LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN

LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN
ANALYSE
JEAN LERAY
 la mémoire du profond mathématicien polonais JULES SCHAUDER, victime des massacres de 1940.
I.
INTRODUCTION
1. Soit <t>(x) une application continue d'un espace X en lui-même; on nomme
points fixes de <j>(x) les solutions de l'équation
(1)
x = 0(a).
Nous ne parlerons pas de Vétude locale de l'équation (1). Cette étude fut faite
d'abord par E. Picard [11], à l'aide de la méthode des approximations successives;
puis par E. Schmidt [15], à l'aide de développements en séries, <j)(x) étant supposée
holomorphe.,La notion d'espace de Banach permit à T. H. Hildebrandt et
L. M. Graves [3] de systématiser la méthode de E. Picard; il est aisé [9] de
systématiser de même celle de E. Schmidt.
C'est de Vétude globale de l'équation (1) que nous nous occuperons. Cette étude
fut faite d'abord par Fredholm [4], F. Riesz [12], quand <t>(x) est linéaire et
transforme les parties bornées de X en parties compactes; puis, quand (f>(x) n'est
pas linéaire, par L. E. J. Brouwer [2], Birkhoff et Kellogg [1], Lefschetz [5],
Schauder [14], Leray [6], [7], Rothe [13], Tychonoff [16], Nielsen [10], et Wecken
[17] ; deux types d'hypothèses1 furent utilisés et conduisirent à des théories bien
différentes: certains auteurs supposèrent que X est un espace vectoriel et que
4>(x) prend ses valeurs dans un compact; d'autres supposèrent que X est compact
et vérifie des hypothèses appropriées. Ces hypothèses compliquent ce second
point de vue, que nous n'aurons pas le temps d'analyser en détail; c'est d'ailleurs
le premier point de vue qui se présente quand on applique la théorie des points
fixes à celle des équations aux dérivées partielles. Exposons-le d'abord, en
résumant [9], qui synthétise [2], [1], [14], [6], [16], [10], [17].
IL
LES POINTS FIXES D'UNE APPLICATION COMPLèTEMENT CONTINUE D'UN ESPACE
VECTORIEL À VOISINAGES CONVEXES
2. Définitions. Soit X un espace vectoriel à voisinages convexes: c'est un espace
vectoriel (sur le corps des nombres réels) possédant une topologie de Hausdorff,
qui puisse être définie par un système fondamental de voisinages convexes.
Soit V un voisinage symétrique de 0; les points x± et x2 de X sont dits voisins
d'ordre V quand
xi — x2 € V.
1
D'autres hypothèses furent utilisées avec succès par E . Rothe; nous ne disposons
malheureusement pas de la place qu'exigerait l'exposé de ses recherches.
202 ,
POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE
203
Soit (j)(x) une application de X en lui-même complètement continue, c'est-à-dire qui
applique continûment X dans une partie compacte de X; nous posons
®(x) = x — ()>(x).
G désignera une partie ouverte de X, G sa frontière et G = G U G son adhérence.
3. Les propriétés de $(x), du point de vue de la topologie générale. $(F)
est fermé, quand F est fermé (autrement dit: l'application $>(x) est fermée).
$^(0) est compact, quand C est compact.
4. La définition du degré topologique de $ (x). Supposons X de dimension
finie et ^>(x) linéaire par morceaux, c'est-à-dire linéaire au voisinage de tout point
n'appartenant pas à la réunion d'un ensemble d'hyperplans P\ , n'ayant pas
d'élément d'accumulation. Ces hyperplans décomposent X en domaines, que nous
noterons D j , D°p, Z>7 suivant que le déterminant de <ï>(x) y est > 0 , = 0 , < 0 .
Soit y un point de X étranger aux <£>(6r), $(Px), et $(D°V) ; soit p [et n] le nombre des
$((? Pi D^) [et des$(G fi DJ)] contenant y; p — n est une fonction de y constante
sur chacun des domaines d en lesquels $(G) décompose X; sa valeur est nommée
degré topologique sur d de la restriction de <£> à G et est notée
* ( * , O, d);
on définit
d°(*f G, y) = d°(#, G,d)
si y Ç D
même si y appartient à $ ( A ) o u $(öj).
