MÉTHODES TANNAKIENNES EN GÉOMÉTRIE DIOPHANTIENNE

MÉTHODES TANNAKIENNES EN GÉOMÉTRIE DIOPHANTIENNE
D’APRÈS MINHYONG KIM
GROUPE DE TRAVAIL
C.M.L.S. - ECOLE POLYTECHNIQUE
L’objectif de ce groupe de travail est de lire l’article [K05] dans lequel M. Kim propose une approche tannakienne (ou, selon sa terminologie, ’motivique’) des problèmes de non-densité des points
entiers/rationnels en géométrie diophantienne. On s’inspirera également de la thèse de M. Hadian-Jazi
[H10], qui généralise et simplifie parfois certains des arguments de [K05].
Nous nous placerons essentiellement sous les hypothèses de [K05] et nous limiterons en définitive à la
preuve du théorème de Siegel pour la droite projective moins trois points. Soit donc S un ensemble
fini de nombres premiers et p 6∈ S un nombre premier; posons T := S ∪ {p}. Notons
X le complémentaire d’un diviseur étale sur Z[S −1 ] dans une courbe X cpt projective lisse sur Z[S −1 ]);
X := X ×Z[S −1 ] Q, X cpt := X cpt ×Z[S −1 ] Q;
X := X ×Z[S −1 ] Fp , Xcpt := X cpt ×Z[S −1 ] Fp ;
− : X cpt (Qp ) → Xcpt (Fp ) le morphisme de réduction modulo p;
]X[ le tube de X (au sens de Berthelot). Ensemblistement, on a:
X(Qp ) ⊃]X[∩X(Qp ) := {x ∈ X(Qp ) | x̄ ∈ X(Fp )} = X (Zp ) ⊃ X (Z[S −1 ]).
Fixons un point a ∈ X (Z[S −1 ]). L’une des idées clefs de [K05] est d’identifier les points de X (Z[S −1 ])
aux foncteurs fibres qu’ils définissent sur certaines catégories tannakiennes associées aux données cidessus.
Rappelons qu’une catégorie tannakienne T neutre sur un corps K est une ⊗-catégorie abélienne rigide
munie d’un ⊗-foncteur F : T → Mod(K) (où Mod(K) désigne la catégorie des K-espaces vectoriels
de dimension finie) exact et fidèle, appelé foncteur fibre. On peut montrer que le groupe π1 (T ; F )
des ⊗-automorphismes de F est représentable par un schéma en groupes sur K et que F induit une
équivalence de catégories de T sur la catégorie des représentations K-linéaires de dimension finie de
π1 (T ; F ). Le groupe π1 (T ; F ) est le groupe fondamental de T basé en F ; c’est ce groupe qui intervient
dans les travaux de M. Kim. Le foncteur fibre n’est pas unique et, étant donnés deux foncteurs
fibres, le foncteur π1 (T ; F, F 0 ) des isomorphismes de ⊗-foncteurs un représentable par un schéma
affine fidèlement plat sur K qui est un torseur fpqc sous π1 (T ; F ). Dans les catégories tannakiennes
considérées dans [K05], chaque point x ∈∈ X (Zp ) va définir un foncteur fibre Fx : T → Mod(K) donc
un torseur π1 (T ; Fa , Fx ) sous π1 (T ; Fa ). On obtient ainsi des applications
ΦT ,a :]X[∩X(Qp ) → Tors(π1 (T ; Fa )).
Selon la catégorie tannakienne T considérée, ces applications vont être de nature différente - ’algébrique’
dans certains cas, ’hautement transcendante’ dans d’autres. Sous certaines hypothèses, la comparaison de ces applications va alors permettre de construire une fonction de Coleman (vérifiant donc en
particulier le principe des zéros isolés) λ :]X[→ Qp non nulle qui s’annule sur X (Z[S −1 ]) ⊂]X[ (plus
précisément, pour chaque x ∈ X(Fp ), λ n’admet qu’un nombre fini de zéros sur ]x[).
