division euclidienne et schéma de Horner

e
Mathématiques, 3 niveau 1
Décomposition de polynômes (rappel)
A) Théorème de la division euclidienne
Théorème :
Le reste de la division euclidienne du polynôme P(x) par le polynôme (x - α) est égal à la valeur
numérique de ce polynôme pour x = α, c'est-à-dire P(α).
Corollaire :
Le polynôme P(x) est divisible par (x - α) si et seulement s'il s'annule pour x = α
(c'est-à-dire P(α) = 0)
P(α) = 0) ⇔ P(x) = (x - α).Q(x)
Exemple :
3
2
Soit P(x) = x + 3x - 14x + 8.
Essayons successivement les valeurs ±1, ±2, ±3 . . . .
1
1
1
1
-1
1
1
2
1
3
1
4
-14
4
10
8
10
18
3
-1
2
-14
-2
-16
8
16
24
3
2
5
-14
10
-4
8
-8
0
P(x) est donc divisible par (x - 2)
On peut alors écrire P(x) = (x - 2)·Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré deux que l'on peut déterminer
en effectuant, par exemple, la division de P(x) par (x - 2) et que l'on pourra factoriser (si son discriminant
est supérieur ou égal à zéro).
B) Division euclidienne et schéma de Horner
Le schéma de Horner, construit pour évaluer un polynôme P(x) au point α, ne donne pas seulement
P(α), reste de la division de P(x) par (x - α), mais aussi les coefficients du quotient de la division
euclidienne de P(x) par le polynôme (x - α)
Remarque :
Il est ainsi possible, d'utiliser le schéma de Horner pour diviser un polynôme P(x) par un polynôme du
type x - α. Le diviseur n'est pas un polynôme de n'importe quel degré.
3niv1_Annexe1_Division euclidienne, rappel
2009 - 2010
p.1
e
Mathématiques, 3 niveau 1
Exemple :
3
2
3
2
3
2
Soit P(x) = 2x + 5x - 6x + 4
et
α = -2, alors
2x + 5x - 6x + 4
x+2
2
-2x - 4x
_________________
2x + x – 8
2
x - 6x
2
-x - 2x
____________
-8x + 4
8x +16
________
20
Voici le schéma de Horner correspondant
2
5
-4
1
-2
2
3
-6
-2
-8
2
8
16
20
(
)
P(x) = 2x + 5x - 6x + 4 = ( x + 2) ⋅ 2x 2 + x − 8 + 20
C) Racines rationnelles
€
Jusqu'à présent, nous avons procédé par tâtonnement dans notre recherche des racines d'un polynôme. Il
existe cependant un moyen d'orienter la recherche dans le cas de polynômes à coefficients entiers.
Théorème
Soit P(x) un polynôme à coefficients entiers :
P(x) = an xn + an−1xn−1 + ...+ a 2 x 2 + a1x + a 0
avec aj ∈ Z;
p
si α =
est une racine de P(x), alors p est un diviseur de a0 et q un diviseur de an.
q
€
Remarque:
€ Ce théorème réduit de façon appréciable le nombre de racines rationnelles possibles d'un polynôme
donné (elles passent d'un nombre infini à un nombre fini !).
Exemple:
3
2
Les seules racines rationnelles possibles du polynôme P(x) = 2x + 5x - 6x + 3 sont, d'après le
théorème,
q
1
2
p
1
±1
1
±
2
3
±3
3
±
2
car a0 = 3 et Div3 = {1; 3} et a3 = 2 et Div2 = {1; 2}.
Corollaire :
€ = a xn€+ a xn−1 + ...+ a x 2 + a x + a
Si P(x)
n
n−1
2
1
0
3niv1_Annexe1_Division
euclidienne, rappel
€
avec aj ∈ Z et P(α) = 0, avec α =
2009 - 2010
€
p
, alors α = p.
q
p.2
e
Mathématiques, 3 niveau 1
Remarques :
1.
2
est une racine possible de l'équation
3
Le théorème précédent permet de dire que
4
2
9x - 5x + 8x + 4 = 0 puisque 2 divise 4 (a0) et 3 divise 9 (an). Cependant, il ne nous assure pas que
2
3
€
1
4
est une racine. Le théorème nous permet tout de même d'affirmer que, par exemple, ni
ni
sont des
2
5
€
racines de l'équation ci-dessus.
2.
Le théorème précédent permet de dresser la liste des racines rationnelles possibles
€
€ d'un polynôme à
coefficients entiers, mais ne dit rien à propos des racines irrationnelles.
3.
Le procédé général est le suivant :
- Il faut chercher d'abord les racines rationnelles possibles en utilisant le théorème précédent si aucune
mise en évidence n'est possible au préalable.
- Ayant déterminé les racines rationnelles possibles, il faut ensuite calculer P(α) en utilisant le schéma
de Horner et si P(α) = 0, alors α est une racine.
On peut alors diviser le polynôme de départ par x - α et en tâtonnant toujours, il est possible de répéter
le procédé au quotient devenu le nouveau dividende (le polynôme à diviser)
Exemple :
5
4
3
2
Trouver les racines rationnelles de : x + 2x - 18x - 8x + 41x + 30 = 0.
an = 1, donc toute racine
p
sera entière (q = 1). Les racines possibles de a0 = 30 sont :
q
± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30
Essai de 1:
1
€
1
1
Essai de 2:
1
2
1
2
1
3
-18
3
-15
-8
-15
-23
41
-23
18
2
2
4
-18
8
-10
-8
-20
-28
41
-56
-15
30
18
48
30
-30
0= R
2 est donc une racine de l'équation précédente et les racines restantes rationnelles (s'il en existe) seront
4
3
2
1
4
3
7
celles de l'équation réduite : x + 4x - 10x - 28x - 15 = 0. Ceci limite nos racines possibles puisqu'il ne
reste que : -1; ± 3; ± 5; ± 15.
Essai de 3:
3
1
-10
21
11
-28
33
5
-15
15
0=R
3 est donc une racine et les racines rationnelles restantes (s'il en existe) sont les racines rationnelles de
3
2
l'équation réduite : x + 7x + 11x + 5 = 0.
3niv1_Annexe1_Division euclidienne, rappel
2009 - 2010
p.3
e
Mathématiques, 3 niveau 1
Les racines encore possibles sont donc : -1; ±5
Essai de -1:
1
7
11
-1
1
5
-1
6
-6
5
-5
0=R
2
-1 est donc une racine, il reste x + 6x + 5 = 0 que l'on peut calculer aisément par décomposition.
2
x + 6x + 5 = (x + 5).(x + 1) = 0
Les racines sont donc : -1; -1; 2; 3; 5
S = {-1; 2; 3; 5}
D) Le Théorème fondamental de l'algèbre.
Théorème fondamental :
Tout polynôme se décompose en un produit de polynômes du premier degré et/ou du deuxième degré
à discriminant négatif.
Remarque 1:
Le résultat déjà obtenu en première année, à savoir que les polynômes du deuxième degré à
discriminant négatif ne sont pas factorisables, prend une autre dimension : ces polynômes sont les seuls
qui ne soient pas factorisables !
Remarque 2 :
Ce théorème nous renseigne sur l'existence d'une décomposition, mais il ne nous dit rien de la façon de
déterminer les différents termes de la décomposition d'un polynôme donné.
Corollaire 1 :
Un polynôme de degré n n'a pas plus de n racines.
3niv1_Annexe1_Division euclidienne, rappel
2009 - 2010
p.4