27 Continuité, dérivabilité des fonctions d`une variable réelle

27
Continuité, dérivabilité des fonctions
d’une variable réelle
Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles
ou complexes.
27.1
Continuité en un point, continuité sur I
Définition 27.1 On dit que la fonction f est continue au point a ∈ I si :
∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I ∩ ]a − η, a + η[ , |f (x) − f (a)| < ε.
(27.1)
Dans le cas des fonctions d’une variable réelle qui nous occupe, on peut aussi définir les
notions de continuité à gauche ou à droite.
Définition 27.2 On dit que la fonction est continue à gauche [resp. à droite ] au point a ∈ I
si pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que :
∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I ∩ ]a − η, a[ , |f (x) − f (a)| < ε
[resp. ∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ I ∩ ]a, a + η[ , |f (x) − f (a)| < ε]
Dans le cas où a est l’extrémité gauche [resp. droite] de I, on ne s’intéresse qu’à la continuité
à droite [resp. à gauche].
La fonction f est discontinue en a ∈ I si, et seulement si, l’une des deux situations suivantes
se produit :
– soit f n’a pas de limite à gauche ou à droite en a ;
– soit ces deux limites existent et l’une d’elles est distincte de f (a) .
Des définitions, on déduit immédiatement les résultats suivants.
Théorème 27.1 La fonction f est continue [resp. continue à gauche [resp. à droite]] au point
a ∈ I si, et seulement si, lim f (x) = f (a) [resp. lim− f (x) = f (a) [resp. lim+ f (x) = f (a)]].
x→a
x→a
x→a
Théorème 27.2 Si a est un point intérieur à l’intervalle I, alors la fonction f est continue
en a si, et seulement si, elle est continue à gauche et à droite en a.
Théorème 27.3 Si f est continue en a ∈ I, elle est alors bornée dans un voisinage de ce point.
699
700
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Le résultat précédent peut être utilisé pour montrer la discontinuité d’une fonction en un
1
point. Par exemple la fonction f définie sur R par f (0) = 0 et f (x) = pour x 6= 0 n’est pas
x
µ ¶
1
continue en 0, puisque pour tout réel M > 0, il existe un entier n ≥ 1 tel que f
= n > M.
n
Définition 27.3 On dit que la fonction f est continue sur I si elle est continue en tout point
de I.
Exercice 27.1 Montrer que, pour tout entier naturel n, la fonction f : x 7→ xn est continue
sur R.
Solution 27.1 Pour n = 0, f est la fonction constante égale à 1. La continuité d’une fonction
constante se vérifiant facilement (pour ε > 0 donné tout réel η > 0 convient).
Pour n ≥ 1, a ∈ R, on peut trouver un réel R > 0 tel que a ∈ ]−R, R[ et pour tout x ∈ ]−R, R[ ,
on a :
¯
¯
n−1
¯X
¯
¯
n
n
n−1−k k ¯
|x − a | = |x − a| ¯
x
a ¯ ≤ nRn−1 |x − a|
¯
¯
k=0
et pour ε > 0 donné, on aura |xn − an | < ε dès que |x − a| < η =
ε
.
nRn−1
1
Exercice 27.2 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, la fonction f : x 7→ x n est
continue sur R+,∗ .
¸
·
1
Solution 27.2 Pour n ≥ 1, a > 0, on peut trouver un réel R > 0 tel que a ∈
, R et pour
R
¸
·
1
tout x ∈
, R , on a : :
R
à n−1
!
¯³ 1 ´n ³ 1 ´n ¯ ¯ 1
¯ X
³ 1 ´n−1−k ³ 1 ´k
1
¯
¯
¯ ¯
|x − a| = ¯ x n − a n ¯ = ¯x n − a n ¯
xn
an
µ ¶ n−1
¯
1¯
1 n ¯¯ 1
n
n
≥n
¯x − a ¯
R
k=0
donc :
¯ 1 n−1
¯ 1
n−1
1¯
¯ n
¯x − a n ¯ ≤ R n |x − a| ≤ R n |x − a|
n
¯
¯
ε
1
1
¯
¯
et pour ε > 0 donné, on aura ¯x n − a n ¯ < ε dès que |x − a| < η = n−1 .
R n
µ ¶
1
Exercice 27.3 Montrer que la fonction définie sur R par f (0) = 0 et f (x) = cos
si
x
x 6= 0, n’est pas continue en 0.
Solution 27.3 Pour tout réel η > 0, on peut trouver un entier n ≥ 1 tel que x =
et on a |f (x) − f (0)| = 1, ce qui prouve la discontinuité de f en 0.
1
∈ ]−η, η[
nπ
Exercice 27.4 Montrer que la fonction caractéristique de Q définie par f (x) = 1 si x ∈ Q et
f (x) = 0 sinon est discontinue en tout point de R.
Continuité en un point, continuité sur I
701
Solution 27.4 Soit a un nombre rationnel [resp. irrationnel]. Pour tout réel η > 0, on peut
trouver un nombre irrationnel [resp. rationnel] x dans ]a − η, a + η[ et on a |f (x) − f (a)| = 1,
ce qui prouve la discontinuité de f en a.
Exercice 27.5 Montrer que la fonction définie sur R par f (x) = x si x ∈ Q et f (x) = 0
sinon est continue en 0 et discontinue en tout point de R∗ .
Solution 27.5 Soit a un nombre rationnel [resp. irrationnel] non nul. Pour tout réel η >
0, on peut trouver
un nombre ·irrationnel [resp. rationnel] x dans ]a − η, a + η[ [resp. dans
¸
|a|
|a|
|a|
]a − η, a + η[ ∩ a − , a +
] et on a |f (x) − f (a)| = |a| [resp. |f (x) − f (a)| = |x| >
]
2
2
2
ce qui prouve la discontinuité de f en a.
Pour ce qui est de la continuité en 0, il suffit de remarquer que pour tout ε > 0 la condition
|x| < η = ε entraîne |f (x) − f (0)| = |f (x)| < ε puisque f (x) vaut x ou 0.
Exercice 27.6 Soit n un entier naturel non nul. Étudier la continuité de la fonction an qui à
tout réel x appartenant à [0, 1] associe la n-ème décimale dans le développement décimal propre
si x ∈ [0, 1[ et 9 si x = 1 (pour x = 1 on utilise le développement décimal illimité impropre).
Solution 27.6 On rappelle que pour x ∈ ·[0, 1[ , on a ·an (x) = [10n x] − 10 [10n−1 x] . Pour tout
k k+1
entier k compris entre 0 et 10n − 1 et x ∈
,
, on a an (x) = k − 10 [10n−1 x] . De plus
10n 10n
avec :
£
¤
10 10n−1 x ≤ 10n x < k + 1
on déduit que
·
£
¤
£
¤
k
10n−1 x ≤
≤ 10n−1 x < 10n−1 x + 1
10
¸
k
et
= [10n−1 x] . La fonction an est donc constante (et en conséquence continue) sur
10
·
·
· ¸
k k+1
k
,
égale à k − 10
. Et avec
n
n
10
10
10
¶
·
¸
µ
· ¸
k+1
k+1
k
an
= k + 1 − 10
6= lim − an (x) = k − 10
,
n
10
10
10
x→( k+1
n)
10
k+1
on déduit que an est discontinue en tout point
où k est compris entre 0 et 10n − 2. Sur
10n
·
· n
10 − 1
, 1 , on a an (x) = 9 et an est continue en 1.
le dernier intervalle
10n
Définition 27.4 Si a est intérieur à I et si la fonction f est discontinue en a avec des limites
à droite et à gauche en ce point, on dit alors que f a une discontinuité de première espèce en a.
