Sujets de bac : Intégration

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Sujets de bac : Intégration
Sujet n°1 : Liban – juin 2006
Partie A : étude d’une fonction
Soit la fonction définie sur l’intervalle 0; ∞ par
ln 1
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est donnée en annexe.
1)
a. Montrer que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle 0; ∞.
b. L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe au point ?
2) On pose .
a. Déterminer trois réels , et tels que, pour tout 1,
!
1
1
b. Calculer .
3) À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aire #
de la partie du plan limitée par la courbe et les droites d’équations 0, 1 et $ 0.
4) Montrer que l’équation 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle 0; 1'. On note ( cette
solution. Donner un encadrement de ( d’amplitude 10)!.
Partie B : étude d’une suite
La suite *+ est définie sur , par *+ + ln 1 1) Déterminer le sens de variation de la suite *+ . La suite *+ converge-t-elle ?
2) Démontrer que pour tout entier naturel - non nul, 0 . *+ .
En déduire la limite de la suite *+ .
/0!
.
+
Sujet n°2 : Asie – 1998
Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Pour tout entier - strictement positif, on considère l’intégrale
2
+ 1 ln + 1)
2)
a. Démontrer que, pour tout dans 1; 3' et pour tout entier - de ,, on a ln + 4 ln + 5 0.
b. En déduire que la suite + est décroissante.
a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties.
b. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que, pour tout - 6 ,7 , on a + 3 4 - 1+
c. En déduire les valeurs de ! , 8 et 9 . Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de 3 et les
valeurs approchées à 10)8 près par défaut.
3)
a. Démontrer que pour tout - 6 ,7, + 5 0.
b. Démontrer que pour tout - 6 ,7, - 1+ . 3.
c. En déduire la limite de + .
d. Déterminer la valeur de -+ + + et en déduire la limite de -+ .
Sujet n°3 : Antilles Guyane – septembre 2001
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ; ; . On considère la fonction définie sur l’intervalle '0; ∞ par
43 4 ln 2ln !
On note ; sa courbe représentative.
Partie A – Etude de la fonction < et tracé de la courbe =.
1)
a. Résoudre dans '0; ∞ l’équation 0 (on pourra poser ln >).
b. Résoudre dans '0; ∞ l’inéquation ? 0.
2)
a. Déterminer les limites de en 0 et en ∞.
b. Calculer @ .
c. Etudier le sens de variations de et dresser son tableau de variations.
B
3) Déterminer une équation de la tangente A à la courbe ; au point d’abscisse 3 C .
4) On se propose d’étudier la position relative de la courbe ; par rapport à la droite A. Pour cela, on considère
la fonction D, définie sur '0; ∞ par
G
41
D 4 E43 )9 4 I
8
a. Montrer que D @ 9 /0 )
4
B
43 )C puis calculer DJJ.
b. Etudier le sens de variation de D @ sur '0; ∞.
En déduire que, pour tout appartenant à '0; ∞, on a D @ . 0.
B
c. Calculer D K3 C L. Pour tout appartenant à '0; ∞, déterminer le signe de D.
En déduire la position relative de la courbe ; par rapport à la droite A.
5) Tracer la courbe ; et la droite A (unité graphique 2 M).
Partie B – Calcul d’une aire
1) Vérifier que la fonction N, définie par O ln 4 est une primitive de la fonction P- sur '0; ∞.
Q
Q
2
2
2) On pose R ln et ! R ln ! .
S
S
a. Calculer .
G Q
G
b. En utilisant une intégration par parties, montrer que ! 9 3 4 2.
Q
2
c. Calculer R . En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des points T; $ du plan
S
2
Q
tels que . . 3 et . $ . 0.
Soit la fonction définie sur 0; ∞ par
3 )!
Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.
Partie A
1) Dresser le tableau de variations de sur 0; ∞ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe
représentative.
2)
a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction et de la fonction logarithme
népérien ; on notera U cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solution de l’équation
ln sur 1; ∞
b. Montrer que la fonction Y définie sur Z
7 par
Y ln 4 est strictement croissante sur 1; ∞.
En déduire que l’équation ln admet une unique solution ( sur 1; ∞.
c. Déterminer à 10)8 près une valeur approchée de (.
Partie B
1) A l’aide d’une double intégration par parties, déterminer
8
1 ! 3 )! 2) On définit le solide [ obtenu par révolution autour de l’axe de la courbe d’équation $ pour
0 . . 3 dans le plan $ (repère orthonormal d’unité 4 cm). On rappelle que le volume \ du solide est
donné par
8
\ ] 1 '! a. Exprimer \ en fonction de .
b. Déterminer alors une valeur approchée à 1M8 près du volume du solide.
