SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES Ingénieur

SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
PAR M.
JACQUES TOUCHARD,
Ingénieur diplômé de l'École Supérieure d'Électricité (Paris), Alexandrie,
Egypte.
Je me propose d'indiquer certaines équations fonctionnelles, satisfaites par
des fonctions algébriques et d'en déduire des relations entre les coefficients du
développement de ces fonctions par la série de Lagrange.
I
Considérons, en premier lieu, l'équation
xz2-z+l = 0
(1)
et supposons x réel et plus grand que J.
Soit JSI la racine située dans le demi-plan au-dessus de l'axe réel et soit z%
la racine imaginaire conjuguée. On a
z2 = l + e' -2<t>i
7T
.
<t> étant un angle compris entre 0 et - , qui est défini par l'égalité
4x cos2$ = l.
Donnons à <f> une autre valeur 0, également comprise entre 0 et — , ce
qui revient à faire sur x une certaine substitution [x, u(x)], définie par la formule
4:U2(x) cos2 0 = 1.
Par cette substitution, les fonctions z\ et z2 deviennent respectivement
yi = zi[u(x)] = l+e2ie,
y2 = z2[u(x)] = l+e-2ie
qui sont racines de l'équation
u(x)y2 —y+1 = 0.
1° Je suppose d'abord 0= — — </>, d'où
,
466
JACQUES TOUCHARD
:yi = 2 - z 2 ,
3>2 = 2 - : s i ,
u(x) =
4 sin2<£
4# — 1
On a donc les équations fonctionnelles
( Z l (i^l) = 2 - 2 2 W *
(2)
x
/
\
2 Zi(x)
rU^ir ~
-
Il est maintenant facile de voir que si x est imaginaire et si
P.R. x>\,
x
on a aussi P.R. ——
> },
4x —1
et que si
P.R. * < i , on a aussi P.R. —^— < i .
4x-l
Comme, d'autre part, les racines z± et z^ se permutent autour des points
x = J et x = oo, il en résulte que la droite # = î partage le plan en deux régions.
Dans celle de droite, ont lieu les équations (2), tandis qu'on a, dans la région de
gauche
(4-^)-2-*<«>(3)
\z2
2° Supposons maintenant x réel et compris entre i et J, d'où
O<0<
4
+
et prenons
e = ^ + <t>.
4
Nous aurons
yi = Zi[u(x)] = l + e
4;
= 1— i+izi(x).
D'autre part,
U(X) =
-?
r
4 cos 2 f — + <j> j
ou
(4)
2i*(*) =
-
1 - s i n 20
,
2x =
-
l+cos2tf>
,
CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
467
puis
2u(x)-l
= ± — - V4:X— 1 ,
2u(x)
2x
et comme, d'après (4), u(x) e s t > | , c'est le signe+qui convient.
l'équation fonctionnelle
f 2x2+x^ï^T~~]
JSi
L
,
•••/ N
=1— t+
(2x-l) 2
On a donc
tzi(x).
J
3° Cherchons, en supposant encore 0 < <£< — , l'argument de la fonction
4
2
2i6
zi(x ) = l + e .
Nous aurons
cos 0 = 2 cos2<£.
Faisons maintenant 0' = —, il en résulte pour x la substitution
f x
1
1
u(x) = —
0
4 cos2—
x
2
2+4cos 4>
1+2*
D'autre part
Vl+2x/
2 cos 9
On a donc les équations fonctionnelles
_Krf^) =1+ * 0l( * 2) '
(5)
HïWX)=1+XZî(Xî)Les relations (5) sont caractéristiques de l'équation (1), tandis que les équations
(3) ne le sont pas et peuvent se déduire de (5).
Ajoutant, en effet,
z[T^—)
=
\l+2jc/
l+xz(x2),
et
Z(JZ!L)
=
1-XZ(X2);
\l-2xj
on obtient
2(^LA+2(_^\=2(
Vl+2*/
\2x-lJ
X
et en posant
= v on retombe sur (3).