Supposons X de dimension finie et <t>(x) complètement continue; soit y $ $(G) ;
soit Fi un voisinage convexe et symétrique de 0 tel que le voisinage d'ordre Vi
de y soit étranger à <£(#) ; soit $i(#) une application linéaire par morceaux telle que
$(x) et $i(x) soient voisins d'ordre Vi ; d°($i, G, y) est indépendant des choix de
Vi et $i ; c'est, par définition, d°($, G, y).
Cas général. Soit y (£ $(G) ; soit Vi un voisinage convexe et symétrique de 0,
tel que le voisinage d'ordre Vi de y soit étranger à $(G) ; soit $i(x) une application
complètement continue, voisine d'ordre Vi de </>(#) et telle que<£i(X) appartienne à
un sous-espace Xi de dimension finie, contenant y; d°($i, G fl X i , y) est indépendant des choix de Vi, $i(x) = x —• #I(œ)> Xi ; c'est par définition d°($, G, y).
5. Les propriétés du degré topologique.
0
P R O P R I é T é 5.1. d ($, G, y) est un entier positif, nul ou négatif, défini quand
$(#) — x est complètement continue et que y $ $(G); d°($, G, y) reste constant
quand $>, G, y varient continûment, en sorte que y $ $(G).
En particulier, d°($, G, y) ne dépend que de y et de la restriction de $ à G; on
peut même, ce qu'utilise le §7, définir d°($, G, y) en supposant $ défini seulement
sur G.
P R O P R I é T é 5.2. Si d°($, G, y) ^ 0, alors y G $ ( 0 ) .
204
JEAN LERAY
PROPRIéTé 5.3. Si les Ga sont des parties ouvertes de G, deux à deux sans point
commun et telles que <£>(#) ^ y quand x Ç. G, x $ Ga , alors
a
PROPRIéTé 5.4. Soit ty(x) — x une seconde application complètement continue,
définie sur 3>(G); soient da les domaines en lesquels <£((r) décompose X [autrement
dit: les da sont les composantes connexes du complémentaire de $($)]; si y $ ^ ( G ) ,
alors
#(¥*, G, y) = E #(*, G, da)-d°(% da , y).
a
PROPRIéTé
5.5. Supposons X somme directe de deux espaces Xi et X2 :
X = Xi + X2 ;
on a
x = Xi + x2 ;
$(a?) = $i(a?) + $2(x),
où xa € X « , $« 6 X« ;
on a $i(x) = ^i(x± , x2) ; supposons $2(x) = $2(x2) fonction seulement de x2. Soit Gx
une partie ouverte de Xi et D2 un domaine de X2 ; si y\ $ 3?i(ffi, D2) et y2 $ 3>2(D2)y
alors
# ( * , Gx + D 2 ,2/1 + 2/2) = d°($i, (?i, 2/1) 'd°(^2, A , 2/2),
d°($i(xi, x2), Gi, 2/1) devant être calculé en supposant que x2 est un point fixe,
arbitraire de D2.
6. L'indice des points fixes d'une application complètement continue <t>(x).
Soit F un ensemble isolé de point fixes de <t>(x) : F a un voisinage G ne contenant
d'autres points fixes que les points de F; F est compact; d°($, G, 0) est indépendant du choix de G, est nommé indice de F et est noté i(F). Les propriétés du
degré ont pour conséquences immédiates les propriétés suivantes de l'indice:
P R O P R I é T é 6.1. Soit F l'ensemble des points fixes de <ß(x) contenus dans une
partie ouverte G de X; F est compact et i(F) est défini, quand G ne contient aucun
point fixe; i(F) est un entier positif, négatif, ou nul, qui reste constant quand <l>(x)
et G varient continûment, sans que G ne contienne jamais de point fixe de <ß(x).
COROLLAIRE 6.1. i(F) ne dépend que de la restriction de <l>(x) à G.
2
COROLLAIRE 6.2. Si <ß(x) possède au point fixe a une différentielle complètement
continue X(x — a), telle que a + X(x — a) ait pour seul point fixe a, alors a est
un point fixe isolé de (j>(x) ayant les mêmes indices comme point fixe de <t>(x) et
comme point fixe de a + X(x — a).