Le cas des fonctions monotones définies sur un intervalle ouvert (pour simplifier) est particulièrement intéressant.
Théorème 27.4 Si f est une fonction monotone de l’intervalle ouvert I dans R, alors f admet
une limite à gauche et droite en tout point. Dans le cas où f est croissante, on a pour tout
x∈I :
¡ ¢
¡ ¢
f x− = sup f (t) ≤ f (x) ≤ f x+ = inf f (t) .
a<t<x
De plus pour x < y dans I, on a f (x+ ) ≤ f (y − ) .
x<t<b
702
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Démonstration. Quitte à remplacer f par −f, on peut supposer f croissante.
Pour x ∈ I, l’ensemble A = {f (t) | a < t < x} est non vide majoré par f (x) , il admet donc
une borne supérieure µ = sup f (t) ≤ f (x) . Par définition de la borne supérieure, pour tout
a<t<x
réel ε > 0, il existe x0 ∈ ]a, x[ tel que µ − ε < f (x0 ) ≤ µ et avec la croissance de f, on a :
∀t ∈ ]x0 , x[ , µ − ε < f (x0 ) ≤ f (t) ≤ µ.
On a donc ainsi montré que µ = lim− f (t) = f (x− ) .
t→x
On procède de même pour l’existence de la limite à droite f (x+ ) .
Pour x < y dans I, on a :
¡ ¢
¡ ¢
f x+ = inf f (t) = inf f (t) , f y − = sup f (t) = sup f (t) ,
x<t<b
x<t<y
a<t<y
x<t<y
ce qui entraîne f (x+ ) ≤ f (y − ) .
Théorème 27.5 Si f est une fonction monotone d’un intervalle ouvert I dans R, alors l’ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.
Démonstration. Supposons f croissante et l’ensemble D des points de discontinuité de f
non vide.
Pour tout x ∈ D, on a f (x− ) < f (x+ ) et on peut trouver un rationnel r (x) ∈ ]f (x− ) , f (x+ )[ .
De plus pour x < y dans I avec f (x+ ) ≤ f (y − ) , on déduit que r (x) < r (y) . L’application r
définit donc une injection de D dans Q, il en résulte que D est dénombrable.
En général une fonction monotone f définie sur un intervalle I n’est pas nécessairement
continue, mais nous verrons plus loin que si de plus f (I) est un intervalle, alors elle est continue
(théorème 28.7).
1
Exemple 27.1 La fonction f définie sur [0, 1] par f (0) = 0 et f (x) = £ 1 ¤ est croissante avec
x
une infinité de points de discontinuité.
En fait, on peut montrer le résultat suivant.
Théorème 27.6 Si I est un intervalle ouvert, l’ensemble des points de discontinuité de première espèce de f est au plus dénombrable.
Démonstration. Voir [79], chapitre 4, exercice 17.
27.2
Définition séquentielle de la continuité en un point
Une définition équivalente de la continuité en un point est donnée par le résultat suivant.
Théorème 27.7 La fonction f est continue en a ∈ I si, et seulement si, pour toute suite
(xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a) .
Démonstration. Si f est continue en a ∈ I, alors pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel
que |x − a| < η dans I entraîne |f (x) − f (a)| < ε et si (xn )n∈N est une suite de points de I
qui converge vers a, il existe alors un entier n0 tel que |xn − a| < η pour tout n ≥ n0 , ce qui
implique |f (xn ) − f (a)| < ε. On a donc bien lim f (xn ) = f (a) .
n→+∞
Définition séquentielle de la continuité en un point
703
Pour la réciproque, on raisonne par l’absurde. Si f n’est pas continue en a, il existe un
1
réel ε > 0 tel que pour tout entier n ≥ 1 on peut trouver xn ∈ I tel que |xn − a| <
et
n
|f (xn ) − f (a)| ≥ ε. On a donc ainsi une suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a pour
laquelle la suite (f (xn ))n∈N ne converge pas vers f (a) .
En fait on a le résultat plus fin suivant.
Exercice 27.7 Montrer que f : I → C est continue en a ∈ I si, et seulement si, pour toute
suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N est convergente (sans
préciser que c’est vers f (a)).
Solution 27.7 On sait déjà que si f est continue en a alors pour toute suite (xn )n∈N de points
de I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a) .
Réciproquement supposons que pour toute suite (xn )n∈N de points de I qui converge vers a, la
suite (f (xn ))n∈N soit convergente. Pour montrer que f est continue en a, il suffit de montrer
que, dans ces conditions, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a) . Si (xn )n∈N est une suite
de points de I qui converge vers a, on définit la suite (yn )n∈N de points de I par y2n = x2n ,
y2n+1 = a, cette suite converge vers a, donc la suite (f (yn ))n∈N converge et on a :
f (a) = lim f (y2n+1 ) = lim f (y2n ) = lim f (x2n ) = lim f (xn ) .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Le théorème 27.7 est souvent utilisé pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en un
point.
Exercice 27.8 Montrer que la fonction f définie sur R par f (0) = 0 et f (x) = cos (ln (|x|))
si x 6= 0, n’est pas continue en 0.
Solution 27.8 Si (xn )n≥1 est la suite définie par xn = e−nπ pour n ≥ 1, on a lim xn = 0 et
la suite (f (xn ))n≥1 = (cos (nπ))n≥1 = ((−1)n )n≥1 est divergente.
n→+∞
Exercice 27.9 Soit f : ]0, 1[ → R la fonction définie par f (x) = 0 si x est irrationnel et par
1
p
f (x) =
si x =
est rationnel où p, q sont entiers naturels non nuls premiers entre eux.
q
q
Montrer que f est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel de
]0, 1[ .
p
Solution 27.9 Un rationnel r = ∈ ]0, 1[ ∩ Q est limite de la suite d’irrationnels (xn )n≥n0 =
q
Ã
√ !
2
r+
, où n0 est choisi assez grand pour que cette suite soit à valeurs dans ]0, 1[ , et
n
n≥n0
1
lim f (xn ) = 0 6= f (r) = . La fonction f n’est donc pas continue en ce point.
n→+∞
q
Soit ε > 0. Si a ∈ ]0, 1[ ∩ (R \ Q) et η > 0 est tel que ]a − η, a + η[ ⊂ ]0, 1[ , on note :
E = {x ∈ ]a − η, a + η[ | f (x) > ε} .
p
q
1
1
avec p, q premiers entre eux et f (r) =
> ε entraîne que E est vide ou que 1 ≤ q <
q
ε
1
(r est strictement compris entre 0 et 1). L’ensemble E est donc vide ou
et 1 ≤ p < q <
ε
0
fini. Pour 0 < η < η assez petit on aura alors E ∩ ]a − η 0 , a + η 0 [ = ∅, ce qui signifie que
0 ≤ f (x) ≤ ε pour tout x ∈ ]a − η 0 , a + η 0 [ . On a donc ainsi montré que f est continue en α.
Un élément de E est nécessairement rationnel (sinon f (x) = 0 < ε), il s’écrit donc r =
704
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Exercice 27.10 Soit f : R → R une fonction continue telle que f (ax + b) = f (x) pour tout
réel x, où a, b sont deux constantes réelles avec |a| 6= 1. Montrer que f est nécessairement
constante.
Solution 27.10 De f (ax + b) = f (x) , on déduit que :
f (a (ax + b) + b) = f (ax + b) = f (x) ,
soit :
¡
¢
f a2 x + b (a + 1) = f (x) .
