TD 1 - C. Holtzmann

TD1
Statistiques
Exercice 1: On joue n fois à pile ou face avec une pièce parfaite. On désigne par Xn
Exercices et Corrections
Recherche du modèle :
le nombre d'apparitions de pile et par Pn = Xn /n la proportion aléatoire associée.
1. On prend n = 15.
a) Calculer la probabilité pour que Xn soit supérieur ou égal à 13.
q
D'après les vérications précédentes, on est dans le cas où Pn ≈ N (p,
n −0.5
N (0.5, 0, 0456). En posant Z = P0,0456
, on a que Z ≈ N (0, 1).
p(1−p)
)
n
≈
Calculs :
0, 05 = p(|Pn − 0.5| < a) = p(|Z| <
Recherche du modèle :
a
)
0,0456
= 2φ(b) = 0, 95, où b =
a
.
0,0456
Alors
b = 1, 96 et a = 8, 95% .
Loi discrète, tirage avec remise. À chaque tirage, on a p = 1/2 chance de voir
apparaître la face pile. D'où Xn ∼ B(n, p) = B(15, 0.5) .
Calculs :
Exercice 2: On considère une variable X qui suit une loi B(n, p).
p(Xn > 13) = p(Xn = 13) + p(Xn = 14) + p(Xn = 15) = 0.37%
1. On prend n = 15 et p = 0, 6. Calculer p(8 6 X < 11).
b) Quelle est la plus petite valeur de k pour laquelle p(Xn > k) 6 α, si α = 5%,
puis si α = 15%.
Recherche du modèle :
Il est donnée : X ∼ B(15; 0, 6).
p(Xn > 12) = 1, 76%
p(Xn > 11) = 5, 92%
p(Xn > 10) = 15, 09%
Ainsi, si α = 5%, on a k = 12 . Si α = 15%, on a k = 11 .
Calculs :
p(8 6 X < 11) =
2. On prend n = 120.
a) Quelle est la probabilité pour que X120 soir supérieur ou égal à 70.
2. On prend n = 210 et p = 0, 4. Calculer p(80 6 X < 95).
n est trop grand pour faire un calcul à la main de la loi binomiale. On cherche à faire
une approximation. (On est donc dans la partie "approximation" des lois usuelles.)
Comme n = 120 > 20p
, np = 60 > 5,√n(1 − p) = 60 > 5, on a Xn ≈ N (µ, σ) où
n −60
µ = np = 60 et σ = np(1 − p) = 30. En posant Z = Xnσ−µ = X√
, on a
30
Z ≈ N (0; 1).
Recherche du modèle :
n est trop grand pour faire un calcul à la main. On cherche à faire une
approximation.
Comme n = 210 > 20p
, np = 84 > 5 et
σ) où
√ n(1 − p) = 126 > 5, on a X ≈ N (µ,
µ = np = 84 et σ = np(1 − p) = 50, 4 (∼
= 7, 0993). En posant Z = Xnσ−µ =
X
√n −84 , on a donc Z ≈ N (0, 1).
50,4
Calculs :
√
Sans correction de continuité : p(Xn > 70) ∼
) ∼
= p(Z > 70−60
= p(Z > 1, 826) =
30
0, 5 − φ(1, 826) = 3, 39%.
√
Avec correction de continuité : p(Xn > 70) ∼
)∼
= p(Xn > 69, 5) ∼
= p(Z > 69,5−60
=
30
Calculs :
√
√
Sans correction de continuité : p(80 6 X < 95) ∼
6 Z < 95−84
)
= p( 80−84
50,4
50,4
∼
p(−0, 563 6 Z < 1, 549) = φ(0, 563) + φ(1, 549) = 0, 2139 + 0, 4393 = 65, 32%.
Avec correction de continuité : p(80 6 X < 95) = p(80 6 X 6 94) = p(79, 5
√
√
X < 94, 5) ∼
6 Z < 94,5−84
) ∼
= p( 79,5−84
= p(−0, 634 6 Z < 1, 479)
126
126
φ(0, 634) + φ(1, 479) ∼
= 66, 7%.
p(Z > 1, 734) = 0, 5 − φ(1, 734) = 4, 14% .
Remarque :
La vraie valeur (calculée à l'aide d'un ordinateur) est p(X120 > 70) ∼
= 4, 12%.
b) Quelle est la valeur de k pour laquelle p(X120 > k) ∼
= 0, 05 ?
k−60
.
5,477
p(X = k) ∼
= 56, 96%
k=8
Recherche du modèle :
On pose z =
10
X
∼
=
6
=
Remarque :
Valeur réelle (utilisation de la loi binomiale à l'aide d'un ordinateur) : p(80 6 X <
95) = 66, 57%. Ici, (n = 210,) la correction de continuité n'est pas nécessaire.
Alors, p(Xn > k) = p(Z > z) = 0, 5 − φ(z) = 0, 05. D'où
z = 1, 645 et k = 69 .
3. On prend n = 100 et p = 0, 04. En utilisant une approximation de Poisson (à
c) Quelle est la valeur de a pour laquelle p(|P120 − 0, 5| < a) ∼
= 0, 95 ?
justier), calculer p(X > 4).
1
1. On prend n = 17. Quelle est la loi de probabilité de Sn et calculer p(10 6 Sn 6
Recherche du modèle :
13).
n est trop grand pour faire un calcul à la main. On cherche à faire une
approximation.