PROPRIéTé 6.2. F n'est pas vide, si i(F) ^ 0.
P R O P R I é T é 6.3. Si F est la réunion d'un nombre fini de compacts Fa , deux à
deux sans point commun, alors i(F) = y]ai(Fa).
2
\(y) est linéaire homogène; il existe un voisinage F de 0 tel que, si e est un nombre
réel tendant vers 0, le transformé par €_1[0(rc) — a — \(x — a)] du voisinage de a d'ordre eV
tende vers 0.
POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE
205
PROPRIéTé 6.4. Soient deux espaces Xi et X2, une partie ouverte Gi de X i ,
un domaine D2 de X2, une application complètement continue 0I(.TI , x2) de Xi + X2
dans Xi et une application complètement continue <j>(x2) de X2 en lui-même. Supposons
x\ T* <t>i(xi, x2) pour xi £ G 1,
x2 G D2;
x2 =é <l>(x2) pour x2 G t>2;
soit i Vindice des points fixes Xi + x2 G 6?i + D2 de <j>\(xi, x2) + <j>2(x2) ; soit ii l'indice
des points fixes xi G Gi defa (x%, x2), quand x2 G D 2 ; soit i2 l'indice des points fixes
$2 G D2 de (j>2(x2). On a
i = iv Ì2.
Ces propriétés de l'indice permettent de prouver des théorèmes d'existence
(d'après la propriété 6,2, il existe au moins un point fixe quand l'indice de l'ensemble des points fixes diffère de zéro; les propriétés 6.1 et 6.3 permettent de
déterminer l'indice de l'ensemble des points fixes) et des théorèmes d'unicité (si
l'indice de l'ensemble des points fixes est e = ± 1 et si le corollaire 6.2 et la
propriété 9.1 permettent de prouver que chaque point fixe est isolé et a l'indice
e, alors il existe un point fixe unique).
7. Le thêroème de Jordan-Brouwer. Soient F et Ff deux parties fermées de X,
entre lesquelles existe un homêomorphisme x <-> xf ; F et F' décomposent X en le
même nombre de domaines, s'il existe un compact contenant toutes les valeurs prises
par x — xf. (On sait que cette hypothèse est essentielle: la sphère de Hilbert F:
xl + x\ • • • = 1 décompose l'espace en deux domaines; on peut l'appliquer isométriquement sur Ff: x± = 0, x\ + #3 + • • • = 1, dont le complémentaire constitue un seul domaine.
PREUVE. Soient D\ et DM les domaines en lesquels F et F' décomposent X.
Posons $(x) = x'^ty)
= x; ona^$(«) = x et ^f(xf) = œ'; d'après la propriété
5.4 les matrices d°(<ï>, D\ , D^) et d°($r, DM , Dx) sont inverses l'une de l'autre;
elles sont donc carrées.
On prouve de même :
8. L'invariance du domaine. L'image $(D) d'un domaine D par un homêomorphisme $>(x) est un domaine si $(x) — x est complètement continue (hypothèse
essentielle).
9. Les équations linéaires. Soit \(x) une application linéaire et homogène
de X en lui-même, qui soit complètement continue sur un voisinage de l'origine
convenablement choisi; soit p un nombre réel; soit
Ap(x) = x — pk(x)t
L'invariance du domaine a pour conséquence immédiate l'alternative de
Fredholm: ou bien Ap(x) a d'autres zéros que x = 0; ou bien Ap(x) applique X
sur lui-même. Il est aisé [8], en simplifiant des raisonnements de F. Riesz [12],
d'en déduire les autres théorèmes de Fredholm. D'où:
206
JEAN LERAY
PROPRIéTé 9.1. Soit np la dimension de l'espace vectoriel constitué par les zéros de
Ap(x), Ap(Ap(aO), • • • ; soit n = X)O<P<I np ; si x = 0 est le seul point fixe de
X(#)> son indice est (—1)". En particulier cet indice est le signe, pour p = 1, de
la déterminante de Fredholm, si \(x) est une application du type de Fredholm:
x(s) -> / K(s, t)x(t) dt.
