INDICE de RÉFRACTION et DEPENDANCE THERMIQUE: CTON

INDICE de RÉFRACTION et DEPENDANCE THERMIQUE: CTON,
FORMALISME VECTORIEL et MÉTHODOLOGIE d’ÉTUDE
Jacques MANGIN, Grégory GADRET
Institut Carnot de Bourgogne, UMR 5209 CNRS-Université de Bourgogne, 9 Av.
A. Savary,
BP 47 870, F-21078 Dijon Cedex, FRANCE;
• Objectif
• Méthodologie d’étude
- Méthode du prisme
- Interférométrie
• Approche théorique: coefficient thermo-optique normalisé
(CTON) et formalisme vectoriel
• Exemple d’application
• Conclusion
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CAEN, 11-12/09/2008
OBJECTIF
- Indice de réfraction n : paramètre fondamental de tout matériau optique
- Fonction de la longueur d’onde λ (dispersion) et de la température T
(coefficients thermo-optiques)
- Objectif: connaître n (λ,T) avec la meilleure précision possible sur tout
l’intervalle de transparence du matériau (∼ cinquième décimale)
- Points de départ:
• Représentation générale de la dispersion par équation de
Sellmeier:
n −1=
2
l
Γ iλ 2
i =1
λ 2 − λ i2
∑
où l’on considère la contribution d’un ensemble fini d’oscillateurs i,
de "force" ρi et de longueur d’onde de résonance λ i
• En général on dispose de n (λ,T0); Γi et λ i sont fonction de T,
qu’il s’agit de déterminer.
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METHODOLOGIE D’ETUDE
Mesure d’indice par méthode du prisme
- Minimum de déviation
A
Dm
sin
A + Dm
n =
sin
2
A
2
- Montage en Littrow
Face métallisée d’un
prisme à angle droit
TC
n=
Miroir parabolique
off-axis
sin(A + D)
sin A
D = θ 2 −θ1 − 180°
Source de lumière
SR
Platine de rotation
Détecteur
θ1, θ2
Monochromateur
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Détermination de la dépendance en température:
mesures angulaires de réfraction effectuées par paliers de température
ex. montage "CHARMS" de la NASA / Goddard Space Flight Center
15 K < T < 400 K et λ ? (0.5 µm – 6 µm)
détermination directe de n (λ,T)
complexité d’appareillage, homogénéité de température de
l’échantillon, difficulté pour assurer des conditions
thermodynamiques bien définies, absorption…
Faisceau
incident
Faisceau
émergent
Milieu
?absorbant?
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Imax
Absorption: perte de
symétrie sur le profil
transverse d’intensité
due à une épaisseur
optique inégale dans le
prisme aux deux limites
du faisceau
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- Précision indiquée dans les meilleurs cas (gros échantillons): ∼ qq. 10-5
dans le visible et qq. 10-4 dans l’IR.
Rq. 1 : pour un matériau donné, variations possible suivant le producteur,
le bain, l’homogénéité de l’échantillon…
Représentation de Sellmeier valide seulement pour l’échantillon
examiné
Rq. 2 : absorption résiduelle
incertitude additionnelle sur les mesures
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Mesures différentielles par interférométrie*
- Mesures absolues sous vide, sans plan de référence
Principe: mesure des variations d’épaisseur optique et d’expansion
thermique effectuées sur de petits échantillons et sur un intervalle de
température choisi ∆T
1 ∂ (nL )
1 ∂n
1 ∂L
=
+
nL
∂T
n ∂T
L ∂T
γ (λ,Τ)
β (λ,Τ)
α (Τ)
Coefficient de variation
d’épaisseur optique normalisé
Coefficient thermooptique normalisé
Thermocouple
Détecteur
Coefficient d’expansion
thermique linéaire
Faces optiques métallisées
Laser
Four
Interférométrie F-P à balayage thermique
Dilatométrie interférométrique absolue
*J. Mangin, P. Strimer, L. Lahlou-Kassi, Meas. Sci. Technol., 4, 826-834, (1993).
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- Fonctionnement: on applique une rampe de température linéaire à
l’échantillon et on enregistre dans les deux cas le nombre m de franges
d’interférences défilant devant le détecteur dans l’intervalle ∆T: m = p.λ/2
(ou p.λ/4 ) + k
Intérêts majeurs pour la précision:
- l’unité de mesure est une fraction de la longueur d’onde laser utilisée;
contraste des franges voisin de 100%.
- homogénéité de température
- absorption uniforme
- maîtrise aisée des conditions thermodynamiques
- enregistrement continu de α et γ en fonction de T (de – 200°C à + 250°C)
- mesures absolues (vide, pas de plan de référence)
Contraintes expérimentales
- faces optiques: planéité de λ/2 et parallélisme < 10’’ d’arc
- rampe de température: = 0.3°C/min.
- connaissance initiale de la dispersion n (λ) à une température fixe T0
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Dilatomètre interférométrique absolu: enceinte à vide, plateau thermostaté,
écrantage thermique et système optique.
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Dilatomètre: contrôle de température (cryogénie/four)
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Dilatomètre: échantillon et support en silice
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Mesure absolue des variations d’épaisseur optique: Interférométrie
de Fabry – Pérot à balayage thermique (méthode FPTSI)
- plusieurs λ
cellule de
mesure spécifique sous vide
- géométrie, parties
thermo/mécaniques et
environnement thermique de
l’échantillon identiques à ceux
du dilatomètre
- respect de conditions
thermodynamiques bien définies
(ex: champ électrique appliqué)
Incertitude sur les mesures:
environ qq. 10-7 K-1 sur α et γ
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∼10-6 K-1 sur le CTON β.
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Cas avantageux: FPTSI en réflexion et à modulation de phase*
Si matériau électro-optique: on peut moduler la phase Φ(T)
par application d’un champ électrique modulé approprié; on
observe alors la dérivée G (Φ ) de la fonction d’Airy R (Φ )
0.8
R(φ)
0.6
0.4
G(φ)
0.2
φ(rd)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
- Détermination simultanée des CTON et des coefficients électrooptiques
de la précision
*J. Mangin, G. Gadret, S. Fossier, and P. Strimer, IEEE J. Quantum Elect., 41, 1002-1006, (2005).
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ANALYSE: CONSIDERATIONS THEORIQUES*
- Coefficient thermo-optique normalisé**
On écrit la formule de Sellmeier sous la forme:
n
(T ) = A (T ) + ∑
i =1
(T )
− λ (T )
Γi
l
2
λ
2
2
i
valeur moyenne de n2 sur
la fenêtre de transparence
On pose
Bi (T ) =
Γi (T )
A(T )
déviation dispersive (petite) par
rapport à la valeur moyenne
(normalisation) et on a en première approximation:
Ln [ n ( T ) ] =
1
l
2
i =1
 Ln  A ( T )  + ∑
Bi (T )