Sujet n°5 : Pondichéry – avril 2008
1) Soit la fonction définie sur 1; ∞ par _ ``
2 ^ )
et soit _ la fonction définie sur 1; ∞ par
a. Justifier que et _ sont bien définies sur1; ∞
b. Quelle relation existe-t-il entre _ et ?
c. Soit la courbe représentative de dans un repère orthonormal ; ; du plan. Interpréter en
termes d’aire le nombre _3.
2) On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre _3.
2 b^
a
.
2 ^ )
)2 b^
8
8
En déduire que 3 ln K1 4 2 Q L 4 ln K1 4 2L 4 ln1 4 3 ) Montrer que si 1 . . 3, alors ln K1 4 2L . ln1 4 3 ) . ln K1 4 2 Q L
8
8
En déduire un encadrement de ln1 4 3 ) puis de .
a. Montrer que pour tout réel ? 0,
b.
c.
d.
Correction sujet de bac : Intégration
Sujet n°1 : Liban – juin 2006
Partie A
1)
a. est le produit de deux fonctions dérivables sur '41; ∞ donc sur 0; ∞ donc est dérivable sur
0; ∞ et @ ln 1 Pour 5 0, 1 5 1 et donc ln 1 5 ln1 car la fonction P- est strictement croissante sur '0; ∞ d’où
ln 1 5 0. De plus 5 0 et 1 5 0 donc 5 0. Ceci montre que @ 5 0 pour tout 5 0.
La fonction est donc croissante sur 0; ∞. On pouvait aussi raisonner en utilisant le fait que est le produit de
deux fonctions croissantes sur 0; ∞ et positives.
b. Déterminons l’équation de la tangente à au point d’abscisse 0. Cette équation est donnée par
$ @ 0 4 0 0 or @ 0 ln1 0 0 et 0 0 donc l’équation de la tangente est $ 0.
C’est donc bien l’axe des abscisses qui est tangente à la courbe de au point d’abscisse .
2)
a. Pour 41 :
1 1 ! 1
1
1
1
1
Par identification avec , on obtient c 0d ou encore c 41.d
0
1
Donc
4 1 b. K 4 1 L e! ! 4 ln| 1|g
1
1
4 1 ln2 4 0 4 0 ln1 4 ln2
2
2
3) La fonction est positive sur 0; 1' car 0 0 et la fonction est croissante sur 0; ∞. Donc l’aire, en
unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe et les droites d’équation 0, 1 et $ 0 est égale
à .
On considère deux fonctions * et h dérivables sur 0; 1' telles que * ln 1 et h @ .
Alors on peut choisir h ! ! et on a *@ .
i 1 1 *h @ *h' 4 1 *@ h
d'après l'intégration par parties
1
1
1
1
1
1
1
1
u ! ln 1v 4 1 ! a
ln2 4 ln2 4 E4 ln2I
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1 1
1
ln2 4 ln2 2
4 2
4
4) On peut utilise le théorème des valeurs intermédiaires sur 0; 1' pour la fonction qui est continue et
croissante ou alors utiliser le fait que 0,25 est la valeur moyenne de sur 0; 1' et que la valeur moyenne est
atteinte par .
Grâce à la calculatrice, on trouve : 0,56 . ( . 0,57
Partie B
1) Pour - 6 , :
*+ 4 *+ 1 + ln 1 4 1 + ln 1 1 + ln 1 4 + ln 1'
1 + 4 1 ln 1 Or, sur 0; 1', + est positif, ln 1 est également positif et 1 4 est négatif donc + 4 1 ln 1 . 0.
Par croissance de l’intégrale : *+ 4 *+ . 0 et donc *+ est décroissante.
*+ est minorée par 0 car + ln 1 est positif sur 0; 1' et par positivité de l’intégrale, donc *+ est une suite
décroissante et minorée donc elle converge.
2) Pour - 6 ,7 :
0 . . 1 y 1 . 1 . 2 y ln1 . ln 1 . ln2 car la fonction P- est strictement croissante sur '0; ∞
Comme + est positif, on a 0 . + ln 1 . + ln2.
Par croissance de l’intégrale : 0 . + ln 1 . + ln2 Or + ln2 ln2 e
+ g ln2 a +
Donc 0 . *+ .
lim
/0!