10. Les classes de points fixes. Le procédé de Nielsen [10] et Wecken [17]
permet de classer les points fixes de <j>(x) contenus dans G: les points fixes x\ et x2
sont placés dans une même classe quand on peut les joindre par un chemin l
tel que l et $(1) appartiennent à G et soient homotopes dans G. Chaque classe
constitue évidemment un ensemble isolé de points fixes; donc son indice est
défini et reste constant quand <ß(x) et G varient continûment, en sorte qu'aucun
point fixe n'appartienne jamais à G.
III.
LES POINTS FIXES D'UNE APPLICATION CONTINUE D'UN COMPACT
11. Soit %(x) une application continue en lui-même d'un espace compact O;
supposons que G soit un rétracte d'une partie ouverte G d'un espace vectoriel à
voisinages convexes X: il existe une application continue ir(x) de G sur G dont la
restriction à C, supposé intérieur à G, est l'identité. Il est clair que les points
fixes de %(x) sont ceux de l'application complètement continue 0(#) = ir^(x):
les point fixes de %(x) ont un indice possédant les propriétés énoncées au §6.
Si X est l'espace de Hilbert, C est un espace LG*; rappelons les deux définitions
équivalentes de ces espaces (Lefschetz): ce sont les compacts métrisables et
localement connexes pour toutes les dimensions; ce sont les rétractes absolus de
voisinages.
[7] généralise et complète les résultats précédents: l'indice de l'ensemble des
points fixes de £(#) est le nombre de Lefschetz de %(x) ; plus généralement i(f) est le
nombre de Lefschetz de restrictions convenables de %(x) quand / est l'ensemble
des points fixes de %(x) contenus dans une partie ouverte g de C telle que
lim 0W(0) C g.
n-*+oo
On connaît le théorème de Lefschetz [5]: £ (x) a, au moins un point fixe quand
son nombre de Lefschetz diffère de zéro. Ce théorème est une conséquence de la
théorie précédente; mais il s'applique à certains espaces compacts auxquels
cette théorie n'a pas été étendue. Le problème est ouvert de savoir si cette
théorie est un cas particulier d'une théorie plus générale, applicable à tout
espace compact.
IV. L E S APPLICATIONS DE LA THéORIE DES POINTS FIXES
La théorie des points fixes a des applications variées:
Équations intégrales non linéaires: [24, Chapitre I],
Problème de Dirichlet pour les équations non linéaires, du type elliptique à
deux variables indépendantes: [22].
Calcul des variations: [13], [22].
P O I N T S F I X E S E T A P P L I C A T I O N S E N ANALYSE
207
Problème de Dirichlet posé par la théorie des fluides visqueux: [24, Chapitres
ii, m ] .
Équations linéaires, du type elliptique, à conditions aux limites non linéaires:
[20].
Problèmes de représentation conforme du type d'Helmholtz posés par les
écoulements de fluides parfaits avec jets ou sillages: [21], [23], [25],
Problèmes posés par les écoulements des fluides parfaits et compressibles:
[18], [19].
BIBLIOGRAPHIE
La théorie des points fixes:
1. G. D . B I R K H O F F et O. D . KELLOGG, Invariant points in function space, T r a n s . Amer.
M a t h . Soc. t . 23 (1922) p p . 96-115.
2. L. E. J. BROUWER, Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. t. 71 (1912)
pp. 97-115.
•
, Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Math. Ann. t. 71 (1912) pp.
305-314.
3. T. H. HILDEBRANDT et L. M. GRAVES, Implicit functions and their differentials in
general analysis, Trans. Amer. M a t h . Soc. t. 29 (1927) p p . 127-153, 514-552.
4. I. FREDHOLM, Sur une classe d'équations fonctionelles, Acta Math. t. 27 (1903) pp.
365-390.
5. S. LEFSCHETZ, Algebraic topology, Amer. M a t h . Soc. Colloquium Publications, vol. 27,
New York, 1942, Chap. V I I I , §§5 et 6, p p . 318-326.