1
2
GROUPE DE TRAVAIL C.M.L.S. - ECOLE POLYTECHNIQUE
Précisons un peu le schéma général décrit ci-dessus. Tout d’abord, les catégories tannakiennes qui
vont être utilisées sont les suivantes
UndR : fibrés vectoriels à connexion unipotents sur XQp
ΠdR := π1,dR (XQp ; a)
ΠdR (x) := π1,dR (XQp ; a, x)
Unet : faisceaux p-adiques lisses unipotents sur XQ
Πet := π1,et (XQ ; a)
Πet (x) := π1,et (XQ ; a, x)
Unet,loc : faisceaux p-adiques lisses unipotents sur XQp
Πet = Πet,loc := π1,et (XQp ; a)
Πet (x) := π1,et (XQp ; a, x)
Unan : isocristaux surconvergents unipotents sur X
Πcris := π1,cris (X; a)
Πcris (x) := π1,cris (X; a, x).
Notons Πn le quotient par le nième terme de la série centrale descendante de l’un quelconque des
groupes Π ci-dessus (Πn est le groupe fondamental de la sous-catégorie tannakienne des objets d’indice
d’unipotence ≤ n). Les groupes Π sont des groupes pro unipotents sur Qp et leurs quotients Πn des
groupes algébriques unipotents sur Qp . Les torseurs sous ces groupes dans les catégories tannakiennes
considérées sont des torseurs fpqc au sens usuel munis de structures additionnelles: une filtration
d’Eilenberg-Maclane et dans les cas De Rham, étale et cristallin une filtration de Hodge, une action
de Galois et un endomorphisme de Frobenius respectivement.
’Du côté analytique’, on dispose d’une équivalence de catégories tannakiennes Unan ' UndR qui permet de munir les torseurs De Rham d’un endomorphisme de Frobenius provenant de leur structure
cristalline. Les torseurs qui proviennent des points de ]X[∩X(Qp ) sont donc munis d’une filtration
d’Eilenberg-MacLane, d’une filtration de Hodge et d’une action de Frobenius, ces données étant compatibles entre elles. Les torseurs de ce type sont classifiés par les quotients
ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n )(Qp ).
On définit ainsi les applications d’Albanese unipotentes:
U Alba,n :]X[∩X(Qp → ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n )(Qp ),
dont les coefficients sont des polylogarithmes p-adiques (au sens de Coleman-Besser) et l’image est
Zariski-dense pour n ≥ 2.
’Du côté algébrique’, les torseurs étales, eux, sont munis d’une filtration d’Eilenberg Mac-Lane et
d’une action de Galois. Les torseurs de ce type sont classifiés par des ensembles de cohomologie
galoisienne continue représentables par des variétés algébriques H1 (ΓT , Πet,n ) et H1 (Γp , Πet,n ) sur Qp .
En particulier, l’application restriction de ΓT (groupe de Galois de l’extension algébrique maximale
de Q non ramifiée hors de T ) à Γp (:= Gal(Qp |Qp )) est représentable par un morphisme de variétés
algébriques
resn : H1 (ΓT , Πet,n ) → H1 (Γp , Πet,n ).
Les torseurs associés aux points de X (Z[S −1 ]) et ]X[∩X(Qp ) ont en outre la propriété d’être non
ramifiés au-dessus de T et De Rham en p. Ces torseurs correspondent à des sous-variétés algébriques
H1f (ΓT , Πet,n ) ⊂ H1 (ΓT , Πet,n ) et H1f (Γp , Πet,n ) ⊂ H1 (Γp , Πet,n ) - les variétés de Selmer. On obtient
ainsi des diagrammes commutatifs
/X
X (Z[S −1 ])
κa,n
H1f (ΓT , Πet,n )
resn
κloc
a,n
/ H1 (Γp , Πet,n ).
f
MÉTHODES TANNAKIENNES EN GÉOMÉTRIE DIOPHANTIENNE
D’APRÈS MINHYONG KIM
3
Les applications κa,n et κloc
a,n sont appelées applications d’Albanese (ou de Kummer) unipotentes étales
globales et locales respectivement.