Par récurrence, on montre alors que pour tout entier n ≥ 1 on a :
Ã
!
n−1
X
∀x ∈ R, f an x + b
ak = f (x) .
k=0
Le résultat est vrai pour n = 1 et en le supposant vrai au rang n ≥ 1, on a :
à Ã
!
!
Ã
!
n−1
n−1
X
X
f a an x + b
ak + b = f an x + b
ak = f (x)
k=0
avec :
Ã
a an x + b
k=0
n−1
X
!
ak
+ b = an+1 x + b
n
X
ak .
k=0
k=0
Comme |a| 6= 1, on peut écrire :
µ
∗
∀n ∈ N , ∀x ∈ R, f
an − 1
a x+b
a−1
n
¶
= f (x)
et pour |a| < 1, avec la continuité de f, on déduit que pour tout réel x on a :
µ
¶
µ
¶
b
an − 1
n
f (x) = lim f a x + b
=f
,
n→+∞
a−1
1−a
c’est-à-dire que f est constante.
Pour traiter le cas où |a| > 1, on peut remarquer, en faisant le changement
µ
¶de variable
1
b
t = ax + b, que la condition f (ax + b) = f (x) est équivalente à f (t) = f
t−
pour tout
a
a
¯ ¯
¯1¯
réel t avec ¯¯ ¯¯ < 1, ce qui entraîne que f est constante.
a
Une application importante du théorème 27.7 est le résultat de point fixe suivant.
Théorème 27.8 Si f : I → R est telle que f (I) ⊂ I et si la suite (xn )n∈N de points de I
définie par la donnée de x0 ∈ I et la relation de récurrence xn+1 = f (xn ) converge vers un
point α ∈ I en lequel la fonction f est continue, alors f (α) = α, c’est-à-dire que α est un point
fixe de f.
Une autre application importante du théorème 27.7 est le principe de prolongement des
identités [resp. des inégalités] : si f, g sont deux fonctions continues en tout point d’un intervalle
I et qui coïncident [resp. telles que f (x) ≤ g (x)] en tout point d’une partie D dense dans I
(par exemple les nombres rationnels ou les nombres décimaux), alors elle sont égales [resp.
f (x) ≤ g (x) pour tout x ∈ I].
Un exemple d’utilisation de ce principe est donné par le résultat suivant.
Prolongement par continuité
705
Exercice 27.11 Soit f : R → R vérifiant l’équation fonctionnelle de Cauchy :
∀ (x, y) ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y)
Montrer que si f est continue en un point, elle est alors continue en tout point et on a f (x) =
f (1) x pour tout réel x.
Solution 27.11 Si f est continue en α, en écrivant, pour tout réel x0 , que :
f (x0 + h) − f (x0 ) = f (h) = f (h + α) − f (α) ,
on déduit que f est continue en x0 .
On vérifie ensuite facilement que f (r) = f (1) r pour tout r ∈ Q et la densité de Q dans R
permet de conclure.
27.3
Prolongement par continuité
Si a est un réel adhérent à I et si f a une limite finie en ce point on peut alors prolonger f
par continuité en ce point. Précisément on a le résultat suivant.
Théorème 27.9 Si a est un réel adhérent à I n’appartenant pas à I (un point frontière) et si
la fonction f a une limite ` en a, il existe alors un unique prolongement de f à I ∪ {a} qui est
continu en a, ce prolongement est défini par fe(x) = f (x) si x ∈ I et fe(a) = `.
Démonstration. Il est clair que la fonction fe est un prolongement de f continu en a.
Réciproquement si g est un tel prolongement, on a g = f sur I et par continuité en a,
g (a) = x→a
lim g (x) = x→a
lim f (x) = ` = fe(a) . D’où l’unicité.
x6=a
x6=a
La fonction f définie par le théorème précédent est appelée le prolongement par continuité
de f en a. On le note souvent f au lieu de fe.
µ ¶
1
Exemple 27.2 La fonction f : x 7→ x sin
définie sur R∗ se prolonge par continuité en 0
x
en posant f (0) = 0.
Exemple 27.3 La fonction f : x 7→
posant f (0) = 1.
sin (x)
définie sur R∗ se prolonge par continuité en 0 en
x
µ ¶
1
Exemple 27.4 La fonction f : x 7→ sin
définie sur R∗ ne peut pas se prolonger par
x
continuité en 0 du fait qu’elle n’a pas de limite en ce point.
27.4
Continuité et opérations sur les fonctions
Les résultats relatifs à la continuité et les opérations usuelles sur les fonctions sont résumés
par le théorème qui suit.
Théorème 27.10 Soient f, g deux fonctions définies sur I, à valeurs réelles ou complexes et
continues en a ∈ I. Les fonctions |f | , f + g, f g, min (f, g) et max (f, g) (pour f, g à valeurs
réelles) sont continues en a.
706
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Démonstration. La continuité de |f | résulte de :
||f (x)| − |f (a)|| ≤ |f (x) − f (a)| → 0.
x→α
Pour la somme, la continuité se déduit de l’inégalité triangulaire :
|(f + g) (x) − (f + g) (a)| ≤ |f (x) − f (a)| + |g (x) − g (a)| → 0.
x→α
Pour le produit, la continuité se déduit de l’inégalité triangulaire et du fait que f (ou g) est
bornée au voisinage de a :
|(f g) (x) − (f g) (a)| ≤ |f (x)| |g (x) − g (a)| + |g (a)| |f (x) − f (a)|
≤ M |g (x) − g (a)| + |g (a)| |f (x) − f (a)| → 0,
x→α
où M est un majorant de |f | au voisinage de a.
Enfin la continuité de min (f, g) et max (f, g) , pour f, g réelles, se déduit de :

1

 min (f, g) = (f + g − |f − g|) ,
2

 max (f, g) = 1 (f + g + |f − g|) ,
2
f +g
est le milieu de l’intervalle [min (f, g) , max (f, g)] et |f − g| est sa longueur).
2
Avec la continuité de la fonction constante égale à 1 et de la fonction x 7→ x en tout point
de R, on en déduit la continuité des fonctions polynomiales.
Pour les quotients de fonctions continues, on a besoin du résultat suivant.
(
Lemme 27.1 Si f : I → C est continue en a ∈ I avec f (a) 6= 0, il existe alors un voisinage V
de a dans I tel que f (x) 6= 0 pour tout x ∈ V.
Démonstration. Comme f (a) 6= 0, on a |f (a)| > 0 et pour ε ∈ ]0, |f (a)|[ on peut trouver
un réel η > 0 tel que |x − a| < η dans I entraîne
||f (x)| − |f (a)|| ≤ |f (x) − f (a)| < ε
ce qui implique |f (x)| > |f (a)| − ε > 0 pour tout x dans ce voisinage.
Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, on a le résultat plus précis suivant qui est souvent
utilisé.
Lemme 27.2 Si f : I → R est continue en a ∈ I avec f (a) > 0 [resp. f (a) < 0], il existe
alors un voisinage V de a dans I tel que f (x) > 0 [resp. f (x) < 0] pour tout x ∈ V.
Démonstration. Supposons f (a) > 0. Pour ε ∈ ]0, f (a)[ on peut trouver un réel η > 0 tel
que |x − a| < η dans I entraîne |f (x) − f (a)| < ε, ce qui implique f (x) > f (a) − ε > 0 pour
tout x dans ce voisinage.
Théorème 27.11 Si f est continue en a ∈ I avec f (a) 6= 0, alors la fonction
dans un voisinage de a et est continue en ce point.