On a n = 100 > 20, mais np = 4 < 5. Comme p = 0, 04 = 4% < 10%, on a
X ≈ P(m) où m = np = 4.
Recherche du modèle :
Sn ∼ B(17; 0, 7).
Calculs :
Calculs :
La loi de Poisson est discrète, on ne fait donc pas de correction de continuité. On a
4
X
4k ∼
p[X > 4] = 1 − p(X 6 4) = e−4
= 1 − 0.6288 = 0.3712= 37, 12% .
k!
k=0
p(10 6 Sn 6 13) =
2. On prend n = 200. Calculer p(130 6 Sn 6 145).
L'échantillon est trop grand pour faire un calcul à la main. On cherche à faire une
approximation.
Comme n = 200 > 20, np
N (µ, σ)
p= 140 > 5 et√n(1 − p) = 60 > 5, on a X ≈ X
où µ = np = 140 et σ = np(1 − p) = 42(∼
= 6, 4807). En posant Z = nσ−µ =
Xn
√−140 , on a alors Z ≈ N (0; 1).
42
√
√
Sans correction de continuité : p(130 6 X 6 145) ∼
> Z 6 145−140
)∼
= p( 130−140
=
42
42
p(−1, 543 > Z < 0, 771) = φ(1, 543) + φ(0, 771) = 0, 4385 + 0, 2797 = 71, 82%.
Avec correction de continuité : p(130 6 X 6 145) = p(129, 5 6 X 6 145, 5) ∼
=
145,5−140
∼
√
√
p( 129,5−140
>
Z
6
)
p(−1,
620
>
Z
<
0,
849)
=
φ(1,
620)
+
φ(0,
849)
=
=
42
42
La vraie valeur (avec la loi binomiale) est d'environ 38, 8%.
Exercice 3:
1. À un péage, les véhicules arrivent suivant une loi de Poisson avec en moyenne
un véhicule toutes les 15 secondes. Calculer la probabilité pour qu'au moins six
véhicules arrivent au péage au bout d'une minute.
Recherche du modèle :
Soit X le nombre de véhicules aléatoire en une minute, alors X ∼ P(4).
On a donc p(X > 6) = 1 − p(X 6 5) = 1 − e−4
0, 4474 + 0, 3020 = 74, 94%.
5
X
4k ∼
= 1 − 0.7851 = 21, 49%.
k!
Remarque :
Valeur réelle (utilisation de la loi binomiale à l'aide d'un ordinateur) : p(130 6 X <
145) = 74, 69%.
k=0
2. On suppose que 2, 2% des être humains sont gauchers. Calculer la probabilité
3. On prend n = 1000. Trouver a tel que p(Sn < a) = 0, 05.
pour qu'au moins quatre personnes soient gauchères sur 200 personnes choisies
au hasard.
n est trop grand pour faire un calcul à la main. On cherche à faire une
approximation.
Comme n = 1000 > 20, np = 700 p
> 5 et n(1 − p) = 300 > 5, on a
√
X ∼ N (µ, σ) où µ = np = 700 et σ = np(1 − p) = 210(∼
= 14, 491). En pon −700
sant Z = Xnσ−µ = X√
,
on
a
Z
≈
N
(0;
1)
210
L'échantillon étant très grand, on n'est pas obligé de faire une correction de continuité.
Sans correction de continuité : 0, 05 ∼
= p[Sn < a] = p(Sn 6 a − 1) ∼
= p(Z < z)
(a−1)−µ ∼ (a−1)−700
où z =
= 14,491 . Donc z < 0 et φ(|z|) = 0, 45, d'où z = −1, 645 et
σ
∼ 676. D'où a = 677.
a − 1 = −1, 645 × 14, 491 + 700 = 676, 16 =
∼ p(Sn < a) = p(Sn 6 a − 1) = p(Sn 6
(Avec correction de continuité : 0, 05 =
∼ a−700,5 . Donc z < 0 et φ(|z|) = 0, 45, d'où
a − 0, 5) = p(Z < z) où z = a−µ
=
σ
14,491
∼ 677. D'où a = 677.)
z = −1, 645 et a = −1, 645 × 14, 491 + 700, 5 = 676, 66 =
Recherche du modèle :
Soit X le nombre aléatoire de gauchers sur 200 personnes. C'est l'équivalent d'un
tirage avec remise. Ainsi, X ∼ B(n; p), où n = 200 et p = 2, 2%. Comme np = 4 < 5
et p = 0, 02 < 0, 1, on approxime la loi de X par une loi de Poisson P(np) = P(4, 4).
Calculs :
p(X > 4) = 1 − p(X 6 3) = 1 − e−4,4
p(Sn = k) = 69, 35% .
k=10
Remarque :
Calculs :
13
X
3
X
(4, 4)k ∼
= 1 − 0.3594 = 64, 06%
k!
k=0
Exercice 4: En moyenne, 70% des enfants préfèrent un jeu collectif à un jeu indi-
viduel. On choisit au hasard (avec remise), un échantillon de n enfants. On désigne
par Sn le nombre d'enfants qui préfèrent un jeu collectif.
Recherche du modèle :
C'est un tirage sans remise. Ainsi, Sn ∼ B(n; p) où p = 0, 7.
2