1
Pour p−1
2 ≥ n+1, un théorème de comparaison de Vologodsky permet de construire les isomorphismes
de Dieudonné
Dn : H1f (Γp , Πet,n )→Π
˜ dR,n /F 0 (ΠdR,n ),
qui sont des isomorphismes de variétés algébriques sur Qp (sur les points, Dn associe à un torseur
étale P = spec(P) le torseur De Rham Dn (P ) = spec((P ⊗ BdR )Γp )) et qui vérifient
Dn ◦ κloc
a,n = U Alba,n .
La dernière étape de la preuve consiste à estimer les dimensions (comme variétés algébriques sur
Qp ) de H1f (ΓQ,T , Πet,n ) et ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n ). Un théorème d’annulation de Soulé montre que, pour n
suffisamment grand et indépendant de p on a
dim(H1f (ΓT , Πet,n )) < dim(ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n )).
En choisissant p comme dans le théorème de Vologodsky et n suffisamment grand, on obtient ainsi
une fonction rationnelle non nulle f sur ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n ) qui s’annule sur l’image de X (Z[S −1 ]). Par
densité de l’image des applications d’Albanese unipotentes, l’application f ◦ U Alba,n est encore non
nulle, satisfait le principe des z´ros isolés et s’annule sur X (Z[S −1 ]). On en déduit la finitude de
X (Z[S −1 ]), contenu dans un sous-ensemble discret du compact ]X[.
Programme
Rencontre 1: Lundi 12 mars 2012
Exposé 1: Méthode de Chabauty-Kim et présentation du programme (1:30)
Il s’agit d’un exposé d’introduction, en deux parties:
Partie 1 - Javier Fresan (0:45): on décrira de la méthode de C. Chabauty classique [Ch41], [McCP11];
Partie 2 - Anna Cadoret (0:45): on présentera le schéma global de la preuve de [K05], en soulignant quelques grandes idées, par exemple pourquoi elle peut être vue comme une généralisation nonabélienne de la méthode de Chabauty. On terminera par une présentation du programme du groupe
de travail.
Exposés 2 et 3 - Peter Jossen: Catégories tannakiennes (2:30)
L’objectifs de ces deux exposés est de présenter de façon aussi concise que possible les objets qui seront
systématiquement étudiés par la suite. On suivra de près les paragraphes 1.1 et 2.1 de [H10]. Il est
souhaitable qu’un seul orateur se charge des deux exposés et, vue l’importance de l’exposé 2, qu’il
se sente libre de pouvoir répartir son temps entre les deux exposés (0:45/1:45 voire 30 min/2:00 par
exemple au lieu des 1:00/1:30 suggérées).
Exposé 1 (1:00?): On introduira (essentiellement sans démonstration) le formalisme des catégories tannakiennes en suivant [H10, §1.1] (voir aussi [DM82], [D90], [Br94]). On illustrera l ce formalisme par
1C’est la façon dont les choses sont présentés dans [K05]; dans les articles postérreurs, Kim invoque un résultat
d’Olsson, qui travaille avec Bcris plutôt que BdR et permet de supprimer la contrainte
p−1
2
≥ n + 1.
4
GROUPE DE TRAVAIL C.M.L.S. - ECOLE POLYTECHNIQUE
l’exemple des catégories UndR et Unet introduites ci-dessus, que l’on s’attachera à définir précisément
[D89, §10.24-10.52].
univ (P
Exposé 2 (1:30?): On présentera la construction explicite des torseurs universels Πuniv
dR
DR et Πet
et Pet avec les notations de [H10]) en suivant [H10, §2.1]. On se limitera au cas où R est un corps (cas
de Rham), qui est le seul utile par la suite. On s’attachera autant que possible à présenter les preuves
en détails et on n’omettra pas de traiter les remarques importantes (2.1.10, 2.1.11, 2.1.13 notamment).