1
est définie
f
Propriétés globales des fonctions continues
707
Démonstration. En gardant les notations de la démonstration du lemme 27.1, on a |f (x)| >
|f (a)| − ε > 0 pour x voisin de a et :
¯
¯ ¯
¯
¯ 1
¯ ¯ f (x) − f (a) ¯
1
¯
¯=¯
¯ ≤ |f (x) − f (a)|
−
→ 0.
¯ f (x) f (a) ¯ ¯ f (x) f (a) ¯ (|f (a)| − ε) |f (a)| x→α
De ce résultat on déduit la continuité de
f
en a si f, g sont continues en ce point avec
g
g (a) 6= 0.
De la continuité des fonctions polynomiales, on déduit la continuité des fonctions rationnelles
en tout point de leur domaine de définition.
la continuité des fonctions sin et cos sur R, on déduit la continuité de la fonction tan sur
i De
π πh
− ,
.
2 2
Pour la composition des applications, on a le résultat suivant.
Théorème 27.12 Si f : I → R est continue en a ∈ I, J est un intervalle réel contenant f (I)
et g : J → C est continue en b = f (a) , alors g ◦ f est continue en a.
Démonstration. Pour ε > 0 donné, on peut trouver un réel η > 0 tel que |y − b| < η dans
l’intervalle J entraîne |g (y) − g (b)| < ε et il existe η 0 > 0 tel que |x − a| < η 0 dans l’intervalle
I entraîne |f (x) − f (a)| < η, ce qui implique |(g ◦ f ) (x) − (g ◦ f ) (a)| < ε pour tout x dans I
tel que |x − a| < η 0 .
1
La continuité de peut se retrouver en composant la fonction f dans un voisinage de α où
f
1
elle est non nulle avec y 7→ .
y
Exemple 27.5 Avec les exercices 27.1 et 27.2, on déduit la continuité sur R+,∗ de x 7→ xr
pour tout rationnel r.
27.5
27.5.1
Propriétés globales des fonctions continues
Le théorème des valeurs intermédiaires
Voir le chapitre 28.
27.5.2
Continuité uniforme
Une notion importante est celle d’uniforme continuité.
Définition 27.5 On dit que f est uniformément continue sur I si :
¡
¢
∀ε > 0, ∃η > 0 | (x, y) ∈ I 2 , |x − y| ≤ η ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε.
Une fonction uniformément continue sur I est évidemment continue en tout point de I, la
nuance est, dans le cas de l’uniforme continuité, qu’un réel η associé à ε ne dépend que de f, I
et ε.
Exemple 27.6 Une fonction lipschitzienne (c’est-à-dire telle qu’il existe un réel λ ≥ 0 avec
|f (x) − f (y)| ≤ λ |x − y| pour tous x, y dans I) est uniformément continue sur I.
708
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Exercice 27.12 Montrer que la fonction x 7→
√
x est uniformément continue sur R+ .
Solution 27.12 Ce résultat se déduit de :
¯√
√ ¯ p
∀ (x, y) ∈ R+ × R+ , ¯ x − y ¯ ≤ |x − y|.
Cette inégalité est triviale pour x = y et pour y > x ≥ 0 (x, y jouent des rôles symétriques), on
a:
¯√
¯
¯ x − √y ¯2 = y − 2√xy + x < y − x.
On peut utiliser les suites pour traduire l’uniforme continuité.
Théorème 27.13 Si f : I → R est uniformément continue et si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux
suites d’éléments de I telles que lim (un − vn ) = 0, alors lim (f (un ) − f (vn )) = 0.
n→+∞
n→+∞
Démonstration. Résulte de la définition.
Ce résultat peut être utilisé pour montrer qu’une fonction n’est pas uniformément continue
sur I.
Exercice 27.13 Montrer que la fonction f : x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R.
√
Solution 27.13 En considérant les suites (un )n∈N et (vn )n∈N définies par un = n + 1 et
√
1
√
vn = n, on a un − vn = √
, donc lim (un − vn ) = 0 et avec f (un ) − f (vn ) = 1
n→+∞
n+ n+1
on a lim (f (un ) − f (vn )) = 1 6= 0, donc la fonction f n’est pas uniformément continue sur
n→+∞
R.
Une démonstration directe de cette non uniforme continuité peut se faire comme suit : pour
1
η
η2
η > 0, x = , y = x + , on a |x − y| < η et |y 2 − x2 | = 1 +
> 1.
η
2
4
Exercice 27.14 Montrer que la fonction f : x 7→ sin (x2 ) n’est pas uniformément continue sur
R.
Solution 27.14 En considérant les suites introduites avec l’exercice précédent, on a :
µ
¶
µ ¶
1
1
f (un ) − f (vn ) = sin (n + 1) − sin (n) = 2 cos n +
sin
2
2
et cette suite est divergente.
Les exercices qui précèdent nous montrent qu’une fonction continue n’est pas nécessairement
uniformément continue.
Dans le cas où I est un intervalle fermé borné, nous verrons que les notions de continuité et
d’uniforme continuité sont équivalentes (théorème 27.15
Exercice 27.15 Montrer qu’une fonction f peut très bien être uniformément continue sur tout
intervalle strictement contenu dans I sans être uniformément continue sur I tout entier.
1
sur I = ]0, 1] . Elle est
x
uniformément continue
¯ sur ces
¯ intervalles.
¯1 1¯
1
2
on a |y − x| < η avec ¯¯ − ¯¯ =
> .
x y
3η
3
Solution 27.15 C’est le cas, par exemple, pour la fonction f : x 7→
lipschitzienne sur tout [a,
¸ 1] ·où 0 < a < 1, donc
1
η
Mais pour tout réel η ∈ 0,
, x = η, y = x + ,
2
2
Propriétés globales des fonctions continues
709
Exercice 27.16 Soit f : R → R une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe
deux constantes réelles a, b telles que |f (x)| ≤ a |x| + b pour tout réel x. En déduire que la
fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R.
Solution 27.16 Avec l’uniforme continuité de f sur R on peut trouver un réel α > 0 tel que
|f (x) − f (y)| ≤ 1 pour tout couple (x, y) de réels tels que |x − y| ≤ α. On en déduit alors par
récurrence que :
∀n ∈ N, ∀x ∈ [nα, (n + 1) α] , |f (x) − f (0)| ≤ n + 1.
Le résultat est vrai pour n = 0 et en le supposant acquis pour n ≥ 0, on a pour tout x ∈
[(n + 1) α, (n + 2) α] :
|f (x) − f (0)| ≤ |f (x) − f ((n + 1) α)| + |f ((n + 1) α) − f (0)|
≤ 1 + (n + 1) = n + 2.
Si x est un réel positif ou nul, on peut alors trouver un entier naturel n tel que x ∈ [nα, (n + 1) α]
x
et avec n ≤ , on déduit que :
α
|f (x)| ≤ |f (x) − f (0)| + |f (0)| ≤ n + 1 + |f (0)| ≤
x
+ (1 + |f (0)|) .
α
En raisonnant avec la fonction g définie par g (x) = f (−x) , on a un résultat analogue pour les
réels négatifs.
Du fait qu’il n’est pas possible de trouver des réels a, b tels que x2 ≤ ax + b pour tout réel
positif, on déduit que la fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R.
27.5.3
Continuité et compacité
Théorème 27.14 Toute fonction définie sur un intervalle réel fermé borné I = [a, b] à valeurs
réelles et continue est bornée et atteint ses bornes.
Démonstration. Soit (yn )n∈N une suite dans f (I) avec yn = f (xn ) pour tout n ∈ N.