+
ln2
0 donc par le théorème des gendarmes
1
+{| -
lim *+ 0
+{|
Sujet n°2 : Asie – 1998
1)
a. La fonction P- est croissante sur 1; 3' donc pour tout 6 1; 3', ln1 . ln . ln3 ou encore
0 . ln . 1. Pour tout entier naturel -, on a donc ln + 5 ln + ou encore ln + 4 ln + 5 0
b. Pour tout entier - strictement positif et pour tout 6 1; 3', ln + 5 ln + .
Par croissance de l’intégrale, on a donc
2
2
1 ln + 5 1 ln + ou encore + 5 +
Ceci montre que + est une suite décroissante.
2)
a. On considère deux fonctions * et h dérivables sur 1; 3' telles que * ln et h @ 1 . Alors
*@ et on peut choisir h .
2
2
2
2
1
1 ln *h'2 4 1 *@ h ln'2 4 1 a 3 4 1 3 4 3 4 1 1
7
b. Pour - 6 , , on considère deux fonctions * et h dérivables sur 1; 3' telles que * ln + et
h @ 1. On a alors *@ - 1 a a ln + et on peut choisir h . On a alors :
2
2
2
+ 1 *h @ *h'2 4 1 *@ h ln + '2 4 1 - 1ln + D’où + 3 4 - 1+
c. ! 3 4 2 3 4 2 0,718
8 3 4 3! 3 4 33 4 2 6 4 23 0,563
9 3 4 48 3 4 46 4 23 93 4 24 0,465
3)
a. A la première question, nous avons montré que ln 5 0 pour 6 1; 3'. Par positivité de
2
l’intégrale, nous avons donc ln + 5 0 ou encore + 5 0 .
b. Comme pour tout entier - de ,7 on a + 5 0, nous avons aussi + 5 0. Or + 3 4 - 1+
donc 3 4 - 1+ 5 0 ce qui signifie que - 1+ . 3
c. Pour - 6 ,7 , on a 0 . + .
2
+
(car - 1 est positif).
3
lim
0 donc par encadrement lim + 0
+{| - 1
0{|
d. Pour - 6 ,7 :
-+ + + - 1+ + 3 et de plus
lim + + 0 donc lim -+ 3
+{|
0{|
Sujet n°3 : Antilles Guyane – septembre2001
Partie A
1)
a. On pose > ln donc
43 4 > 2> ! 0d
0 y 43 4 ln 2ln ! 0 y
> ln
Pour l’équation du second degré : Δ 41! 4 4 a 2 a 43 25 donc l’équation a deux solutions
> G
9
8
! et >! 0 y ln Q
)G
9
41
8
3
ou ln 41 y 3 ! ou 3 )
2
Finalement 3 ; 2
8
b. 43 4 > 2> ! ? 0 y > 41 ou > ? ! donc
8
3
? 0 y ln 41 ou ln ? y 3 ) ou ? 3 !
2
Q
Donc g4∞; 2e g3 ; ∞e
2)
a. On pose > ln donc 43 4 > 2> ! .
lim > 4∞ et lim 43 4 > 2> ! lim 2> ! ∞ donc par composition lim ∞
{
{)|
{)|
!
lim > ∞ et lim 43 4 > 2> ∞ donc par composition
{|
{|
{
lim ∞
{|
b. est de la forme * 2h ! avec *: O 43 4 ln dérivable sur '0; ∞ et h: O ln dérivable
sur '0; ∞ donc est dérivable sur '0; ∞ et @ *@ 2 a 2h @ h d’où
1
1
4 ln 4 1
@ 4 4 a a ln '0;
c. Sur
∞ , est positif donc @ est du signe de 4 ln 4 1.
R
4 ln 4 1 ? 0 y ln ? 9 y ? 3 C d’où le tableau de variations de .
Signe de @ Variations de 0
∞
4
39
0
4
25
8
!
1
1 !
13 1
25
E3 9 I 43 4 ln E3 9 I 2 Eln 3 9 I 43 4 2 a E I 4 4
4
4
4 8
8
∞
∞
3) Une équation de la tangente à ; au point d’abscisse est : $ @ 4 .
B
C
Ici, 3 donc @ On obtient donc :
G
G
$ 43 )9 E 4 3 9 I 4
4)
B
9 /02 C )
B
2C
B
G
9
B
G
9
G !