2
2

λ − λi ( T ) 
Pour la dérivée logarithmique, on définit le
coefficient thermo-optique normalisé (CTON):
β λ (T ) =
1 d [ nλ (T ) ]
nλ
dT
*J. Mangin, G. Gadret, G. Mennerat, Proc. of the SPIE Conf. OSD 04, paper 7102-58, Glasgow, 2-5/09/2008.
**S. Fossier, S. Sala ün, J. Mangin & al., J. Opt. Soc. Am. B, 21, 1981-2007, (2004).
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- Formalisme vectoriel
hypothèses: - on se situe dans la fenêtre de transparence, suffisamment
loin des longueurs d’ondes de coupure UV et IR
- pas de transition de phase quand T varie
- pas de bande d’absorption dans cette fenêtre
1 dA(T)
+∑
On obtient: β(λ,T ) =
2A(T ) dT
i
dBi ( T )
Bi (T ) λi (T) dλi
1
+
∑i 2 2 2 dT
2 λ2 − λi2(T) dT
λ −λi (T )
- Les CTON mesurés peuvent toujours se mettre sous la forme:
m
β ( λ,T ) = c0 ( λ) + c1 ( λ ) T + ..... + c( λ) T = ∑cj ( λ) T j
m
0
identification
en posant
Bi (T ) λi (T ) '
1
1
X1 + ∑
X
+
X
i
∑
2 i ,
2
2
2
2
2A
λ
−
λ
T

i 2
(
)
i
λ − λi (T )
i


dλ
dB ( T )
dA ,
X1 =
Xi = i
et Xi' = i
dT
dT
dT
c j (λ ) =
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Si l est le nombre d’oscillateurs pris en compte dans l’équation de
Sellmeier, on doit résoudre un ensemble de (2l +1) équations
linéaires où les inconnues sont X1 et les X i et X’i
Résolution possible par simple formalisme vectoriel à
condition de connaître les cj (et donc les CTON) à (2l +1)
longueurs d’ondes; en général, l = 3 au maximum
En intégrant et on obtient l’équation de dispersion en fonction de
la température:
 m c (λ ) j + 1
j +1 
n (λ , T ) = n (λ , T0 ) exp  ∑ j
(T − T0 )  ;
 j= 0 j + 1