Le théorème de Bolzano-Weierstrass (théorème
¡
¢ 22.21) nous dit que de la suite (xn )n∈N dans
le segment I on peut extraire une suite xϕ(n) n∈N qui converge vers un réel x ∈ I. Avec la
continuité de f on a alors :
¡
¢
lim yϕ(n) = lim f xϕ(n) = f (x) .
n→+∞
n→+∞
En conséquence f (I) est compact. En particulier f (I) est une partie non vide bornée de R et
donc admet une borne inférieure et une borne supérieure. Notons :
m = inf f (x) , M = sup f (x) .
x∈I
x∈I
Il reste à montrer que m et M sont dans f (I) .
Par définition de la borne inférieure m, pour tout entier n > 0 on peut trouver xn dans I tel
que :
1
m ≤ f (xn ) < m + .
n
710
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
¡
¢
De la suite (xn )n∈N ainsi définie dans le segment I on peut extraire une sous-suite xϕ(n) n∈N
qui converge vers un réel a ∈ I. On a donc pour tout entier n > 0 :
¡
¢
1
m ≤ f xϕ(n) < m +
,
ϕ (n)
avec lim ϕ (n) = +∞. On a donc, avec la continuité de f :
n→+∞
¡
¢
f (a) = lim f xϕ(n) = m.
n→+∞
On procède de manière analogue pour la borne supérieure.
Un autre résultat important relatif aux fonctions continues sur un segment est le suivant.
Théorème 27.15 Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.
Démonstration. Soit f continue sur I = [a, b] .
Supposons f non uniformément continue sur I. Il existe alors un réel ε > 0 et des suites
1
(xn )n≥1 , (yn )n≥1 dans I telles que |xn − yn | <
et |f (xn ) − f (yn )| > ε pour tout n ≥ 1.
n
¡
¢
¡
¢
Avec la compacité de I, on peut extraire deux suites xϕ(n) n≥1 et yϕ(n) n≥1 qui convergent
1
1
≤ , on déduit que |x − y| =
respectivement vers x et y dans I. Mais avec |xn − yn | <
ϕ (n)
n
¯
¯
¯ ¡
¢
¡
¢¯
lim ¯xϕ(n) − yϕ(n) ¯ = 0, soit x = y et avec la continuité de f on a alors lim ¯f xϕ(n) − f yϕ(n) ¯ =
n→+∞
n→+∞
¯ ¡
¢
¡
¢¯
0 en contradiction avec ¯f xϕ(n) − f yϕ(n) ¯ > ε pour tout n ≥ 1.
Comme première application de ce résultat, on peut montrer que toute fonction f continue
sur un segment [a, b] est limite uniforme d’une suite de fonctions continues affines par morceaux.
De manière plus précise, soit f continue sur [a, b] . Pour tout entier n ≥ 1 on définit une
subdivision de [a, b] en notant :
b−a
(0 ≤ k ≤ n)
n
et à cette subdivision on associe la fonction fn définie par :
x − xk
(f (xk+1 ) − f (xk ))
fn (x) = f (xk ) +
xk+1 − xk
xk = a + k
(fn coïncide avec f aux xk et est affine sur [xk , xk+1 ]). Cette fonction est affine par morceaux
et continue sur [a, b] .
Lemme 27.3 La suite (fn )n≥1 converge uniformément vers f sur [a, b] .
Démonstration. La fonction f continue sur le compact [a, b] y est uniformément continue,
donc pour ε > 0 donné on peut trouver un réel η > 0 tel que si x, y dans [a, b] sont tels que
b−a
et tout entier k compris entre
|x − y| ≤ η alors |f (x) − f (y)| < ε. Pour tout entier n ≥
η
b−a
0 et n − 1 on a alors xk+1 − xk =
≤ η. Sachant qu’un réel x ∈ [a, b] est dans l’un des
n
b−a
:
intervalles [xk , xk+1 ] , on obtient pour n ≥
η
¯
¯
¯
¯
x − xk
¯
|f (x) − fn (x)| = ¯f (x) − f (xk ) −
(f (xk+1 ) − f (xk ))¯¯
xk+1 − xk
x − xk
≤ |f (x) − f (xk )| +
|f (xk+1 ) − f (xk )|
xk+1 − xk
x − xk
ε ≤ 2ε,
≤ε+
xk+1 − xk
Propriétés globales des fonctions continues
711
ce qui prouve la convergence uniforme sur [a, b] de (fn )n≥1 vers f.
Ce résultat peut être utilisé pour prouver, sans théorie de l’intégration, que toute fonction
f continue sur un intervalle compact admet une primitive.
On vérifie tout d’abord qu’une fonction affine par morceaux et continue sur [a, b] admet une
primitive, ce qui n’est pas difficile.
Si, avec les notations qui précèdent, on désigne pour tout n ≥ 1 par Fn la primitive de fn
nulle en a, on constate que la suite (Fn0 )n≥1 converge uniformément sur [a, b] vers f et que la
suite (Fn (a))n≥1 converge vers 0. On déduit alors que la suite (Fn )n≥1 converge uniformément
sur [a, b] vers une fonction dérivable F et que F 0 = f, c’est-à-dire que F est une primitive de f
sur [a, b] .
On peut alors définir l’intégrale d’une fonction f continue sur [a, b] par :
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
où F est une primitive de f sur cet intervalle.
Une deuxième application est relative aux fonctions périodiques.
Théorème 27.16 Toute fonction continue sur R périodique de période 2T > 0 et à valeurs
réelles est uniformément continue.
Démonstration. Toute fonction f continue sur R périodique de période 2T est uniformément continue sur le compact J = [−T − 1, T + 1] . Donc pour tout ε > 0, on peut trouver un
réel η ∈ ]0, 1[ tel que :
(t, x) ∈ J 2 , |t − x| ≤ η =⇒ |f (t) − f (x)| ≤ ε.
Pour x ∈ [−T, T ] et t ∈ R tels que |t − x| ≤ η on a nécessairement t ∈ [−T − 1, T + 1]
(η ∈ ]0, 1[) et |f (t) − f (x)| ≤ ε.
µ
¶
x+T
2
Pour (t, x) ∈ R tels que |t − x| ≤ η et n ∈ Z tel que x − 2nT ∈ [−T, T ] (n = E
)
2T
on a |(t − 2nT ) − (x − 2nT )| ≤ η et :
|f (t) − f (x)| = |f (t − 2nT ) − f (x − 2nT )| ≤ ε.
On a donc ainsi prouvé que f est uniformément continue sur R.
Une troisième application importante est le résultat suivant de continuité d’une fonction
définie par une intégrale sur un segment.
Théorème 27.17 Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continue sur I × [a, b] , où I
est un intervalle réel non réduit à un point et a < b dans R. La fonction ϕ définie sur I par :
Z b
∀x ∈ I, ϕ (x) =
f (x, t) dt
a
est continue sur I.
Démonstration. On se fixe un réel x0 dans I et un intervalle [α, β] contenu dans I, contenant
x0 , avec α < β. La fonction f étant continue sur le compact K = [α, β]×[a, b] y est uniformément
continue, donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un réel η > 0 tel que |f (x, t) − f (u, v)| < ε
pour tous (x, t) et (u, v) dans K tels que k(x, t) − (u, v)k∞ < η. Pour x dans I tel que |x − x0 | <
η, on a k(x, t) − (x0 , t)k∞ < η pour tout t ∈ [a, b] et :
Z b
|ϕ (x) − ϕ (x0 )| ≤
|f (x, t) − f (x0 , t)| dt < (b − a) ε,
a
ce qui prouve la continuité de ϕ en x0 .