1+2*
468
JACQUES TOUCHARD
II
L'équation
xz2+az+b = 0
donne naissance aux équations fonctionnelles
• ( g r - i H -
0
* -
a
III
Soit en général F(x, J S ) = 0 une équation algébrique de degré m en z. On
peut effectuer sur x une substitution [x,u(x)\, u(x) étant une fonction donnée, et
en posant
y = z[u(x)],
l'équation précédente deviendra
$(x, y) = 0 .
Si, entre F=0 et $ = 0, on élimine x, l'équation résultante,
K(y,z)=0,
permettra de développer y en série de puissances de JS. Ces puissances peuvent
être réduites à un exposant inférieur à m et l'on obtient ainsi une série de relations
fonctionnelles
z[u(x)] = aizm~1+a2zm~2+
. .. +am ,
dans lesquelles les fonctions ^ varient en général avec la racine z considérée.
Inversement, on peut se donner une transformation générale de Tchirnhausen
(6)
y = aizm-l+a2zm~2+
. . . +am ,
(lu d2,. . .,am étant des fonctions connues de x, arbitrairement choisies.
Ayant formé l'équation en y
*(x,y)=0,
éliminons y entre cette équation et
F(u,y)=0
où u désigne une nouvelle variable; nous obtiendrons un résultant
R(x, u) = 0
CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
469
dont les racines u définiront des substitutions [x, u(x)], donnant lieu à des relations fonctionnelles telles que (6), ces substitutions variant en général avec la
racine JS considérée.
Si l'on convient au-contraire qu'une même substitution [x,u(x)] doit
donner lieu pour un certain groupe, et notamment pour un groupe circulaire
de racines JS de F(x, z)=0, à une même équation fonctionnelle, c'est-à-dire à
une formule telle que (6), dans laquelle les fonctions a^ ne changent pas quand
on permute entre elles deux racines quelconques du groupe, les fonctions a{ ne
seront plus arbitraires. En particulier, si l'on veut que le groupe de racines
en question contienne toutes les racines de F(x, z) = 0 , on formera les fonctions
symétriques fondamentales des m fonctions y, données par la formule (6), et
l'on obtiendra, si l'on considère u(x) comme donnée, m équations de condition
entre les fonctions a,-.
Si l'on désire de plus, dans le but de donner une forme simple à l'équation
fonctionnelle (6), que les fonctions ^ soient en nombre \x<m, les m équations
de condition obtenues donneront, après élimination de aha2,. . ., aß, m — fx équations de condition entre les coefficients de F(x, z).
Les considérations précédentes s'appliquent immédiatement à l'équation
xz2-z+l
= 0.
La substitution [x, u(x)] donne, en faisant y = z[u(x)]i
uy2 — y+l = Q
et
y = az+b.
On a alors
hi+y2 =
[ y&2 =
a(zi+z2)+2b,
a2ziz2+ab(zi+z2)+b2,
ou bien
— = a+2bx,
\u
= a2+ab+b2x.
yU
On a donc l'équation de condition
a2+qb+b2x = a+2bx.
En d'autres termes, l'équation en u s'abaisse au premier degré et donne naissance
à l'équation fonctionnelle
;(
)
\a+2bxj
=az(x)+b.
