IUT Belfort-Montbéliard (01/02) Département GTR Mathématiques
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IUT Belfort-Montbéliard (01/02) Département GTR Mathématiques Contrôle n◦ 4 Calculette, Formulaire bleu, Polycopiés sont autorisés TD NON 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières ci-dessous, puis étudier la nature de ces séries aux bords des intervales de convergence suivantes : ∞ n3 + n + 3 ∞ ∞ 1 P P P a. b. xn c. xn xn n+1 0 0 0 n! 2. Donner le développement en séries entières des fonctions suivantes : 1 b. f (x) = e−2x a. f (x) = 1 + x2 3. Calculer l’inverse des matrices suivantes : (Aucune restriction sur la méthode) 2 0 0 a. A1 = 0 −5 0 0 0 7 1 1 1 b. A2 = 1 1 0 1 0 0 4. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 1 2 −1 1 0 a. A1 = 4 3 −1 0 a 1 h 2 0 b. A2 = b c −1 0 5. En utilisant la méthode de Gauss résoudre le système suivant : + 2z = 1 x − y 2x + 12y + z = 5 3x − 12y + 8z = 1 6. Soit les matrices a. Calculer A2 ; 2 1 1 A= 1 2 1 1 1 2 1 0 0 I= 0 1 0 0 0 1 b. Montrer qu’il existe deux réels x et y tels que : A2 = xA + yI 1