DM3

Devoir maison n°3, 1STMG
NOM
PRENOM
CLASSE
Une entreprise produit des pièces pour l’industrie automobile. Le coût total de fabrication
journalier, en euros, est donné par l’expression suivante :
𝐶(𝑥) = 2𝑥 2 − 60𝑥 + 500, où 𝑥 désigne le nombre de pièces produites quotidiennement.
Pour des raisons matérielles, l’entreprise ne fabrique jamais plus de 40 pièces par jour.
On suppose de plus qu’elle parvient toujours à vendre la totalité de sa production.
1. Donner l’ensemble de définition de la fonction 𝐶, c’est à dire les valeurs de x pour
lesquelles 𝐶(𝑥) existe.
2. On appelle coûts fixes le coût des charges fixes (locations, électricité, etc.) que l’entreprise
doit payer même si elle ne produit aucune pièce. À combien s’élèvent ici ces coûts fixes ?
3. Déterminer par le calcul le nombre de pièces qu’il faut produire pour que les coûts de
fabrication soient 850 €
4. On suppose que chaque pièce est vendue 10 € par l’entreprise. Exprimer la recette 𝑅(𝑥)
en fonction de 𝑥.
5. En déduire que le bénéfice 𝐵(𝑥) pour 𝑥 pièces vendues est donné par l’expression :
𝐵(𝑥) = −2𝑥 2 + 70𝑥 − 500
6. Dresser le tableau de signes de 𝐵 sur l’intervalle [0 ; 40] puis en déduire le nombre de
pièces que doit produire l’entreprise pour être bénéficiaire.
7. Déterminer pour quelle production l’entreprise réalise le bénéfice maximum, en précisant
le montant de ce bénéfice maximum (utiliser une méthode d’approche par calculs
successifs).
Devoir maison n°3, 1STMG
1. L’ensemble de définition de la fonction 𝐶 est l’intervalle [0 ; 40] (elle ne peut produire de
de 0 à 70 pièces par jour).
2. Coûts fixes : si la production est nulle, 𝐶(0) = 2 × 02 − 60 × 0 + 500 = 500 €
3. 𝐶(𝑥) = 2𝑥 2 − 60𝑥 + 500 = 850 ⇔ 2𝑥 2 − 60𝑥 − 350 = 0
Δ = (−60)2 − 4 × 2 × (−350) = 6400 = 80²
𝑥1 =
−(−60)−80
2×2
= −5 et 𝑥1 =
−(−60)+80
2×2
= 35
On ne retiendra que la deuxième solution bien entendu.
4. 𝑅(𝑥) = 10𝑥
5. 𝐵(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 10𝑥 − (2𝑥 2 − 60𝑥 + 500)
Donc 𝐵(𝑥) = −2𝑥 2 + 70𝑥 − 500
6. Δ = (70)2 − 4 × (−2) × (−500) = 900 = 30²
𝑥1 =
−(70)−30
2×(−2)
= 25 et 𝑥1 =
−(70)+30
2×(−2)
= 10
𝑥
0
10
25
40
𝐵(𝑥)
0 + 0
Pour être bénéficiaire, il faut produire entre 11 et 24 pièces par jour.
7. On dresse le tableau de valeurs pour x allant de 11 à 24
𝑥 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
𝐵(𝑥) 28 52 72 88 100 108 112 112 108 100 88 72 52 28
On voit que le bénéfice maximal (112 €) est atteint pour une production de 17 ou 18
unités.