det(A) (NB : seuls ces coefficients sont à connaître)
Expression de Tr(A) et det(A) quand le polynôme caractéristique est scindé.
Encadrement 1 ≤ dim Eλ(A) ≤ m(λ). Théorème de Cayley-Hamilton
2) Endomorphismes diagonalisable. Caractérisations :
- Il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale.
- il existe une base de vecteurs propres
- E est la somme des SEP.
- la somme des dimensions des SEP est égale à celle de E.
- χ est scindé et m(λ) = dim Eλ pour tout λ∈ Spectre.
Matrice diagonalisable : semblable à une matrice diagonale
Condition suffisante : polynôme caractéristique scindé à racines simples.
Applications : puissances de matrices, suites récurrentes linéaires (résolution dans le cas où les valeurs propres
sont deux à deux distinctes).
Théorème : u est diagonalisable ssi il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples (et en particulier,
ssi le polynôme Q=(X-t1)…(X-t_p) où {t1,…tp}= spectre, est annulateur). Si F est stable par u et u
diagonalisable, alors l'endomorphisme induit sur F est diagonalisable.
3) Endomorphisme ou matrice trigonalisable. Théorème : u est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique
est scindé (en particulier, si K = C, tout endomorphisme est trigonalisable). Application aux suites récurrentes.
Compléments : matrices de Frobenius (ou compagnons)
Hors programme : polynôme minimal, lemme des noyaux, drapeaux, Dunford, réduction de Jordan.
Colle 12 (semaine du 12/12/2016)
cf. programme précédent.
Colle 13 (semaine du 2/01/2017)
Dénombrement :
Savoir reconnaître la situation : incompatibilité, conditionnement (et indépendance), mise en bijection. Formules
: 2^n (parties de n), n^p (applications de p dans n), n!/(n-p)! (injections de p dans n), n! (bijections de n dans n),
binôme (parties de p éléments parmi n), compléments : multinôme (anagrammes), applications croissantes de p
dans n.
Ensemble dénombrable, énumération. Les parties d'un ensemble dénombrable, produits cartésiens d'un nombre
fini d'ensembles au plus dénombrables, réunions d'une suite d'ensembles au plus dénombrables, sont au plus
dénombrables. Exemples : IN^p, Q. Exemples d'ensembles indénombrables : {0,1}^IN, IR, [0,1].
Probabilités :
Univers, tribu des événements. Evénement certain, impossible, contraire, évts incompatibles. Probabilité sur un
univers muni d'une tribu d'événements. Probabilité uniforme sur un univers fini. Probabilité de l'événement
contraire. Croissance, sous-additivité, continuité croissante et décroissante.
Probabilité conditionnelle. Système complet d'événements. Formule des Probabilités totales. Formule de Bayes.
Événements indépendants. Complémentaires d'événements indépendants. Familles finies d'événements
(mutuellement) indépendants.
Variables aléatoires discrètes X. Variable image f(X). Événements associés (X=x), (X ϵ U), etc Loi d'une
variable aléatoire x --> P(X=x). Condition d'exhaustivité de la loi (admis).
Colle 14 (semaine du 09/01/2017)
Probabilités (Programme précédent) +
Variables aléatoires réelles :
Fonction de répartition (cas de la loi géométrique).
Espérance. Lois classiques (U,B,G,P). Théorème de transfert (admis). Linéarité de E. Croissance, positivité de
E, inégalité de Markov. E(XY)=E(X)E(Y) qd X et Y sont indépendantes.
Colle 15 (semaine du 16/01/2017)
Lois finies classiques : loi uniforme UE, Modélisation (équiprobabilité)
1) Les lois de "comptage" ou dénombrement :
loi de Bernoulli B(p). Modélisation : fonction indicatrice d'un événement (succès/échec),
loi binomiale B(n,p). Modélisation (nombre de succès en n essais indépendants).
Loi hypergéométrique (en exemple.) : convergence vers la loi binomiale.
Loi de Poisson comme loi limite de binomiales. Modélisation (nombre de succès connaissant le nombre moyen).
2) Une loi de temps d'attente : la loi géométrique G(p). Modélisation (rang du 1er succès). Caractérisation
comme loi sans mémoire.
Couples de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales. Indépendance d'un couple, d'une famille finie de
variables aléatoires. Schéma de Bernoulli : S_n=X_1+...+X_n suit la loi binomiale B(n,p)
Existence (admise) sur tout espace probabilisé de suites infinies de variables de lois arbitraires (processus).