9
K4 a 4 1L a 3 )C 43 )C et 43 4 K L 2 a K L 4
89

!G

4

G
G
9
9
41
43 )9 4 4 4 et donc $ 43 )9 4
8
8
8
a. D est la somme de deux fonctions dérivables sur '0; ∞ ( et une fonction affine) donc elle est
B
dérivable sur '0; ∞ et D @ @ 4 43 )C 9 /0 )
4
B
43 )C
De la même manière, D @ est dérivable sur '0; ∞ et :
1
4 a a 4 4 ln 4 1
5 4 4 ln @@ D
!
!
b. Sur '0; ∞, ! est positif donc D @@ est du signe de 5 4 4 ln .
G
5
5 4 4 ln ? 0 y ln y 3 9
4
0
Signe de D @@ Variation de D @
D
@
G
E3 9 I
5
4a441
G
39
∞
G
39
0
0
4
G
4 43 )9 0
B
DJ admet un maximum en 3 C et ce maximum est nul donc pour tout 6 '0; ∞, D @ . 0 .
B
G
G !
B
B
c. D K3 C L 43 4 K L 2 a K L 4 K43 )C a 3 C 4
9
9
9
L

Or, on sait que D @ est négatif sur '0; ∞ donc D est strictement
0
B
décroissante sur '0; ∞. Comme elle s’annule en 3 C , cela signifie
B
5
B
qu’elle est positive sur g0; 3 C e et négative sur g3 C ; ∞e.
4
B
On en déduit que ; est au dessus de A sur g0; 3 C e et que ; est en
3
B
dessous de A sur g3 C ; ∞e.
2
5) Graphique (voir ci-contre)
Partie B
1) N: O ln 4 est une fonction dérivable sur '0; ∞
avec N
@ 1 a ln a 4 1 ln 1 4 1 ln
Donc N est une primitive de la fonction P- sur '0; ∞.
2)
a.
1
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
Q
Q
8
1
1 ln N'2 N E3 ! I 4 N E I
3
2
2
8
3!
2
8
3
1
1
1 8 2
a 4 3 ! 4 a 41 3 ! 2
3
3
2
3
b. On considère deux fonctions * et h dérivables sur '0; ∞ telles que * ln ! et h @ 1
donc *@ Q
! /0
et h .
Q
Q
8
3 !
1
! 1 ln ! ln ! a ' 4 1 2 ln E I a 3 ! 4 41! a 4 2N'2
2
3
2
2
2
2
Q
2
2
2
9 8 1
1 8 2
5 8 5
3! 4 4 2 E 3! I 3! 4
4
3
2
3
4
3
c.
Q
Q
2
2
8
8
1
3 1 8 2 5 8 10
1 1 43 4 ln 2ln ! 43 E3 ! 4 I 4 2! 433 ! 4 3 ! 4 3 ! 4
3
3 2
3 2
3
2
8
43 !
9
4
3
2
Q
Sur e2 ; 3 g, est négative d’après la partie A, question 1b, donc l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe ;
Q
et les droites verticales d’équation 2 et 3 est égale à :
Q
2
8
i 4 1 3 ! 2
9
*. 3
Partie A
1) est le produit de deux fonctions dérivables sur 0; ∞ donc elle est dérivable sur 0; ∞ et
@ 3 )! 4 3 )! a 1 4 3 )!
L’exponentielle est toujours positive donc @ est du signe de 1 4 Signe de @ Variations de 0
0
3
1
0
4
∞
0
En 0 : 0 0
En ∞ : 3 )! 2 ^ a 3 !
lim
0 donc lim 0
{| 3 {|
Ceci montre que la droite d’équation $ 0 est une asymptote horizontale à la courbe de .
2)
a. Graphiquement, l’équation ln ne semble avoir qu’une solution sur 1; ∞ car les
courbes de et U ne semblent avoir qu’un unique point d’intersection.
b. Y ln 4 3 )!
Y est la différence entre deux fonctions dérivables sur 1; ∞ donc Y est dérivable sur 1; ∞ et
Y@ 4 1 4 3 )! Or 1 4 0 sur 1; ∞ donc 41 4 3 )! ? 0 sur 1; ∞.
De plus, ? 0 également donc par somme Y@ ? 0 sur 1; ∞ et donc Y est strictement croissante.
On pouvait aussi raisonner par somme de fonctions : la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
1; ∞, alors que la fonction est décroissante sur cet intervalle donc – est strictement croissante.
Y étant la somme de la fonction logarithme népérien et de la fonction – , elle est également croissante sur 1; ∞.