Rencontre 2: Lundi 2 avril 2012
Exposé 4 - David Harari: Groupes algébriques unipotents (1:30)
On présentera les principaux aspects de la théorie des groups algébriques unipotents sur les corps de
caractéristique nulle: équivalence entre le fait d’être extension de Ga et l’unipotence des représentations,
application exponentielle exp: g → G et équivalence de catégories entre algèbres de Lie nilpotentes et
groupes algébriques unipotents [SGA3, Chap. 17], trivialité des torseurs fpqc.
Exposé 5 - Niels Borne: Réalisation cristalline (1:00)
Cet exposé est préliminaire aux exposés 6, 7 et 8. Il s’agit d’introduire les prérequis (triplets rigides,
tubes, voisinages stricts, isocristaux, isocristaux surconvergents etc.) pour comprendre la définition
de Unan . On pourra par exemple prendre comme fil directeur [Be02, §2] et les références à [B96] et
[CLS99] qui y sont mentionnées.
Exposé 6 - Nicola Mazzari : Comparaison des réalisations De Rham et cristalline (1:30)
L’objectif de cet exposé est de présenter le théorème de comparaison
ΠdR ' Πcris
ou, ce qui revient au même, l’existence d’une équivalence de catégories tannakiennes UndR 'Unan
[CLS99, Prop. 2.4.1]. Ce théorème permettra dans la suite d’identifier ΠdR et Πcris .
Plus précisément, si P est un schéma propre et lisse sur un avd R (de corps des fractions K et de
corps résiduel k de caractéristique p > 0) et D un diviseur à croisements normaux dans P, on note
respectivement X et X les fibres génériques et spéciales du complémentaire de D dans P. A tout
fibré vectoriel unipotent à connexion E sur X on peut associer un isocristal j † E rig sur X. On montre
d’abord que j † E rig est toujours surconvergent, ce qui permet de définir un foncteur UndR →Unan . On
montre ensuite que ce foncteur est une équivalence de catégories. L’idée est bien sûr de procéder par
récurrence sur le rang des fibrés vectoriels.
Rencontre 3: Lundi 14 mai 2012
Exposé 7 - Lorenzo Ramero: Intégration de Coleman via le formalisme tannakien (1:30)
MÉTHODES TANNAKIENNES EN GÉOMÉTRIE DIOPHANTIENNE
D’APRÈS MINHYONG KIM
5
On décrira la théorie de l’intégration de Coleman via le formalisme tannakien proposée par A. Besser
dans [Be02]. Le problème consiste à donner un principe de continuation analytique canonique des
solutions d’une équation différentielle p-adique. Plus précisément, étant donné un isocristal surconvergent (E, ∇) sur X, deux points x, y ∈ X et une solution locale vx ∈ E(]x[)∇=0 comment associer
canoniquement à vx une solution locale vy ∈ E(]x[)∇=0 ? Les flèches (E, ∇) → E(]x[)∇=0 sont des
foncteurs fibres sur Unan . Le problème est donc d’identifier un élément canonique dans Πcris (x, y).
Cet élément est obtenu en considérant l’action du Frobenius φ sur Πcris (x, y) et en montrant que
Πcris (x, y) possède un unique élément φ-invariant.
On présentera la preuve de l’existence et de l’unicité de l’élément φ-invariant de Πcris (x, y) [Be02, Thm.
3.1, Cor. 3.2], [Be12, Thm.4, Thm.5]. On décrira ensuite, et si le temps le permet2, les fonctions de
Coleman introduites dans [Be02, §4].
Exposé 8 - Anna Cadoret: Construction de l’application d’Albanese unipotente, densité de l’image
(1:30)
L’objectif de cet exposé est de comprendre la construction des applications d’Albanese unipotentes, de
outrer qu’elles sont analytiques au sens de Coleman et que leur image est Zariski-dense [K09, Thm.1],
[H10, Thm. 3.3.1]; on pourra suivre [K09, §1].