Indépendance. Processus de Bernoulli – lien avec la loi géométrique (rang du premier succès dans un processus
de Bernoulli). Exemple de processus géométrique indépendant : simulation à l'aide d'un processus de Bernoulli ;
loi du k-ème succès (loi binomiale négative). Exemple du collectionneur de vignettes. Loi d'une somme de
variables de Poisson indépendantes.
Fonction de répartition (cas de la loi géométrique).
Variance Koenig-Huygens. Ecart-type. Lois classiques. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Covariance. Variance
d'une somme. Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y)=0. Coefficient de corrélation rho. Interprétation de
rho=0, +1 et -1. Ajustement linéaire. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Loi faible des grands nombres.
Variables aléatoires entières : Expression et existence de E(X) à l'aide de la série P(X>n), n ≥ 0. Fonction
génératrice g. Loi de X donnée par g. Existence et existence de E(X) et V(X) à partir de l'existence de g'(1) et
g''(1). Fonction génératrice d'une somme de va indépendantes.
Remarques : La sommation "par paquets" (ou tout avatar de Fubini) n'est pas au programme de PSI. Les notions
de convergence en loi (ou en probabilité) sont hors programme. Les fonctions génératrices des lois usuelles ont
été calculées mais n'ont pas à être connues "par cœur".
TSVP
Colle 16 (semaine du 23/01/2017)
Convergence uniforme.
Norme ||f||∞. ("norme infinie"), propriétés (sous-additive, sous-multiplicative) Convergence uniforme d'une suite
ou d'une série de fonctions. Lien avec la convergence simple. La limite uniforme d'une suite de fonctions
bornées est bornée. La continuité passe à la limite uniforme. Théorème de la double limite (admis). Séries de
fonctions : convergence uniforme ssi la suite des restes converge uniformément (néct, vers 0). Utilisation du
CSSA pour la convergence uniforme de certaines séries. Convergence normale. Passage à la limite sous
l'intégrale en cas de CVU sur un segment (cas suites/séries). Th. d'intégration terme à terme si CVU sur un
segment. Th. de dérivation (suites et séries). Version locale. Extension aux cas C p et C∞. Application aux séries
entières.
Attention : la notion générale de norme et d'espace normé n'est pas au programme de cette colle, la norme
infinie n'intervient pour l'instant qu'en tant que notation. Les théorèmes de Weierstrass sont hors programme.
NB : Ce programme est l'occasion de révision des séries entières et des théorèmes de convergence dominée et
d'intégration terme à terme "L1".
Colle 17 (semaine du 30/01/2017)
cf. programme précédent
Colle 18 (semaine du 20/02/2017)
Espaces préhilbertiens réels et espaces euclidiens.
Produit scalaire réel. Produits scalaires usuels sur R^n, Mn(R), C([a,b]), R[X]. Norme
associée. Polarisation. Vecteurs orthogonaux, familles orthogonales, relation de Pythagore,
expression en base orthonormale des coordonnées, du produit scalaire, de la norme,
expression matricielle du produit scalaire. Représentation des formes linéaires à l'aide du
produit scalaire (vecteur normal à un hyperplan).
Matrices orthogonales (caractérisations, déterminant). Groupe orthogonal O(n), groupe
spécial orthogonal SO(n). Orientation d'un eve, produit mixte. Sous-espaces orthogonaux.
Orthogonal d’un sev, propriétés. S'il existe, le supplémentaire orthogonal de F est l'orthogonal
de F et F est l'orthogonal de F⊥ .
Projection orthogonale sur un sev F de dimension finie (expression à partir d'une BON de F).
Existence du supplémentaire orthogonal. Th. de la base orthonormale incomplète. Inégalité de
Bessel, inégalité de Cauchy-Schwarz (cas d'égalité), inégalité triangulaire (cas d'égalité),
procédé de Gram-Schmidt (interprétation matricielle : décomposition QR). Distance d’un
point à un sev.
Matrices de Gram, inégalité d’Hadamard, décomposition QR doivent être connus mais les
résultats les concernant doivent être redémontrés.
Isométries vectorielles (ou automorphisme orthogonal) d'un espace euclidien
Caractérisation par la conservation du produit scalaire, de la norme, des distances. Symétries
orthogonales, réflexions. Groupe orthogonal O(E). L'orthogonal d'un sev stable est stable. Les
SEPs sont orthogonaux. Valeurs propres. Les symétries orthogonales sont les isométries
diagonalisables. Caractérisation par l'image d'une BON, par la matrice dans une BON.
Déterminant. Groupe spécial SO(E) (ou groupe des rotations).
NB : la notion de groupe est hors programme en PSI. La notion générale de norme n'a pas
encore été étudiée.