  m cj (λ) j+1 j+1  
n(λ ,T) ≅ n(λ,T0 ) 1+ ∑
(T − T0 ) 
j
+
1
j
=
0



Intérêt majeur: on a séparé la contribution thermique
(propre à la structure du composé) de la valeur « origine »
de l’indice (qui elle peut fluctuer d’un échantillon à l’autre)
Prédiction fiable de l’évolution thermique des
interactions ONL ∀λ ∈ à la fenêtre de transparence (cf.
accordabilité ou dérives spectrales d’OPO par exemple)
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EXEMPLE D’APPLICATION
Doublage à haute température 1,064 µm ? 0,532 µm dans KTiOPO4;
l’angle interne f d’accord de phase de type II dans le plan (X,Y)
dépend de la température.
- Classe de symétrie: orthorhombic mm2
trois indices principaux
2
- Formules de Sellmeier: ni = Ai +
@ 25°C on a (Cristal Laser):
Bi
λ − Ci
2
− Di λ
requis: CTON à quatre λ
2
Indice
A
B
C
D
nx
3.006700
0.039500
0.042510
0.012470
ny
3.031900
0.041520
0.045860
0.013370
nz
3.13400
0.056940
0.059410
0.016713
- Les CTON et les coefficients d’expansion thermique sont determinés
expérimentalement de 20°C à160°C; longueurs d’ondes
utilisées pour les CTON: 1.064, 0.6328, 0.528 and 0.4579 µm.
- Resultats ajustés par αi (resp. βi) = a0 + a1T + a2T2
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Coefficients (x 106 K-1)
αx
a0
7.41911
a1
0.01986
a2
-7.61 x 10-5
αy
9.63814
0.00040
3.52 x 10 -5
αz
βx @ λ (µm)
0.01402
0.00086
-2.42 x 10-5
1.064
2.8109
0.01110
0.6328
2.9696
0.01961
0.528
3.8901
0.02700
0.4579
βy @ λ (µm)
5.3254
0.02813
1.064
3.0829
0.02495
0.6328
4.6071
0.02431
0.528
5.7495
0.03495
0.4579
βz @ λ (µm)
7.5618
0.03913
1.064
5.2829
0.04333
0.6328
6.9450
0.06264
0.528
10.1258
0.06010
0.4579
12.9170
0.07284
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- Equations de dispersion en fonction de la température:
On applique le formalisme vectoriel et on a les CTON: 106 .β i ( λ , T ) = c0i ( λ ) + c1i ( λ ) T
avec
c0 ( λ ) = 2.128814 +
x
0.5038172
(λ
c1 ( λ ) = −0.083533 +
x
c0 ( λ ) = 12.27281 +
y
(λ
y
c0 ( λ ) = −21.09817 +
z
c1 ( λ ) = −0.503725 −
) (λ
− 0.04251
2
0.0187829
2
− 0.04586
2
(λ
) (λ
(λ
− 0.04586
4.314653
2
0.0287809
(λ
2
2
) (λ
)
− 0.04251
)
2
+
0.0028895
2
)
− 0.05941
)
− 0.05941
2
2
)
2
2
+ 0.020378.λ
− 1.002146.λ
2
− 0.04586
0.2456936
2
2
0.0021603
−
) (λ
− 0.05941
2
− 0.04586
−
+ 1.421574.λ
2
0.0016968
0.0820486
) (λ
− 0.05941
)
− 0.04251
2
−
+
0.02664153
2
0.364763
) (λ
λ − 0.04251
0.1091692
c1 ( λ ) = −0.1615496 +
z
(
+
for X
axis
2
− 0.049046.λ
+ 6.92536.λ
2
2
for Y
axis
2
− 0.074511.λ
2
for Z
axis
c1k ( λ ) 2 2 
k
nk (λ ,T ) = nk (λ, T0 ) exp c0 ( λ )(T −T0 ) +
(T − T0 )
2


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Vérification expérimentale des CTON: montage employé*
Z
Y
polariseur P
ϕ
four
X
I (ω)
laser Nd:YAG
L
KTiOPO4
modulateur
P//Z
prisme dispersif
I (2 ω)
TC
détecteur
A température ambiante: ϕ = 23.5°
*G. Mennerat, CEA/CESTA, Le Barp.
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Rendement de conversion en fonction de la température
Angle interne de propagation choisi dans le plan (X,Y) du cristal: ϕ = 24.5°;
épaisseur traversée: L = 5 mm.
1
Rendement de conversion
0.9
Mesures:
0.8
Calcul à partir des CTON :
0.7
0.6
sinc²(∆k.L/2)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
Température (°C)
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Angle interne d’accord de phase dans le plan (X,Y) vs température:
comparaison des mesures et modélisation avec travaux précédents
(ordre de grandeur des écarts des indices de réfraction: qq. 10-5)
Angle interne d’accord de phase ϕ [°]
25.5
Measurements, this work
12
calculations using Wiechmann
13
calculations using Kato
modeling from this work
25
∼52°C
24.5
24
23.5
23
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Température [°C]
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CONCLUSION
Détermination fiable du
comportement thermique des
indices de réfraction sur toute la
plage de transparence
• Mesures métrologiques des
CTON à quelques λ
+
Formalisme vectoriel
Particulièrement utile pour prédire (par exemple):
- l’accordabilité thermique ou la dérive spectrale des OPO’s
- les effets de focale thermique dans les matériaux laser
- les applications spatiales (cryogénie, écarts de température…)
• Validation complémentaire de la méthodologie:
- étude de l’évolution spectrale thermiquement induite dans des structures
QPM (ppSLT, ppKTP ….)
influence conjuguée de α(T) et des CTON
- dans certains cas où les λi peuvent avoir une signification physique (e.g.
halogénures alcalins)
vérification possible de
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X i' =
d λi
dT
obtenu par formalisme vectoriel
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