Un truc de banquier

Un truc de banquier
Partie A
On place un capital C0 avec intérêts composés au taux de 5%. On appelle Cn le capital
obtenu au bout de n années.
1) Démontrer que la suite Cn est une suite géométrique, puis exprimer Cn en fonction de C0
et de n.
Après n années le capital est Cn. A la fin de l'année n il est augmenté des 5%
d'intérêts, donc de 0,05Cn. Ainsi Cn+1=Cn+0,05Cn=1,05Cn. Ceci montre que la
suite Cn est géométrique de raison 1,05.
n
On en déduit que Cn=C0.1,05 .
2. a) A l'aide d'un tableur, construire un tableau à 2 colonnes donnant le capital Cn obtenu au
bout de n années, pour n allant de 0 à 50 et pour C0=1000€. Combien faut-il d'années pour
que le capital dépasse 2000€ ?
b) En modifiant C0 indiquer combien il faut d'années pour que le capital passe de 500€ à
1000€, puis de 1600€ à 3200€, et de 150€ à 300€ ?
c) Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats précédents ?
On constate à chaque fois que le capital double après 15 ans : à la fin de l'année
14 ou au début de l'année 15.
3) En utilisant la fonction logarithme népérien déterminer à partir de quelle valeur de n on a
n
1,05 ≥ 2 ? Expliquer pourquoi la réponse à cette question confirme la conjecture précédente.
n
n
1,05 ≥ 2 ⇔ ln(1,05 ) ≥ ln(2) ⇔ nln(1,05) ≥ ln(2)
Comme ln(1,05) est positif, on en déduit que
, d'où n > 14.
Chercher le nombre d'années nécessaires au doublement du capital, revient à
n
chercher le premier entier n pour lequel Cn ≥ 2C0, soit C0.1,05 ≥ 2C0 et
n
finalement 1,05 ≥ 2.
On a donc montré que, quel que soit le capital initial C0 placé à 5%, il aura
doublé après 14 ans.
Partie B
Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital,
placé à intérêts composés, de la façon suivante :
"Si t est le taux d'intérêt (en %), le capital double au bout de
années."
1) Cette règle est-elle confirmée par les résultats de la partie A ?
1
Dans le cas d'intérêts au taux de 5% on obtient 70/5 = 14. Cela correspond aux
résultats de la partie A : le capital double à la fin de l'année 14.
2) Etablir, pour x ≥ 0, l'encadrement :
Soit f la fonction définie par f (x) = x - ln(1+x) pour x ≥ 0.
On a
. Comme x ≥ 0, f '(x) ≥ 0. La fonction f est donc
croissante et on a pour tout x ≥ 0, f (x)≥ f (0). Mais f (0)= 1-ln(1) = 0.
Finalement pour tout x ≥ 0, f (x) ≥ 0, donc x - ln(1+x) ≥ 0 et x ≥ ln(1+x).
On a ainsi montré la partie ln(1+x) ≤ x de la double inégalité.
pour x ≥ 0.
Soit g la fonction définie par
. Comme x ≥ 0, g'(x) ≤ 0. La fonction g est
On a
donc décroissante et on a pour tout x ≥ 0, g(x) ≤ g(0). Mais g(0)= 0.
Finalement pour tout x ≥ 0, g(x) ≤ 0, donc
et
.
pour x ≥ 0.
On peut donc conclure que
3) En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation ln(1+x) ≈ x.
En faisant l'approximation ln(1+x) ≈ x, on commet une erreur e(x)=x-ln(1+x).
Or nous avons vu que
, ce qui est équivalent à
. L'erreur e(x) est donc majorée par
.
Exemple : pour x = 0,05, en admettant que ln(1,05) ≈ 0,05, l'erreur commise est
inférieure à
.
4) On rappelle qu'au bout de n années de placement au taux t, la valeur d'un capital est
multipliée par
.
Justifier le calcul des banquiers pour les petites valeurs de t (t ≤ 14).
Pour que le capital soit doublé après n années, il faut que
est équivalent à
ou
, ce qui
.
En utilisant l'approximation ln(1+x) ≈ x, l'inégalité précédente devient :
2
soit
. Comme 100ln(2) est entre 69 et 70, on peut dire avec
les banquiers que le capital double
, pour les petites valeurs de
qui
justifient l'approximation ln(1+x) ≈ x.
5) Enoncer des règles analogues pour déterminer mentalement le temps au bout duquel un
capital triple, quintuple, décuple.
En utilisant le même raisonnement qu'au 4), on peut dire que :
- le capital triple pour
- le capital quintuple pour
- le capital décuple pour
, soit
, soit
, soit
.
.
.
3