712
27.6
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I
Définition 27.6 On dit que la fonction f est dérivable en a ∈ I si la fonction τa : x 7→
f (x) − f (a)
définie sur I \ {a} admet une limite finie en a.
x−a
Quand cette limite existe, elle est unique, on la note f 0 (a) et on dit que c’est le nombre
dérivé de f en a.
De manière équivalente, on peut dire que f est dérivable en a si, et seulement si, elle admet
un développement limité d’ordre 1 en a :
f (x) = a0 + a1 (x − a) + o (x − a)
et dans ce cas a0 = f (a) , a1 = f 0 (a) .
De la définition du nombre dérivé on déduit facilement le résultat suivant.
Théorème 27.18 Si f est dérivable en a ∈ I elle est alors continue en ce point.
La réciproque de ce résultat est fausse comme le montre l’exemple de la fonction x 7→ |x| au
voisinage de 0.
Définition 27.7 On dit que la fonction f est dérivable à gauche [resp. à droite ] en a ∈ I si
la fonction τa admet une limite à gauche [resp. à droite] finie en a.
Quand cette limite existe, elle est unique, on la note fg0 (a) [resp. fd0 (a)] et on dit que c’est
le nombre dérivé à gauche [resp. à droite] de f en a.
Là encore des définitions on déduit facilement les résultats suivants.
◦
Théorème 27.19 Si f est dérivable à gauche et à droite en a ∈ I alors elle est continue en ce
point.
◦
Théorème 27.20 Si a ∈ I, alors f est dérivable en a si, et seulement si, elle dérivable à
gauche et à droite en ce point avec fg0 (a) = fd0 (a) . Cette valeur commune est alors égale à
f 0 (a) .
Définition 27.8 Si D est l’ensemble des points x ∈ I où f : I → R (ou C) est dérivable, on
définit alors la fonction dérivée de f sur D par x 7→ f 0 (x) .
Cet ensemble D peut être vide et dans ce cas la fonction dérivée n’est pas définie. C’est le
cas par exemple pour la fonction caractéristique de Q qui est discontinue en tout point de R
(exemple 27.4) et en conséquence ne peut être dérivable.
Une fonction peut très bien être continue et nulle part dérivable sur I. Pour construire une
telle fonction, on désigne par ϕ la fonction 2-périodique sur R définie par :
∀x ∈ [−1, 1] , ϕ (x) = |x| .
Lemme 27.4 Pour tous réels x, y on a :
|ϕ (x) − ϕ (y)| ≤ |x − y| .
Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I
713
Démonstration. Avec ϕ (x) ∈ [0, 1] pour tout réel x, on déduit que pour x, y dans R tels
que |x − y| ≥ 1, on a |ϕ (x) − ϕ (y)| ≤ 1 ≤ |x − y| .
On suppose donc que |x − y| < 1 et comme x, y jouent des rôles symétriques, on peut même
supposer que 0 < y − x < 1. On distingue alors les cas suivants :
– si x, y sont dans [−1, 1] , alors :
|ϕ (x) − ϕ (y)| = ||x| − |y|| ≤ |x − y| ;
– si x ∈ [−1, 1] et y ∈ [1, 2] , avec 0 < y − x < 1 on a nécessairement x ∈ [0, 1] et
y − 2 ∈ [−1, 0] , ce qui donne :
½
ϕ (x) − ϕ (y) = ϕ (x) − ϕ (y − 2) = x + y − 2 ≤ y − x,
ϕ (y) − ϕ (x) = ϕ (y − 2) − ϕ (x) = 2 − y − x ≤ y − x,
soit |ϕ (x) − ϕ (y)| ≤ |x − y| ;
– dans le cas général, toujours avec 0 < y − x < 1, en notant n la partie entière de
on a :
½
−1 ≤ x − 2n < 1,
−1 ≤ x − 2n < y − 2n < 1 + x − 2n < 2
x+1
,
2
et avec ce qui précède :
|ϕ (x) − ϕ (y)| = |ϕ (x − 2n) − ϕ (y − 2n)| ≤ |x − y| .
La proposition qui suit nous sera également utile.
·
·
1
Lemme 27.5 Soit x ∈ R. Si l’intervalle x, x +
ne contient pas d’entiers, alors :
2
¯ µ
¯
¶
¯
¯
¯ϕ x + 1 − ϕ (x)¯ = 1 .
¯
¯ 2
2
x+1
, alors −1 < x−2n < 1 (l’inégalité stricte
2
·
·
1
à gauche est justifiée par x ∈
/ Z) et comme il n’y a pas d’entiers dans x − 2n, x − 2n +
, on
2
1
1
1
1
a soit −1 < x − 2n < 0 et − < x − 2n + ≤ 0, soit x − 2n > 0 et < x − 2n + ≤ 1, ce
2
2
2
2
qui donne :
µ
¶
¶
µ
1
1
1
− ϕ (x) = ϕ x − 2n +
− ϕ (x − 2n) = −
ϕ x+
2
2
2
dans le premier cas et :
µ
¶
µ
¶
1
1
1
ϕ x+
− ϕ (x) = ϕ x − 2n +
− ϕ (x − 2n) =
2
2
2
Démonstration. Si n est la partie entière de
dans le second.
On définit la fonction de Van der Waerden par :
+∞ µ ¶n
X
3
∀x ∈ R, f (x) =
ϕ (4n x) .
4
n=0
µ ¶n
µ ¶n
3
3
ϕ (4n x) ≤
, on déduit que cette série de fonction est uniformément
Avec 0 ≤
4
4
convergente et avec la continuité de ϕ que la somme f est continue sur R.
714
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Théorème 27.21 La fonction f n’est dérivable en aucun point de R.
Démonstration.
Soient x ∈ R·et m ∈ N \ {0} .
·
1
1
L’intervalle 4m x − , 4m x +
qui est de longueur 1 contient exactement un entier et cet
2
2
·
·
·
·
1 m
1
m
m
m
entier est dans l’un seulement des deux intervalles 4 x − , 4 x ou 4 x, 4 x +
. On
2
2
note alors εm = −1 si le premier intervalle ne contient pas d’entier et εm = 1 si c’est le second.
εm 1
En posant hm =
, on a :
2 4m
+∞ µ ¶n
ϕ (4n (x + hm )) − ϕ (4n x)
f (x + hm ) − f (x) X 3
=
.
hm
4
h
m
n=0
Pour n > m, 4n hm = 2εm 4n−m−1 est un entier pair et ϕ (4n x + 4n hm ) − ϕ (4n x) = 0.
εm
Pour n = m, 4m hm =
et le lemme précédent nous dit que :
2
1
|ϕ (4m x + 4m hm ) − ϕ (4m x)| = .
2
Enfin pour 0 ≤ n < m, avec le lemme 27.4 on a :
|ϕ (4n (x + hm )) − ϕ (4n x)| ≤ 4n hm .
Il en résulte que :
¯
¯
¯ ¯ m µ ¶n
¯
n
n
¯ f (x + hm ) − f (x) ¯ ¯¯X
ϕ
(4
(x
+
h
))
−
ϕ
(4
x)
3
¯
m
¯
¯=¯
¯
¯
¯ ¯
¯
hm
4
h
m
n=0
≥ 3m −
m−1
X
n=0
3n =
3m + 1
2
¯
¯
¯ f (x + hm ) − f (x) ¯
¯ = +∞ avec lim hm = 0, ce qui implique que f ne peut être
et lim ¯¯
¯
m→+∞
m→+∞
hm
dérivable en x.