Soit R une Qp -algèbre. On appelera torseur sous ΠdR au-dessus de R un torseur P = spec(P) au sens
usuel muni d’une filtration d’Eilenberg-Maclane
P[0] ⊂ P[1] ⊂ · · · P,
d’une filtration de Hodge par des idéaux
P = F 0 (P) ⊃ F 1 (P) ⊃ · · ·
et d’un automorphisme ’de Frobenius’
φ : P →P
˜ ;
ces structures étant toutes compatibles avec la structure de torseur. Ce torseur est dit admissible s’il
est trivialisable simultanément pour la structure de Hodge et la structure de Frobenius. Cela revient
3
0
H
à dire qu’il possède un R-point φ-invariant pcr
P ∈ P (R) et un R-point pP ∈ F (P )(R) . Un torseur
cr
admissible P possède toujours une unique trivialisation φ-invariante pP ∈ P (R) (voir Exposé 7); tout
0
choix d’une trivialisation pour la structure de Hodge pH
P ∈ F (P )(R) définit alors un unique élément
de uP ∈ ΠdR tel que
H
pcr
P uP = pP .
0
Différents choix de pH
P correspondent à la multiplication à droite par F (ΠdR ).
En observant que le torseur De Rham universel Πuniv
dR (donc chacun des torseurs ΠdR (x)) est admissible, on obtient ainsi l’application d’Albanese unipotente ]X[∩X(Qp ) → ΠdR /F 0 (ΠdR ) et ses variantes
tronquées.
Dans un premier temps, on expliquera pourquoi le torseur De Rham universel est admissible comme
torseur sous ΠdR au-dessus de X. L’existence de la structure de Frobenius ayant déjà été vue lors de
l’exposé 7, on se concentrera surtout sur l’existence de la filtration de Hodge [H10, §2.2] et on donnera
la preuve de [K09, Prop.1]. Dans un second temps, on esquissera la preuve de la Zariski-densité de
l’image des applications d’Albanese unipotentes; celle-ci utilise une description explicite du torpeur
de Rham universel et fait en particulier apparaitre que les cordonnées des application d’Albanese
unipotentes sont des polylogarithmes p-adique au sens de Coleman-Besser [H10, Thm. 2.3.8], [K09,
Thm.1+Lemma 2, 3, 4], [K05, §2], [F07, §4].
2Les fonctions de Coleman sont utilisées dans [K05] pour montrer que l’image des applications d’Albanese unipotente
est dense mais pas dans [K09], [F07], où l’on se ramène à C.
3Attention, l’idéal correspondant à F 0 (P ) est F 1 (P).
6
GROUPE DE TRAVAIL C.M.L.S. - ECOLE POLYTECHNIQUE
Exposé 9 - Ariyan Javankeypar: Variétés de Selmer (1:30)
L’objectif de cet exposé est de présenter les résultats de [K05, §1] et [K09, §2] concernant la représentabilité
des variétés de Selmer (voir aussi [H10, §3.1]). Celles-ci classifient les torseurs sous Πet . Soit R une
Qp -algèbre. Un torseur sous Πet au-dessus de R est un torseur P = spec(P) au sens usuel muni d’une
filtration d’Eilenberg-Maclane
P[0] ⊂ P[1] ⊂ · · · P
et d’une action de Galois G4 compatible à la filtration d’Eilenberg-Maclane; ces deux structures étant
en outre compatibles avec la structure de torseur.
On commencera par montrer que les torseurs sous Πet au-dessus de R sont classifiés par un ensemble
de cohomologie galoisienne continue H1 (G, Πet (R)) [K05, Prop.1] puis que les foncteurs
H1 (G, Πet ) : Qp -algèbres → Ensembles
R
→ H1 (G, Πet (R))
et
dR
H0 (G, ΠB
et /Πet ) : Qp -algèbres → Ensembles
R
→ H0 (G, Πet (R ⊗ BdR )/Πet (R))
sont représentables par des pro-variété affines sur Qp [K05, Prop.2 et Prop.3] (Ici BdR est l’anneau
des périodes de Fontaine qui ne devrait être introduit que dans les exposés 10 et 11. A ce stade, la
définition précise de BdR n’intervient pas; il semblerait d’ailleurs qu’il soit plus naturel de travailler
avec Bcris ). Par Yoneda, on obtient un morphisme de pro-variétés sur Qp
1
dR
H0 (Γp , ΠB
et /Πet ) → H (Γp , Πet )
induisant une suite exacte d’ensemble pointés
1
1
dR
H0 (Γp , ΠB
et /Πet )(Qp ) → H (Γp , Πet )(Qp ) → H (Γp , Πet (BdR )).