Pour généraliser ce résultat, je considérerai l'équation
F(x, z) =xzm+pizm-l+p2zm~2+
(7)
30-
. .. +pm = 0,
JACQUES TOUCHARD
470
et je déterminerai les coefficients constants pit de telle sorte que cette équation
n'ait, à distance finie, qu'un seul point critique d'ordre m.
dF
L'élimination de x entre F=0 et — = 0 donne immédiatement l'égalité
dz
plZ™~1+2p2zm-2+3ptzm-d+
m l
et, en identifiant avec pi(z+a) ~ ,
vp„
(8)
. .. +mpm = 0
on obtient les relations
(m—l\
a
-£-V-iJ
„ _ ! , . _
( ==2 3
• " -
qui lient les coefficients pz, p4,...,pmàpiet
z=
.
m)
'
p2et qui définissent la valeur critique
2
p2
m — 1 pi
Par substitution dans (7) on obtient la valeur critique de x,
_ w-l^i2
2m
p2
Il est visible que, lorsque les conditions (8) sont satisfaites, toutes les racines
de (7) ne forment qu'un seul système circulaire. On peut le vérifier et calculer la
valeur approchée des m racines au voisinage du point critique, savoir
m pair
JS =
m impair. . .JS= —
(m-l)p[
2^2
2^2
(m-l)pi
_
2mp2 x "1 i
(m-l)pi2\
T 2mpi x __ 1 ~YïH
2^2
+ T2
J
(m—l)pi
(m — l)p'iL(m-l)£ i
2p2
Maintenant, si l'on fait la substitution
x,
x
2mp2 x
(m-l)pi2
-1
un calcul direct conduit à l'équation fonctionnelle que je voulais établir:
3*
2mp2x
\_(m-l)pi2
2 p2
•Zj(x),
m — 1 pi
-1
dans laquelle les indices i et j peuvent prendre les valeurs 1, 2,. .. ,w, suivant la
région du plan où se trouve le point x.
IV
Pour tirer le parti que j'ai annoncé des équations fonctionnelles établies
au paragraphe II, il suffit de généraliser une formule d'Euler relative à la théorie
des différences.
CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
471
Soient Uo, Ui,. .., uni. .. une suite de nombres et Anuo la différence rième du
premier d'entre eux; soit encore
(9)
f(x) =
îunx";
0
Euler a montré que
l+X
\1+X/
0
Plus généralement, désignons par A* w0 la fonction linéaire définie par
l'équation symbolique
b?muo=(u — m)n,
où m est un paramètre arbitraire; on tire de (9)
n
°[z«+r
d'où
àlu0=ôfM^-^,
et
L Amu0x
w=o
=Ò f
IJS— (1—
r-[ = Ò — — f
raz)xj
1+rax
L
=?,
x
1+raxJ
ou encore
-i-/(+)=2Alw».
«=o
mx + 1 \mx+l/
Concevons que l'on ait développé par la série de Lagrange une racine de l'équation
xz2+az+b = 0
sous la forme
00
z(x) = S ^wxM;
o
les équations (A) et (B) donneront lieu aux relations symboliques:
/
/
46V , 4 6 /
u
26V" i
2h
(
+ u
46Y"1
/
2b\2n~1
-
\ -^) A -^)
/
2b\
2n+1
, 26/
ix«-i
==0
-
26\
2M
/6\"+1
472
JACQUES TOUCHARD
En particulier si l'on considère la suite
(v) 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429,
,
(n+2)(n+3) . . .2n
:
,
ni
les nombres vn sont les coefficients du développement de f2, f étant la racine,
régulière à l'origine, de
xz2-z+l = 0,
et l'on a:
A22n+1v0 = 0,
A22n+2v0 = Vn, (-l)nMv0 = vn,
vn-\=
vH = 4?vQ- ( ï ) 4 " ^ i + ( j ) * " ' 2 * -
>
^0
A%=2%-^^2x w - 1 A%o+(2) 2 M ~ 2 A 2 z ; o
\ /
\ ^/
et
__ _I l/n-l\
l A z - l \ M_54.
9M_32
(n+2) (»+3)...2» _ 2 M
»_! l / » - l \ 9 »
l / « - l \ „_64.3
2 2_ 8 2ï + 3V
- 2 ++v
2
j
r
2
2
j
ï
+
s
U 4 jr O
2
l/n-l\
6.5.4
+
+
2
4<
n!
l
iv e j
i^ -