De plus Y1 ln1 4 1 0 4 3 43 0 et lim{| ln ∞ et lim{| 0 donc par
soustraction, lim{| Y ∞.
Y est continue car dérivable donc d’après le théorème de la bijection, l’équation Y 0 a une unique solution
dans 1; ∞ que nous noterons (.
c. ( 3,005
Partie B
8
1) ! 3 )! On considère deux fonctions * et h dérivables sur 0; 3' telles que *@ 3 )! et h ! .
alors * 4 3 )! et h @ 2.
!
8
8
8
1
1
1
1
u4 3 )! a ! v 4 1 4 3 )! a 2 4 3 ) a 9 a 1 a 0 1 3 )! 2
2
2
2
8
9 )
4 3 1 3 )! 2
Pour la seconde intégrale, on considère deux fonctions * et h dérivables telles que *@ 3 )! et h alors
* 4 ! 3 )! et h @ 1.
8
8
8
9
1
1
9
3
1 8
1 1
4 3 ) u4 3 )! a v 4 1 4 3 )! 4 3 ) 4 3 ) 1 3 )! 463 ) u4 3 )! v
2
2
2
2
2
2 2 2
)
1
1
1
4
253
463 ) 4 3 ) 4
4
4
2)
a.
8
8
8
8
\ ] 1 '! ] 1 ! 3 )! ! ] 1 ! 3 )!9 ] 1 ! 3 )! 3 9 ]3 9 b. \ ]3 a
9
)!G2 b
9
40,224*. h
Or une unité de volume est égale à 4 a 4 a 4 M8 soit 64 M8 donc \ 2574M8
Sujet n°5 : Pondichéry – avril 2008
1)
a. est le quotient de deux fonctions dérivables sur Z donc le dénominateur s’annule en 0 car
3 4 1 0 y 3 1 y ln1 y 0 donc est dérivable sur 1; ∞.
Donc est continue sur 1; ∞ ce qui montre que l’intégrale de sur 1; ' pour 5 1 est bien définie donc _ est
bien définie.
b. _ est la primitive de qui s’annule en 1.
En effet, en notant une primitive de , _ 4 1 donc _ @ @ donc _ est bien aussi
une primitive de . De plus, _1 1 4 1 0.
c. Sur 1; ∞ : est positif et 3 4 1 est également positif donc est positive.
Ceci montre que l’intégrale de sur 1; ' de la fonction est l’aire sous la courbe de . Plus précisément, _3 est
l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe de , l’axe des abscisses et les droites d’équations
1 et 3.
2)
a. Pour ? 0 :
)
3
3 a 3 )
a
a 1 4 3 )
3 1 4 3 ) 3 4 1
2 b^
b. On considère deux fonctions * et h dérivables sur 1; 3' telles que * et h @ )2 b^ alors
*@ 1 et h ln|1 4 3 ) | ln K1 4 2 ^ L (car hJ est de la forme
2 ^ )
donc 1 4 2 ^ 2 ^ ? 0.
En intégrant par parties :

avec 1 4 3 ) ) et de plus 3 ? 1
8
8
1 8
1
1
) Iv
4
1
ln1
4
3
3
ln
E1
4
I
4
ln
E1
4
I
4
1
ln1 4 3 ) 8
3
3
3
c. Pour 1 . . 3 :
41 5 4 5 43 et donc 3 ) 5 3 ) 5 3 )8 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur Z
8
1 u ln E1 4
Donc 1 4 3 ) . 1 4 3 ) . 1 4 3 )8 car la fonction O 1 4 est décroissante sur Z
Comme P- est croissant sur '0; ∞ et que 1 4 3 ) ? 0, alors ln K1 4 L . ln1 4 3 ) . ln K1 4
2
L
2Q
d. Par croissance de l’intégrale,
8
8
1
1
1 ln E1 4 I . 1 ln1 4 3 ) . 1 ln E1 4 8 I et donc
3
3
8
1
1
2 ln E1 4 I . 1 ln1 4 3 ) . 2 ln E1 4 8 I
3
3
On en déduit,
8
1
1
1
1
1
1
3 ln E1 4 8 I 4 ln E1 4 I 4 2 ln E1 4 8 I . 1 . 3 ln E1 4 8 I 4 ln E1 4 I 4 2 ln E1 4 I
3
3
3
3
3
3
8
1
1
1
1
ln E1 4 8 I 4 ln E1 4 I . 1 . 3 ln E1 4 8 I 4 3 ln E1 4 I
3
3
3
3
8