Sujet de stage de Master 2 Recherche Reconstruction d`images

Sujet de stage de Master 2 Recherche
(traitement d’images, synthèse de Fourier, approximations parcimonieuses)
Reconstruction d’images radiointerférométriques
utilisant des représentations parcimonieuses
Le plus grand radiotélescope du monde a été officiellement inauguré en été 2010. Il s’agit de LOFAR (Low
Frequency Array, voir http ://www.lofar.org/, figure ci-dessous), un instrument qui combine électroniquement les
signaux de centaines d’antennes réparties sur des milliers de kilomètres à travers l’Europe pour former des images
aux longueurs d’ondes métriques. LOFAR ouvre la voie vers une nouvelle génération de grands interferomètres
radio et en particulier vers le futur radiotélescope géant SKA (Square Kilometer Array), un projet international
programmé pour les années 2020. Les grands radiotélescopes de nouvelle génération effectueront des observations
multi-fréquences de tout le ciel. Ils devraient permettre d’observer des objets aux structures complexes, comme
celle représentée en haut à droite de la figure ci-dessous. Le but de ce stage est de mettre au point et de comparer
un ensemble de méthodes de reconstruction d’ images en utilisant ce qu’on appelle en traitement du signal des
représentations parcimonieuses, car ces dernières semblent particulièrement adaptées à des images complexes
et n’ont quasiment pas été utilisées jusqu’à présent dans ce domaine.
Fig. 1 – Ligne du haut, gauche : illustration du placement des antennes de LOFAR (Nord-Ouest de l’Europe) ;
droite : image simulée d’un amas de galaxies contenant des galaxies ponctuelles et étendues, ainsi qu’une source
radio diffuse (crédit : M. Murgia). Ligne du bas, image de gauche : exemple d’image reconstruite par transformée
de Fourier inverse (”dirty map”) pour des données concernant une galaxie ; image de droite : image reconstruite
par une méthode parcimonieuse dans un dictionnaire constitué d’ondelettes et d’impulsions.
Récemment, la théorie des représentations parcimonieuses a donné lieu à de nombreuses avancées méthodologiques
en traitement du signal et des images. Le principe repose sur l’hypothèse qu’un ensemble d’observations (une
série temporelle, une image, un spectre,. . .) peut généralement être décrit par un nombre très réduit de paramètres définis dans un espace de représentation adéquat. On recherche alors à approximer les données par une
combinaison linéaire d’un faible nombre d’éléments pris dans un dictionnaire donné. L’ensemble des éléments du
dictionnaire définit alors le domaine de représentation, et une combinaison à faible nombre d’éléments constitue
une représentation parcimonieuse des données. Une telle représentation est généralement obtenue dans le cadre
de l’estimation non paramétrique, où l’estimateur est défini comme le minimiseur d’un critère composite : le
premier terme quantifie l’erreur entre un modèle donné et les observations, et le second favorise les modèles
parcimonieux en prenant des valeurs plus faibles pour les solutions possédant peu de coefficients.
En radiointerférométrie, les données se présentent sous la forme d’échantillons bruités de la transformée de
Fourier de l’image à reconstruire. La couverture dans le plan de Fourier est incomplète, et le problème est sousdéterminé. Dans ce contexte, les représentations parcimonieuses peuvent permettre d’identifier plus facilement
les structures géométriques présentes dans les données, comme l’illustre la figure ci-dessus. L’image de gauche,
ligne du bas, montre un exemple d’image reconstruite par transformée de Fourier inverse (supposant que toutes
les données manquantes sont nulles), aussi appelée ”dirty map”. Celle de droite montre l’image reconstruite en
cherchant quelles structures étendues (dans une base d’ondelettes) et quelle structures piquées (base d’impulsions) sont présentes dans les données. On voit qu’une approche dans une union de bases permet de préserver
les structures douces (de type ”nébuleuses”) mais permettant aussi localement l’addition de hautes fréquences
(structures de type ”étoiles” ou galaxies non résolues).
Dans ce contexte, l’objectif de ce stage est double. Une première partie consiste, à partir de jeux de données
simulées dans les conditions d’acquisition des instruments ci-dessus, à mieux définir les espaces de représentation
des données qui permettent de concentrer l’essentiel de l’information de sources astrophysiques complexes en
un faible nombre de points, tout en étant représentatives de la diversité des sources présentes.
Une seconde partie sera consacrée à la mise en œuvre algorithmique des méthodes de reconstruction. Deux
grandes familles de méthodes sont à envisager : les méthodes ”gloutonnes”, qui sont rapides, et les méthodes ”globales”, basées sur la formulation d’un critère à optimiser. L’optimisation pour les représentations parcimonieuses
est un domaine de recherche très productif, et il faudra dégager des algorithmes compatibles avec le volume de
données considéré, et les comparer. Il s’agira aussi de comparer les approches par analyse (où on suppose que
les images possèdent peu de coefficients significatifs une fois projetées dans les espaces de représentation) et
de synthèse (où on suppose que les images peuvent être synthétisées à partir de peu de coefficients significatifs
dans les espaces de représentation).
Ce stage, d’une durée d’environ 5 mois, aura lieu au laboratoire Fizeau de l’Observatoire de la Côte d’Azur
(Nice). Les encadrants sont D. Mary pour la partie traitement du signal et des images, et C. Ferrari pour la
partie astrophysique.
Le/la stagiaire doit avoir un intérêt marqué pour le traitement du signal et des images et de bonnes notions
dans ces domaines. La programmation se fera sous Matlab.
Plusieurs astronomes italiens et sud-africains travaillant à la mise au point des radiotélescopes nommés cidessus et à d’autres (ASKAP, MeerKAT) se sont d’ores-et-déjà montrés très intéressés par ces idées de recherche.
Des collaborations sont possibles avec eux. Une suite en thèse est envisageable.
N’hésitez pas à nous contacter pour toute question et pour de la documentation :
Encadrants :
David Mary, [email protected], 04 92 07 63 84
Chiara Ferrari, [email protected], 04 92 00 30 28
Laboratoires :
Fizeau / Observatoire de la Côte d’Azur
(équipe MATIS : http://fizeau.unice.fr/spip.php?article13)
Cassiopée / Observatoire de la Côte d’Azur
(http://cassiopee.oca.eu)