Un autre exemple de telle fonction est donné par la fonction de Weierstrass définie par :
∀x ∈ R,
f (x) =
+∞
X
cos (pn x)
n=0
2n
,
où p ≥ 6 est un entier pair. On peut même montrer que cette fonction n’est monotone sur
aucun intervalle non réduit à un point (voir [71]).
Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée f 0 n’est pasµ nécessairement
¶
1
2
continue comme le montre l’exemple de la fonction f définie par f (x) = x sin
pour x 6= 0
x
µ ¶
µ ¶
1
1
0
− cos
pour x 6= 0 et :
dans R et f (0) = 0. On a f (x) = 2x sin
x
x
¯
¯ ¯
µ ¶¯
¯ f (x) ¯ ¯
¯
¯
¯ = ¯x sin 1 ¯ ≤ |x| → 0,
¯ x ¯ ¯
x→0
x ¯
µ ¶
1
0
0
donc f (0) = 0. Mais f n’est pas continue en 0 car la fonction g : x 7→ cos
n’a pas de
x
µ ¶
1
limite en 0 (ce qui se déduit de g
= (−1)k pour tout entier k ≥ 1).
kπ
Opérations sur les fonctions dérivables
715
Définition 27.9 On dit qu’une fonction f est de classe C 1 (ou continûment dérivable) sur I
si elle est dérivable en tout point de I et si la fonction dérivée f 0 est continue sur cet intervalle.
Exercice 27.17 Soit f : [0, 1] → R continue, dérivable en 0 avec f (0) = 0. Montrer que :
µ
n
X
lim
f
n→+∞
k=1
1
n+k
¶
= f 0 (0) ln (2) .
Solution 27.17 Soient ε > 0 et η > 0 tels que :
¯
¯
¯ f (x)
¯
0
0 < x < η ⇒ ¯¯
− f (0)¯¯ < ε.
x
1
1
Pour tout entier n > , on a 0 <
< η pour tout entier k compris entre 1 et n et donc :
η
n+k
¯ µ
¯
¶
¯
¯
1
1
0
¯f
¯ < 1 ε,
−
f
(0)
¯ n+k
¯
n+k
n+k
ce qui entraîne :
¯ n µ
¯ Ã n
!
!
¶ ÃX
n
¯X
¯
X 1
1
1
¯
¯
f
−
f 0 (0)¯ <
ε < ε.
¯
¯
¯
n+k
n+k
n+k
k=1
k=1
k=1
En considérant que :
lim
n→+∞
n
X
k=1
Z
n
1
1X 1
= lim
n + k n→+∞ n k=1 1 +
k
n
1
=
0
dx
= ln (2) ,
1+x
on aboutit au résultat.
Par exemple pour f (x) = x2 , on obtient :
lim
n→+∞
n
X
k=1
1
=0
(n + k)2
et pour f (x) = arctan (x) :
lim
n→+∞
27.7
n
X
k=1
µ
arctan
1
n+k
¶
= ln (2) .
Opérations sur les fonctions dérivables
Pour toute fonction f et tout point a de I, on note τa (f ) la fonction définie sur I \ {a} par
f (x) − f (a)
τa (f ) (x) =
.
x−a
Les résultats importants relatifs aux opérations algébriques sur les fonctions dérivables sont
résumés avec le théorème qui suit.
Théorème 27.22 Soient f, g deux fonctions de I dans R (ou C) dérivables en a ∈ I.
716
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
1. Pour tous réels λ, µ la fonction λf + µg est dérivable en a avec :
(λf + µg)0 (a) = λf 0 (a) + µg 0 (a) .
2. La fonction f g est dérivable en a avec :
(f g)0 (a) = f 0 (a) g (a) + f (a) g 0 (a)
(formule de Leibniz).
3. Si g (a) 6= 0, alors la fonction g ne s’annule pas dans un voisinage de a, les fonctions
et
f
qui sont définies dans un tel voisinage sont dérivables en a avec :
g
µ ¶0
µ ¶0
1
g 0 (a)
f
g (a) f 0 (a) − f (a) g 0 (a)
(a) = − 2
(a) =
,
.
g
g (a)
g
g 2 (a)
1
g
Démonstration.
1. Résulte de :
τa (λf + µg) = λτa (f ) + µτa (g) .
2. Résulte de :
τa (f g) (x) = f (x) τa (g) + g (a) τa (f )
et de la continuité de a.
3. Si g (a) 6= 0, on a g (x) 6= 0 pour tout x dans un voisinage de a du fait de la continuité de
g en ce point. Avec :
µ ¶
1
1
τa
(x) = −
τa (g)
g
g (x) g (a)
µ ¶0
1
g 0 (a)
pour x 6= a, on déduit par passage à la limite quand x tend vers a que
(a) = − 2
.
g
g (a)
La formule de Leibniz permet d’obtenir le deuxième point.
Pour ce qui est de la composition et du passage à l’inverse, on a les résultats suivants.
Théorème 27.23 Soient I, J deux intervalles réels f : I → J une fonction dérivable en a ∈ I
et g : J → R (ou C) une fonction dérivable en b = f (a) . La fonction g ◦ f est définie sur I et
dérivable en a avec :
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) f 0 (a) .
Démonstration. On définit la fonction τb sur J par :

 g (y) − g (b)
si y 6= b
τb (y) =
y−b
 g 0 (b) si y = b
et pour x 6= a dans I, on a :
g ◦ f (x) − g ◦ f (a)
f (x) − f (a)
= τb (f (x))
x−a
x−a
(pour f (x) 6= f (a) c’est clair et pour f (x) = f (a) , les deux membres de cette égalité sont
nuls). Faisant tendre x vers a on obtient le résultat du fait de la continuité de f en a, de celle
de τb en b et de la définition de f 0 (a) .
Opérations sur les fonctions dérivables
717
Théorème 27.24 Soit f : I → R une fonction continue strictement monotone dérivable en a.
La fonction réciproque f −1 est dérivable en f (a) si, et seulement si, f 0 (a) 6= 0 et dans ce cas
on a :
¡ −1 ¢0
1
f
(f (a)) = 0
.
f (a)
Démonstration. On rappelle que si f : I → R est continue strictement monotone, c’est
alors un homéomorphisme de I sur f (I) (théorème 28.9).
Si f −1 est dérivable en f (a) , on a alors :
¡
¢0
¡
¢0
1 = f −1 ◦ f (a) = f −1 (f (a)) · f 0 (a)
et nécessairement f 0 (a) 6= 0.
Supposons f 0 (a) 6= 0 et notons b = f (a) . Pour tout y 6= b dans J on a f −1 (y) 6= a et :
µ
¶−1
f −1 (y) − f −1 (b)
f (f −1 (y)) − f (a)
=
y−b
f −1 (y) − a
et avec la continuité de f −1 , on a :
f (f −1 (y)) − f (a)
= f 0 (a) ,
y→b
f −1 (y) − a
lim
ce qui entraîne :
f −1 (y) − f −1 (b)
1
= 0
.
y→b
y−b
f (a)
lim
De ce résultat, on déduit les dérivées des fonctions trigonométriques et hyperboliques inverses, à savoir :
1
– ∀x ∈ ]−1, 1[ , arcsin0 (x) = √
;
1 − x2
1
– ∀x ∈ ]−1, 1[ , arccos0 (x) = − √
;
1 − x2
1
– ∀x ∈ R, arctan0 (x) =
;
1 + x2
1
– ∀x ∈ R, argsh0 (x) = √
;
1 + x2
1
– ∀x ∈ ]1, +∞[ , argch0 (x) = √
;
x2 − 1
1
.
