Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle
On considère la fonction définie sur par
Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002
1)
2)
3)
4)
5)
1
1
Etudier la parité de .
Montrer que pour tout , 1 1.
Déterminer les limites de en ∞ et en ∞. Donner l’interprétation graphique de ces limites.
Etudier les variations de et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de sur .
Soit un réel de l’intervalle 1; 1. Montrer que l’équation admet une unique solution sur .
On considère la fonction définie sur par :
Sujet 2 : Réunion – juin 2007
si 0
1
0 1
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal ; ; .
1.
a. Déterminer la limite de en ∞.
b. Etablir que, pour tout nombre réel non nul, on a 1 " # $!%.
En déduire la limite de en ∞.
!
2. Donner, sans démontrer, la limite de " # $! quand tend vers 0 et démontrer que est continue en 0.
3.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel , on a & 1 et que l’égalité n’a lieu que pour 0.
b. Calculer la dérivée ' de la fonction et déterminer la fonction ( telle que, pour tout nombre réel non nul, ) " # $!+.
" # *
c. Donner le tableau de variations de .
4. Soient un nombre réel non nul et les points ,-; . et ,) -
; . de la courbe .
a. Etablir que " # $! puis déterminer le coefficient directeur de la droite ,,) .
b. On admet que la fonction est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?
On considère la fonction définie sur par :
Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001
2 1 $
Et sa courbe représentative 1 dans le repère orthonormal ; ; (unité graphique : 2 cm).
Partie A : Etude de la fonction 2.
1)
a. Déterminer la limite de en ∞. Que peut-on en déduire pour 1 ?
b. Déterminer la limite de en ∞.
2) Calculer ) et étudier le signe de ' sur .
3) Dresser le tableau de variations de .
4)
a. Déterminer les coordonnées du point 3 d’intersection de 1 avec l’axe des abscisses.
b. Etudier le signe de suivant les valeurs de .
Partie B : Etude d’une tangente
1) On rappelle que '' désigne la dérivée seconde de .
a. Montrer que, pour tout réel , )) 42 1 $
b. Résoudre l’équation )) 0.
2) Soit 5 le point d’abscisse de la courbe 1 . Déterminer une équation de la tangente 6 à 1 en 5.
3) On veut étudier la position relative de 1 et 6. Pour cela, on considère la fonction ( définie sur par
2
3
( 7
9
a. Déterminer () et ()) .
b. Etudier le signe de ()) suivant les valeurs de .
En déduire le sens de variations de (' sur .
c. En déduire le signe de () puis le sens de variations de ( sur .
d. Déterminer alors le signe de ( suivant les valeurs de . Que peut-on en conclure sur la position
relative de 1 et 6 ?
4) Dans le repère ; ; , placer les points 3 et 5 puis tracer 6 et la courbe 1 .
!
On considère deux courbes ! et d’équations : et : 1 dans un repère du plan.
On va démontrer qu’il existe une unique tangente 6 commune aux deux courbes.
1) Sur le graphique ci-dessous, tracer approximativement une telle tangente. Lire graphiquement l’abscisse du
point de contact de cette tangente avec la courbe ! puis celle du point de contact avec .
2) On note ; et < deux réels quelconques, 3 le point de ! d’abscisse ; et 5 le point de d’abscisse <.
a. Déterminer une équation de la tangente 6= à ! au point 3.
b. Déterminer une équation de la tangente 6> à au point 5.
c. En déduire que les droites 6= et 6> sont confondues si et seulement si les réels ; et < sont solutions
@ 2<
du système ? @
; @ < 1
@ 2<
d. Montrer que ce système est équivalent à ? @
4; @ 4 @ 4 0
3) Nous allons démontrer que l’équation A B 4 4 4 0 a une unique solution dans . Pour
cela, on considère la fonction : D 4 4 4 définie sur .
a. Montrer que pour 0, 4 0 et que 4 1 0.
b. En déduire que A n’a pas de solutions dans ∞; 0.
c. Démontrer que est strictement croissante sur 0; ∞.
d. Démontrer que A a une unique solution dans 0; ∞. On note ; cette solution. Donner un
encadrement d’amplitude 10$ de ;.
4) On prend 3 le point d’abscisse ;. Déterminer un encadrement d’amplitude 10$! du réel < pour lequel les
droites 6= et 6> sont confondues.
Sujet 4 : Centres étrangers – juin 2010
8
7
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
Correction
1) est définie sur qui est symétrique par rapport à 0 et pour tout réel :
$ 1 $ 1 1
$
1 $ 1 1
Donc la fonction est impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
2) Pour :
Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002
1 1 et comme 1 est strictement positif, nous avons :
Par ailleurs, 1 " +# $!E" +# E!
