c`est peu impair, père

C’EST PEU IMPAIR, PÈRE !
énigme P2T de nodgim, 2016-02-17
réponse par masab
Pour un entier n ≥ 1 on notera α(n) le nombre de 1 dans l’écriture de n en base 2.
A partir de la définition de n!, on prouve facilement que le nombre de facteurs 2 dans n! est n − α(n).
Autrement dit
n! = 2n−α(n) an
avec an entier impair.
Soit un entier p, 0 ≤ p ≤ n. On a
Cnp =
n!
2n−α(n) an
= p−α(p)
p! (n − p)!
2
ap 2n−p−α(n−p) an−p
Cnp = 2α(p)+α(n−p)−α(n) × bn,p
avec bn,p entier impair.
On a donc
α(p) + α(n − p) ≥ α(n) .
Par suite
Cnp
est impair si et seulement si
α(p) + α(n − p) = α(n) .
D’où Cnp est impair si et seulement si l’écriture de n en base 2 n’a pas de chiffre 0 au même rang qu’un
chiffre 1 de l’ écriture de p en base 2.
Or 2016 s’écrit en base 2
2016 = 11111100000
p
est impair si et seulement si l’écriture de p en base 2 n’a pas de chiffre 1 aux
Soit 0 ≤ p ≤ 2016. Aors C2016
p
est impair si et seulement si p est divisible par 25 = 32.
rangs 1, 2, 3, 4, 5. Autrement dit C2016
De 0 = 32 × 0 à 2016 = 32 × 63 il y a 1 + 2016/32 = 64 multiples de 32.
p
Pour 1 ≤ p ≤ 2015, il y a finalement 62 combinaisons C2016
impaires.
32
k
Ce sont les combinaisons C2016 avec k entier, 1 ≤ k ≤ 62.