Exponentielle et méthode d`Euler

Exponentielle et méthode d'Euler
Approche de la fonction exponentielle
On recherche une fonction f telle que f ' = f et f (0) = 1.
On admet que :
• une telle fonction existe,
• on ne peut pas la trouver en utilisant les fonctions usuelles (polynômes, racines carrées, valeur
absolue, etc...).
Nous allons essayer de tracer sa courbe représentative sur [0 ; 1] par la méthode d'Euler qui consiste
à utiliser l'approximation f (a + h) ⋲ f (a) + hf '(a); on confond la courbe et sa tangente sur le petit
intervalle [a; a + h]. L'idée est donc de remplacer la courbe par une suite de petits segments.
Dans notre cas, f '(a) = f (a), d'où f (a + h) ⋲ f (a)(1 + h).
On choisit h = 0,1 et on complète le tableau suivant :
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
x
0
0,1
1
f(x)
1
1,1 1,21 1,33 1,46 1,61 1,77 1,95 2,14 2,36 2,59
On a calculé :
f (0,1)⋲f (0)×1,1=1×1,1=1,1
f (0,2)⋲f (0,1)×1,1⋲1,1×1,1=1,21
f (0,3)⋲f (0,2)×1,1⋲1,21×1,1=1,331
etc...
On a utilisé l'approximation f (a + nh) ⋲ f (a)(1 + h)n, c'est à dire si a = 0, f (nh) ⋲ (1 + h)n.
Ceci nous donne la représentation graphique suivante :
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
1
Remarques
• il s'agit d'une double approximation : on utilise une formule approchée et dans cette formule
des valeurs approchées.
• cependant, plus la valeur de h est petite, plus on s'approche de la courbe cherchée
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2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
La figure montre l'évolution du résultat obtenu en prenant h = 0,2, puis h = 0,1 et h = 0,05.
A chaque fois le dernier point nous donne une approximation de exp(1).
Calcul de e
Nous avons vu que exp(nh) ⋲ (1 + h)n. En prenant h=

1
1
, on obtient exp(1) ⋲ 1 
n
n

1
Nous allons démontrer que la suite définie, pour n > 0, par u n = 1 
n
vers exp(1), c'est à dire le nombre e.

n


b) Déduire de l'inégalité (I2) que e  1 1
n
3- Une suite qui converge vers e

n1

1
un est la suite définie pour tout entier n > 0 par un = 1 
n
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
n
.
.
converge effectivement
1- Encadrement de ex
a)  est la fonction définie sur ℝ par (x) = ex – (1 + x). Etudier ses variations.
b) En déduire que pour tout réel x, 1 + x  ex (I1).
1
c) A partir de l'inégalité (I1), démontrer que pour tout réel x < 1, ex 
(I2).
1−x
2- Un encadrement du nombre e
n désigne un entier naturel non nul.
n
1
a) Déduire de l'inégalité (I1) que 1 
 e.
n


n
a) Démontrer que pour tout entier n  1, 0  e – un 
4
n
b) En déduire que la suite un converge vers e.
c) Evaluation de e en calculant un pour n = 10, 100, 1000, ...
n
Un
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
En fait on a e⋲2,718281828 .
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2,59374246
2,70481383
2,71692393
2,71814593
2,71826824
2,71828047
2,71828169