– ∀x ∈ ]−1, 1[ , argth0 (x) =
1 − x2
La fonction arcsin + arccos étant de dérivée nulle sur ]−1, 1[ est constante et la valeur de
cette fonction en x = 0, nous donne :
∀x ∈ ]−1, 1[ ,
arcsin (x) + arccos (x) =
π
.
2
µ ¶
1
De même en remarquant que la dérivée de la fonction x 7→ arctan (x) + arctan
est nulle
x
sur R∗ et en prenant les valeurs en −1 et 1, on déduit que :
µ ¶
x π
1
∗
.
=
∀x ∈ R , arctan (x) + arctan
x
|x| 2
718
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Exercice 27.18 Étudier la dérivabilité de la fonction f définie sur R par :
¯ ³ π ´¯
(
¯
2¯
x ¯cos
¯ si x 6= 0
f (x) =
x
0 si x = 0.
½
¾
2
1
∗
Solution 27.18 Il est clair que f est de classe C sur R \
|k∈Z .
2k + 1
Avec :
¯
¯
¯ f (x) ¯
¯
¯
→ 0,
¯ x ¯ ≤ |x| x→0
on déduit que f est dérivable en 0 avec f 0 (0) = 0.
h
³π ´
2
π i
π
Soit k = 2p un entier naturel pair et xk =
. Pour ∈ kπ, + kπ , on a cos
>0
2k + 1
x
2
x
i
h
³
´
π
π
π
et pour ∈
+ kπ, (k + 1) π , cos
< 0, de sorte que :
x
2
x
2
1
si
< x < pour k 6= 0, ou x > 2 pour k = 0, alors :
2k + 1
k
³π ´
2
³
³ π ´´0
x
cos
f (x) − f (xk )
x
=
→+ x2 cos
=π
x − xk
x − xk x→xk
x |x=xk
et si
1
2
<x<
, alors :
k+1
2k + 1
f (x) − f (xk )
=−
x − xk
x2 cos
³π ´
x
x − xk
³
2
→ − x cos
x→x+
k
³ π ´´0
x
|x=xk
= −π.
La fonction f est donc dérivable à droite et à gauche en x2p avec :
fg0 (x2p ) = −π, fd0 (x2p ) = π.
On vérifie de même que f est dérivable à droite et à gauche en x2p+1 , pour tout entier naturel
p, avec :
fg0 (x2p+1 ) = −π, fd0 (x2p+1 ) = π.
Ces dérivées à droite et à gauche étant distinctes, on en déduit que f n’est pas dérivable en xk
pour tout k ∈ N. Avec la parité de la fonction f, on déduit que ce résultat est encore valable
pour tout k ∈ Z.
27.8
Extrémums et dérivation
Théorème 27.25 Soient I un intervalle réel d’intérieur non vide, f une fonction à valeurs
réelles définie sur I dérivable en un point a intérieur à I. Si f admet un extremum local en a
alors f 0 (a) = 0.
Démonstration. On suppose que la fonction f admet un maximum local en a.
Le point a étant intérieur à I, la fonction ϕ : t 7→ f (a + t) est définie sur un voisinage ouvert
de 0 et en écrivant que :

f (a + t) − f (a)

0

≤ 0,
f
(a)
=
lim


t→0
t
t>0
f (a + t) − f (a)

0

≥ 0,
f
(a)
=
lim


t→0
t
t<0
Le théorème de Darboux
719
on déduit que f 0 (a) = 0.
Deux conséquences importantes de ce théorème sont le théorème de Rolle et le théorème de
Darboux (théorème 27.27).
La démonstration du théorème précédent contient plus précisément le résultat suivant.
Théorème 27.26 Si I est un intervalle réel d’intérieur non vide, f une fonction à valeurs
réelles définie sur I dérivable à gauche et à droite en un point a intérieur à I et qui admet un
maximum [resp. minimum] local en ce point, alors fg0 (a) ≥ 0 et fd0 (a) ≤ 0 [resp. fg0 (a) ≤ 0 et
fd0 (a) ≥ 0].
La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre l’exemple de la fonction x 7→ x3
au voisinage de 0.
27.9
Le théorème de Darboux
On a vu que si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée f 0 n’est pas
nécessairement continue et pourtant cette dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
Théorème 27.27 (Darboux) Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur
un intervalle I, alors sa fonction dérivée f 0 vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
Démonstration. Soient a < b dans I. Si f 0 (a) = f 0 (b) il n’y a alors rien à montrer.
On suppose donc que f 0 (a) < f 0 (b) et on se donne λ ∈ ]f 0 (a) , f 0 (b)[ . On définit la fonction
ϕ : [a, b] → R par :
∀x ∈ [a, b] , ϕ (x) = f (x) − λx.
Cette fonction est continue sur le compact [a, b] , elle est donc minorée et atteint sa borne
inférieure, c’est-à-dire qu’il existe c ∈ [a, b] tel que ϕ (c) = inf ϕ (x) . Si c = a [resp. c = b],
x∈[a,b]
ϕ (x) − ϕ (a)
ϕ (b) − ϕ (x)
alors
≥ 0 [resp.
≤ 0] pour tout x ∈ ]a, b[ et en passant à limite quand
x−a
b−x
x tend vers a [resp. vers b] par valeurs supérieures [resp. inférieures], on déduit que ϕ0 (a) ≥ 0
[resp. ϕ0 (b) ≤ 0] ce qui est en contradiction avec ϕ0 (a) = f 0 (a) − λ < 0 < ϕ0 (b) = f 0 (b) − λ.
On a donc c ∈ ]a, b[ et ϕ0 (c) = 0, soit f 0 (c) = λ.
Le théorème de Darboux nous montre qu’une fonction peut très bien vérifier la propriété
des valeurs
µ ¶ intermédiaires sans être continue. Par exemple la fonction f définie par f (x) =
1
prolongée par continuité en 0 est dérivable sur R de dérivée f 0 vérifiant la propriété
x2 sin
x
des valeurs intermédiaires et non continue en 0.
Corollaire 27.1 Il existe des fonctions définies sur un intervalle réel qui n’admettent pas de
primitive.
Démonstration. Si f admet une primitive F sur I, elle doit vérifier la propriété des valeurs intermédiaires. Une fonction ne vérifiant pas cette propriété, par exemple une fonction en
escaliers, n’admet donc pas de primitive sur I.
En fait, on peut vérifier directement qu’une fonction en escalier n’admet pas de primitives.
Exercice 27.19 Montrer que la fonction f définie sur I = [0, 2] par f (x) = 0 si x ∈ [0, 1] et
f (x) = 1 si x ∈ ]1, 2] n’admet pas de primitives sur I.
720
Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Solution 27.19 Si F est une primitive de f sur I, on a alors F 0 (x) = 0 sur [0, 1] et F 0 (x) = 1
sur ]1, 2] , ce qui donne F (x) = α sur [0, 1] et F (x) = x+β sur ]1, 2] , où α, β sont des constantes
réelles. Avec la continuité de F en 1, on déduit que α = 1 + β et F est définie par F (x) = 1 + β
sur [0, 1] et F (x) = x+β sur ]1, 2] . Mais une telle fonction ne peut être dérivable en 1, puisque :
lim−
x→1
F (x) − F (1)
F (x) − F (1)
= 0 6= lim+
= 1.
x→1
x−1
x−1
Du théorème de Darboux et du théorème 28.7, on déduit le résultat suivant.
Théorème 27.28 Une fonction convexe et dérivable de I dans R est continûment dérivable.
Démonstration. Si f est convexe et dérivable de I dans R, sa dérivée f 0 est croissante. Cette
dérivée vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires, on déduit du théorème 28.7 qu’elle est
continue.