ALGORITHME BABYLONIEN DE CALCUL D`UNE RACINE

ALGORITHME BABYLONIEN DE CALCUL D’UNE RACINE CARREE
1) Dans une tablette babylonienne célèbre ( Yale Collection n°7289 ) on peut lire ( après tanscription en
base 10, puisque l’original est rédigé en base 60 ) l’équivalent de : 2 = 1,414222 , valeur qui ne diffère
que de 0,000008 de la vraie valeur : 2 = 1,414213562... .
L’extraordinaire est qu’il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation !
Comment s’y sont-ils pris ?
2) Pour calculer a , par exemple 2 :
Prenons en une première approximation : a1 soit a1 = 1,6
a
2
Choisissons comme seconde approximation : b1 =
soit b1 =
= 1,25 .
a1
1,6
Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera
1
1
donnée par la moyenne : c1 = (a1 + b1 ) soit c1 = (1,6 + 1,25) = 1,425 .
2
2
Et on recommence en prenant la valeur c1 pour a1 . Cet algorithme à l’avantage de ‘’converger’’ très
vite.
3) Utilisez la méthode des Babyloniens pour calculer une approximation décimale à 10-5 près de
de 10 .
2 et
4) L’algorithme expliqué au 2) pour calculer a , que l’on appelle parfois algorithme de Héron ( Héron
d’Alexandrie, 1er siècle de notre ère ) car celui-ci l’a expliqué dans son principal ouvrage : ‘’les
métriques’’, peut se traduire par les formules :
a
a
a
1
1
1
x2 = ( x1 + )
x 3 = ( x2 + )
...
x n +1 = ( x n + )
x1
x2
xn
2
2
2
Nicolas Artavas de Rhabdas ( qui vivait en 1341 ) procédait, lui, selon la formule suivante :
x2 − a
xn +1 = xn − n
2 xn
C’est-à-dire qu’en choisissant une valeur approchée de départ : x1 ( par exemple pour calculer 3 , il
partait de x1=2 dont le carré est le plus voisin de 3 ) il calculait :
x12 − a
4−2 7
soit x2 = 2 −
=
x2 = x1 −
2 x1
4
4
x22 − a
puis x3 = x2 −
.
2 x2
Suivez cette méthode pour calculer 2 et 10 .
Comparez avec les différents résultats du 3).
Que remarquez-vous ?
( vous pourrez comparer les deux formules xn +1 =
1
a
x2 − a
( xn + ) et xn +1 = xn − n
)
2
xn
2 xn
a − xn2
5) Al-Karhi ( X siècle ) utilisait un autre algorithme : xn +1 = xn +
en partant d’une
2 xn + 1
e
approximation par défaut de a .
Refaîtes le calcul de 2 et 10 en suivant cet algorithme et compare avec les résultats précédents.