" +# E!
" +# E! F 0 donc F 1.
" +#
" +# $!
" +# E!
1 autrement dit 1.
Finalement, pour tout réel , on a 1 1
3)
1
lim 0 et lim
1 donc par composition lim 1
I$J
IM 1
I$J
Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en ∞ d’équation : 1.
1
1 % 1 $
$
1
1 % 1 1
$
0 et lim
1 donc par composition lim 1
lim IEJ
IM 1 IEJ
Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en ∞ d’équation : 1.
U
4) est de la forme V avec W: D 1 dérivable sur et X: D 1 dérivable sur et qui ne s’annule
pas donc est dérivable sur et :
W) X WX ) 2 1 2 1
4 ) F0
1
1
X
Donc la fonction est strictement croissante sur .
De plus 0 0. On en déduit le tableau de variations et de signe de .
∞
0
∞
) Signe de 1
Variations de 0
1
Signe de 0
5) est dérivable sur donc continue sur . Grâce à l’étude précédente 1; 1 et comme est
strictement croissante, d’après le théorème de la bijection, tout élément de 1; 1 admet un unique antécédent
par . Donc pour tout 1; 1, l’équation a une unique solution dans .
Sujet 2 : Réunion – juin 2007
a. Quand tend vers ∞, on peut supposer que 0 :
lim 0
I$J
Y donc, par quotient lim 0
lim 1 1
I$J
1.
I$J
b. Pour 0 : 1 " # $!% lim ∞
IEJ
!
" # $!E!
" # $!
" # $! " #
] donc, par multiplication, lim ∞
1
IEJ
1
IEJ
IEJ
1
" # $!
2. D’après le cours, la limite de quand tend vers 0 est égale à 1 (utilisation de la dérivabilité de la
lim 1 ∞ donc lim 1 fonction exponentielle en 0) donc : lim^IM " # $! 1
Pour 0 : " # $! _ :
lim 1
IM 1
] donc, par multiplication, lim 1 0 donc est continue en 0
IM
lim M 1
IM
a. On considère la fonction ` définie sur par ` 1.
Par somme de fonctions dérivables sur , ` est dérivable sur et `) 1.
`) F 0 a 1 F 0 a F M a F 0
Donc ` est décroissante sur ∞; 0 et croissante sur 0; ∞ . ` admet donc un minimum en 0 qui est égal à
`0 M 0 1 0. Donc, pour tout réel, ` & 0 et ` 0 n’a lieu que pour 0.
Donc, pour tout réel , & 1 et l’égalité a lieu uniquement pour 0.
3.
b. est de la forme avec W: D dérivable sur et W) et X: D 1 dérivable
U
V
sur et s’annule en 0 donc est dérivable sur b et :
1 _ 1 (
) avec (: D 1 1
1
1
c. Sur b, F 0, 1 F 0 donc ' est du signe de (. Or d’après la question précédente,
( & 0.
Signe de ) Variations de ∞
0
0
1
∞
∞
a. Pour 0 :
$
$ _ $
$
1
1
1 1 _ Coefficient directeur de ,,) :
)
:d
:d 1 1
1 1
)
d d
2
2 1 21 2
b. On suppose que est dérivable en 0, donc la courbe de admet une tangente au point d’abscisse 0
de coefficient directeur ) 0. Or la droite ,,) est une sécante à la courbe de . Quand tend vers 0, la sécante
,,) tend vers la tangente à la courbe de au point d’abscisse 0. Les coefficients directeurs sont donc égaux.
4.
Finalement, ) 0 !
Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001
Partie A
1)
a. En ∞ : 2 $ $ : en posant e 2, on a e f f
lim e ∞
IEJ
Y donc par somme et composition lim 0
IEJ
lim e f 0 et lim f 0
fI$J
fI$J
On en déduit que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à 1 en ∞.
b. En ∞ :
lim 2 1 ∞
^I$J
lim 2 ∞
g par produit
I$J
Y par composition lim $ ∞
lim ∞
I$J
IEJ
lim ∞
I$J
2) est de la forme W _ V avec W: D 2 1 dérivable sur et X: D 2 dérivable sur donc est une
fonction dérivable sur et
) W) V W _ X ) V 2 $ 2 1 _ 2 $ 2 4 2 $ 4 $
L’exponentielle est strictement positive donc ) est du signe de 4, autrement dit positif sur $ et négatif sur
E .
3)
∞
0
∞
) Signe de 0
1
Variations de ∞
0
4)
a. L’axe des abscisses a pour équation : 0. Pour déterminer l’abscisse de 3, on doit résoudre
l’équation 0.