En particulier l’image inverse de ∗ par H1 (Γp , Πet )(Qp ) → H1 (G, Πet (BdR )) est l’ensemble des Qp 1
dR
points de l’image H1f (Γp , Πet ) de H0 (Γp , ΠB
et /Πet ) → H (Γp , Πet ).
On note H1f (ΓT , Πet ) l’image inverse de H1f (Γp , Πet ) par le morphisme de restriction res : H1 (ΓT , Πet ) →
H1 (Γp , Πet ).
Rencontre 4: Mercredi 6 juin 2012
Exposé 10 et 11 - Olivier Brinon et Jilong Tong: Comparaison des réalisations De Rham et étale (3:00)
A ce stade on a construit le diagramme commutatif suivant:
/ ]X[∩X(Qp )
QQQ
QQQU Albn
QQQ
loc
κa,n
QQQ
Q(
X (Z[S −1 ])
κa,n
H1f (ΓT , Πet,n )
resn
/ H1 (Γp , Πet,n )
f
πdR,n /F 0 (πdR,n )
L’objectif de ces deux exposés est de construire un (iso)morphisme D : H1f (Γp , Πet )→Π
˜ DR /F 0 (ΠdR )
loc
(de schémas sur Qp ) tel que D ◦ κa,n = U Albn .
4G = Γ dans le cas global et G = Γ dans le cas local.
T
p
MÉTHODES TANNAKIENNES EN GÉOMÉTRIE DIOPHANTIENNE
D’APRÈS MINHYONG KIM
7
Dans [K05], l’argument est basé sur un théorème de comparaison de Vologdsky [V03, Thm.A] qui dit
la chose suivante. Notons Pet,n et PdR,n les catégories dont les objets sont les points de X et les morphismes les morphismes de foncteurs fibres Fx → Fy dans les catégories Unet,loc,n et UndR,n respectivement. Pour p−1
2 ≥ n+1 les catégories Pn,et ⊗BdR et PdR,n ⊗BdR sont équivalentes (où BdR est l’anneau
univ
univ =
des périodes de Fontaine). On en déduit que les torseurs universels Πuniv
dR = spec(PdR ) et Πet
univ ) sont associ ’es i.e. P univ ⊗B
univ ⊗B . Cela implique que (P univ ⊗B )Γp ' P univ .
spec(Pet
dR ' Pet
dR
dR
et
dR
dR
On part donc du morphisme de foncteur
D : H1 (Γp , Πet ) → T ors(ΠdR )
qui à P := spec(P) ∈ H1 (Γp , Πet )(R) associe le torseur sous ΠdR au-dessus de R D(P ) := spec((P ⊗
BdR )Γp ). Il faut ensuite vérifier
- que D(P ) est admissible sous ΠdR au-dessus de R si et seulement si P ∈ H1f (Γp , Πet ) [K05,
Prop.5], ce qui assure que D induit un foncteur bien défini D : H1f (Γp , Πet ) → ΠdR /F 0 (ΠdR ).
- la relation de commutativité D ◦ κloc
a,n = U Albn .
Dans [H10], les idées sont essentiellement les mêmes [H10, §3.2, §4.1] mais l’argument de comparaison
étale/ de Rham repose d’avantage sur la structure explicite des torseurs universels (voir exposé 3) et
se ramène à un théorème de comparaison de Faltings, qui dit que les cohomologie étale et de Rhan de
XQp sont associ ’ees au sens de Fontaine (en gros, coincident après tensorisation par Bcris ).