6. J. LERAY et J. SCHAUDER, Topologie et équations fonctionnelles, Ann. École Norm»
t. 51 (1934) p p . 45-78.
J . LERAY, Topologie des espaces de Banach, C. R. Acad. Soi. Paris t. 200 (1935) p p .
1082-1084.
7. J . LERAY, Sur les équations et les transformations, Journal de Mathématiques t . 24
(1945) p p . 201-248.
8.
, Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme complètement continu
d'un espace vectoriel à voisinages convexes, Acta Univ. Szeged, t. 12 (1950) pp. 177-186.
9.
, Théorie des équations dans les espaces vectoriels à voisinages convexes (à paraître;
professé au Collège de France en 1948-1949).
10. J. NIELSEN, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I,
Acta M a t h . t . 50 (1927) p p . 189-358.
U . E . PICARD, Traité d'analyse, t . 3, Chap. V.
12. F . R I E S Z , Über lineare Funktionalgleichungen,
Acta M a t h . t . 41 (1918) p p . 71-98.
13. E. ROTHE, Über Abbildungsklassen von Kugeln des Hilbertschen Raumes, Compositio
Math. t . 4 (1937) p p . 294-307.
, Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Banachschen
Räumen, Compositio M a t h . t . 5 (1937) pp. 166-176.
, Über den Abbildungsgrad bei Abblidungen von Kugeln des Hilbertschen Raumes,
Compositio M a t h . t. 5 (1937) p p . 177-197.
, The theory of topological order in some linear topological spaces, Iowa State College
Journal of Science t . 13 (1939) p p . 373-390.
, Gradient mappings and extrema in Banach spaces, Duke Math. J. t. 15 (1948)
pp. 421-431.
, Gradient mappings in Hilbert spaces, Ann. of M a t h . t . 47 (1946) p p . 580-592.
, Completely continuous scalar and variational methods, Ann. of Math, t. 49 (1948)
pp. 265-280.
208
JEAN LERAY
14. J. SCHAUDER, Der Fixpünktsatz
in Funktionalräumen,
Studia Mathematica t . 2
(1930) p p . 170-179.
—
, Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit
und Lösbarkeit
partieller
Differentialgleichungen
zweiter Ordnung von elliptischen Typus, M a t h . Ann. t . 106 (1932)
pp. 667-721.
15. E . SCHMIDT, Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Lösungen, M a t h . Ann. t . 65 (1908) p p . 370-399.
16. A. TYCHONOFF, Ein Fixpunktsatz, M a t h . Ann. t . 111 (1935) p p . 767-776.
17. F . WEGKEN", Fixpunktklassen,
M a t h . Ann. t . 117 (1941) p p . 659-671; t . 118 (1943)
pp. 216-234, 544-577.
Les applications de la théorie des points fixes:
18. L. B E R S , An existence theorem in two-dimensional gas dynamics, à paraître.
19. C. JACOB, Sur l'écoulement lent d'un fluide parfait, compressible, autour d'un obstaclecirculaire, Mathematica t. 17 (1941) p p . 1-18.
, Sur les mouvements lents des fluides parfaits compressibles, Portugaliae M a t h e matica t . 1 (1939) p p . 209-257, §13.
20.
, Thèse (Paris), Mathematica t. 11 (1935) p p . 1-118, §§22 à 28.
21. J . KRAVTGHENKO, Thèse (Paris), Journal de Mathématiques t. 21 (1942).
22. J . LERAY, Discussion d'un problème de Dirichlet, Journal de Mathématiques t . 18
(1939) p p . 249-284.
23.
, Les problèmes de représentation conforme de Helmholtz, Comment. M a t h .
Helv. t . 8 (1935) p p . 149-180.
, Théorie des sillages et des proues, Comment. M a t h . Helv. t. 8 (1935) p p . 250-263•
24.
, Thèse, Journal de Mathématiques t . 12 (1933) p p . 1-82.
•~ 25. J . LERAY et A. W E I N S T E I N , Sur un problème de représentation conforme posé par la
théorie de Helmholtz, C. R . Acad. Sci. Paris t . 198 (1934) p p . 430-432.
COLLèGE DE FRANCE,
PARIS, FRANCE.