Corrigé - CAPES de Mathématiques/Rennes1

Préparation au CAPES de Mathématiques
Corrigé rapide du problème d’algèbre n◦ 1
Partie 1 : Valuation p-adique
c
a
, on écrit c = pk1 a où a ∧ p = 1 et d = pk2 b, avec b ∧ p = 1. On a donc x = pk1 −k2 . Pour l’unicité,
d
b
0
a
a
si l’on a x = pk = p` 0 , alors pk ab0 = p` a0 b, et donc pk |p` a0 b. Mais p ∧ a0 b = 1 (un nombre premier est
b
b
premier avec tout nombre qu’il ne divise pas donc aussi avec tout produit de tels nombres) et le théorème
1) Si x =
de Gauss assure que pk |p` , ou encore que k ≤ `. De même, on montre que ` ≤ k, et donc k = `.
∗
2) On a vp (1) = 0, ∀k ∈ Z , vp (pk ) = k, et vp (0) = +∞. Ceci garantit que vp est surjective.
vp n’est par contre pas injective puisque par exemple vp (p) = vp (−p) = 1. Enfin, vp−1 ({0}) est l’ensemble des
a
rationnels qui s’écrivent avec a et b entiers premiers avec p.
b
3) Soient x et y dans Q.
c
p` ,
a
pk
ac
pk+`
= k + ` puisque ac et bd sont premiers avec p. D’où
et y =
on a : vp (xy) = vp
b
d
bd
vp (xy) = vp (x) + vp (y). Cette relation reste vérifiée si x et/ou y est nul.
a) Si x =
b) La relation proposée est claire si x ou y est nul.
a
pk
!
c
p`
p`
pk−` ad + cb
. Maintenant,
bd
avec par exemple k ≥ `. On a : x + y =
d
1
= 0. Puisque k ≥ `, on a pk−` ad + cb ∈ Z et vp (pk−` ad + cb) ≥ 0. On en
comme bd ∧ p = 1, on a vp
bd
déduit que vp (x + y) ≥ ` = min{vp (x), vp (y)}.
Ecrivons x =
b
et y =
On a vp (p + (p − 1)p) = vp (p2 ) = 2 et vp (p) = vp ((p − 1)p) = 1. L’inégalité proposée peut donc bien être
stricte.
x
y
c) On a vp ( ) = vp
x 1
×
1 y
1
= vp (x) + vp ( ) = vp (x) − vp (y).
y
Partie 2 : Formule de Legendre
1) Notons Fk = {1 ≤ j ≤ n, vp (j) ≥ k}. Soit j ∈ N. j ∈ Fk si et seulement si 1 ≤ j ≤ n et j = pk a où a
est un entier c’est à dire si et seulement si il existe un entier a tel que j = pk a et
1
n
≤ a ≤ k . Par suite,
k
p
p
n
Card(Fk ) = k . D’autre part, {j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, vp (j) = k} = Fk \Fk+1 , et comme Fk+1 est inclus dans
p
n
n
Fk , le cardinal de cet ensemble vaut k − k+1 .
p
p
2) On a vp (n!) = vp (1) + · · · + vp (n), que l’on réécrit en regroupant les termes qui ont même valuation pX
X n n kCard ({1 ≤ j ≤ n, vp (j) = k}) =
adique : vp (n!) =
k>0
changement d’indice, vp (n!) =
k
k>0
X
k>0
pk
−
pk+1
. Finalement, par un simple
n
.
pk
3) Ce qui précède montre que v5 (2009!) = 401 + 80 + 16 + 3 = 500 et comme il est clair que v2 (2009!) > 500,
on a 2009! = 10500 y avec y ∧ 5 = 1 et par suite 2009! se termine par 500 “0”.