Pour ,
0 a 2 1 $ 0 a 2 1 0 car $ F 0
1
a
2
!
Le point 3 a donc pour coordonnées ; 0%
b. Surh
∞; h, est strictement croissante et admet 0 comme maximum donc est négative sur cet
!
Sur i
; ∞i, a pour maximum 1 et pour minimum 0 donc est positive sur cet intervalle.
!
intervalle.
Partie B
1)
a. ' est le produit d’une fonction polynôme et de la composée de la fonction exponentielle et d’une
fonction affine donc elle est dérivable sur et
)) 4 $ 4 _ 2 $ 4 8 $ 42 1 $
b. Pour )) 0 a 42 1 $ 0 a 2 1 0 car $ F 0
1
1
a
donc k l m
2
2
2) L’équation de la tangente à la courbe de 1 au point d’abscisse est : ) % % % or
!
!
1
1
2
1
1
2
) 7 9 4 _ $_ 2 $! et 7 9 72 _ 19 $_ d'où
2
2
2
2
2
1
2
2
1 2
2
3
: 7 9 et donc l'équation est : 2
3)
a. ( est la différence entre une fonction dérivable sur et une fonction affine dérivable sur donc (
est dérivable sur et () ) "
g’ est dérivable également sur et ()) )) 42 1 $
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur donc ()) est du signe de 2 1.
1
∞
∞
2
Signe de ()) 0
!
Variations de ('
!
) %
( !
0
1
2
2
2
) 7 9 0
2
c. (' a donc comme minimum 0 ce qui indique que (' est positive sur .
∞
∞
Signe de () Variations de (
!
!
d. En , ( s’annule car c’est l’abscisse du point d’intersection de 1 et de sa tangente 6. Donc ( est
!
négative sur h
∞; h et positive sur i ; ∞i. On en déduit que sur h
∞; h, 1 est en dessous de 6 et sur i ; ∞ i,
1 est au dessus de 6.
4)
!
!
!
!
1
B
A
-1
0
1
2
3
-1
5
1) Graphiquement, on lit ; q 1 et < q 1
2)
4
a. ! a pour équation : . C’est la courbe de la fonction
: D dérivable sur . Une équation de la tangente à ! au point d’abscisse
3
; est : ) ; ; ; soit : @ ; @ ou encore
2
: @ ; @ @
b. a pour équation : 1. C’est la courbe de la fonction
1
(: D 1 dérivable sur avec () 2. Une équation de la
tangente à au point d’abscisse < est : () < < (< soit
-3
-2
-1
0
1
2
3
: 2< < < 1 ou encore : 2< < 1
-1
c. Les droites 6= et 6> sont confondues si et seulement si elles
-2
sont les mêmes coefficients directeurs et les mêmes ordonnées à l’origine
@ 2<
autrement dit si ?
-3
; @ @ < 1
d.
-4
@
@ 2<
2<
@ 2<
a
at
-5
@
@
?
@
@
@
@
; r
s 1
; < 1
@ ; @ 1
2
4
@
2<
a ? @
4 @ 4; @ 4 0
3)
a. Pour 0, on a 2 0 et donc M car la fonction exponentielle est croissante et donc
1 ce qui signifie que 4 0 .
Par ailleurs, 4 est positif car l’exponentielle est toujours positive et comme 1 0, on a bien 4 1 0
b. Pour 0, 4 4 4 4 4 1
est donc la somme de deux termes strictement négatifs donc est strictement négatif et l’équation 0 n’a
pas de solutions dans ∞; 0.
c. Sur 0; ∞, est une fonction dérivable et ) 2 4 4 4 2 4 .
Tout est strictement positif donc ' est positive et la fonction est strictement croissante sur 0; ∞.
d. Sur 0; ∞, la fonction est continue car dérivable, strictement croissante et 0; ∞ 7; ∞ car 0 7 et
lim 4 ∞ ; lim 4 4 lim 4 1 ∞donc par somme lim ∞
Sujet 4 : Centres étrangers – juin 2010
IEJ
IEJ
IEJ
IEJ
Donc d’après le théorème de la bijection, l’équation 0 a une unique solution dans 0; ∞.
Grâce à la calculatrice, on obtient, 0,84 v ; v 0,85
4) 6= et 6> sont confondues donc la seule valeur possible pour ; est la valeur définie à la question précédente
et on a 0,84 v ; v 0,85. De plus, on a alors @ 2< ou encore < .
0,84 v ; v 0,85 a M,yz v @ v M,y{ car la fonction exponentielle est strictement croissante.
a
" |,}~
&<&
" |,}
car la fonction D est décroissante sur "x
Par application numérique, on trouve : 1,17 v < v 1,15 soit 1,2 v < v 1,1