Le ou les orateurs choisiront l’approche qu’ils préféreront. Dans l’exposé 10, on introduira les outils et
définitions permettant de comprendre la philosophie des énoncés de comparaison (théorie de Fontaine)
(voir par exemple [H10, §3.2, §4.1]). On terminera par l’énoncé du théorème de comparaison utilisé.
Dans l’exposé 11, on expliquera comment le théorème de comparaison s’applique à notre situation et
on essaiera d’en présenter une esquisse de preuve.
Exposé 12 - David Harari: Conclusion - estimation des dimensions de H1f (ΓT , Πet,n ) et ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n )
(1:30)
On rappellera d’abord le schéma de la preuve du théorème de Siegel pour P1 \ {0, 1, ∞} [K05, p. 654,
655] et on expliquera les estimations pour les dimensions de H1f (ΓT , Πet,n ) et ΠdR,n /F 0 (ΠdR,n ) (on
admettra sans démonstration le théorème de Soulé [S79]).
On pourra conclure en expliquant comment la méthode se généralise aux courbes hyperboliques sous
les conjectures de Bloch-Kato, Fontaine-Mazur et Jannsen [K09, §3].
References
[B96] P. Berthelot, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propre. Preprint disponible sur
http://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/.
[Be02] A. Besser, Coleman integration using Tannakian formalism, Math. Annalen 322 (2002), 19–48.
[Be12] A. Besser, Heidelberg lectures on Coleman integration, in MATCH-HGS C.M.S. 2, ”PIA 2010 - the arithmetic
of fundamental groups”, J. Stix ed, Springer, 2012.
[Br94] L. Breen, Tannakian categories, dans Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 55 Part1, Amer.
Math. Soc., (1994), 337–376.
[Ch41] C. Chabauty, Sur les points rationnels des courbes algébriques de genre supérieur à l’unité, C.R.Acad.Sci. Paris
212 (1941), 882–885.
[CLS99] B. Chiarelotto et B. Le Stum, F -isocristaux unipotents, Compositio Math. 116 (1999), 81–110.
[D89] P. Deligne, Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points, dans Galois groups over Q (Berkeley,
CA, 1987) Math. Sci. Res. Inst. Publ. 16 (1989), 79–297.
[D90] P. Deligne, Catégories tannakiennes, in Grothendieck Festschrift, vol. 2, Progress in Math. 87, Birkhauser, 1990.
[DM82] P. Deligne and J.S. Milne, Tannakian categories, in Hodge cycles, Motives and Shimura Varieties, L.N.M.
900, Springer-Verlag, 1982.
8
GROUPE DE TRAVAIL C.M.L.S. - ECOLE POLYTECHNIQUE
[F06] G. Faltings, Crystalline cohomology and p-étale cohomology, in Algebraic Analysis, Geometry and Number Theoryn John Hopkins Univ. Press, 1989.
[F07] G. Faltings, Mathematics around Kim’s new proof of Siegel’s theorem, in Diophantine Geometry, C.R.M. series
4, Ed. Norm., Pisa, 2007, 173-188.
[SGA3] M. Demazure et A. Grothendieck, S.G.A.3 II Groupes de type multiplicatif, L.N.M. 152, Springer-Verlag,
1970.
[H10] M. Hadian-Jazi, Motivic fundamental group and integral points, preprint available on http://hss.ulb.unibonn.de/2010/2217/2217.htm, 2010.
[K05] M. Kim, The motivic fundamental group of P1 \ {0, 1, ∞} and the theorem of Siegel, Inventiones Math. 161 (2005),
629–656.
[K09] M. Kim, The unipotent Albanese map and Selmer varieties for curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009),
89–133.
[McCP11] V. Mc Callum et B. Poonen, The method of Chabauty and Coleman, Preprint. Disponible sur http://wwwmath.mit.edu/˜poonen/.
[S79] C. Soulé, K-théorie des anneaux d’entiers des corps de nombres et cohomologie étale, Inventiones Math. 55 (1979),
251–295.
[V03] V. Vologodsky, Hodge structure on the fundamental group and its application to p-adic integration, Moscow
Math. J. 3 (2003), 205–247.