Tirages successifs

Tirages successifs
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Tirages successifs
1. On suppose que la naissance d’un garçon et la naissance d’une fille sont équiprobables.
Quelle est la probabilité pour que, dans une famille de quatre enfants,
1) L’aîné soit un garçon :
1
2
2) Il y ait autant de filles que de garçons :
Réponse :
6
16
3) Il n’y ait que des filles :
Réponse :
1
16
2. Une urne contient 2 boules rouges et une boule verte. Dans cette urne, on effectue 2
tirages successifs d’une boule, sans remise.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une boule rouge ?
4
2
Réponse :
=
6
3
3. Dans une urne sont placés 26 cartons contenant chacun une lettre de l’alphabet. On
tire successivement et sans remise 5 cartons.
1
Réponse :
26 × 25 × 24 × 23 × 22
2) Probabilité d’obtenir les lettres L, U, N, D, I dans un ordre quelconque
5×4×3×2×1
26 × 25 × 24 × 23 × 22
3) Probabilité d’obtenir exactement deux voyelles
• Réponse :
5×4
6 × 5 × 20 × 19 × 18
×
2
26 × 25 × 24 × 23 × 22
Réponse :
4. On lance deux dés (un vert et un rouge). Avec le résultat, on forme un nombre x à
deux chiffres : vert = chiffre des dizaines, rouge = chiffre des unités.
1) Probabilité que x soit multiple de 11
6
62
2) Probabilité que x soit pair
18
Réponse : 2
6
5. On lance trois fois de suite une pièce de monnaie (résultats possibles : pile ou face).
Soit pn = probabilité d’obtenir exactement n fois face (avec 0 6 n 6 3).
Calculer pn pour toutes les valeurs de n
Réponse :
n
0
1
2
3
1
3
3
1
pn
23 23 23 23
On vérifie que la somme des probabilités vaut 1 (1 + 3 + 3 + 1 = 23 ).
6. Une urne contient 5 boules blanches, 4 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 3
boules successivement et sans remise.
1) Probabilité de tirer 3 boules de la même couleur
(5 × 4 × 3) + (4 × 3 × 2)
11 × 10 × 9
2) Probabilité de «la première est blanche et les deux autres sont rouges»
Questions à poser : quelle est la blanche ? Quelle est la première rouge ? quelle est
la deuxième rouge ?
5×4×3
A rédiger :
11 × 10 × 9
3) Probabilité de «Une seule est blanche, les deux autres sont de la même couleur»
Questions à poser : où est la blanche ? Quelle est la blanche ? Quelle est l’autre
couleur ? Quelle est la première de l’autre couleur ? Quelle est la deuxième de l’autre
couleur ?
3 × 5 × ((4 × 3) + (2 × 1))
A rédiger :
11 × 10 × 9
4) «Les trois boules sont de couleurs différentes»
Réponse :
Réponse :
(3 × 2 × 1)(5 × 4 × 2)
11 × 10 × 9
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7. On lance un dé n fois. Quelle est la probabilité pour que la face 2 apparaisse au moins
une fois au cours des n lancers ?
5n
La réponse est 1 − n
6
8. Un candidat au baccalauréat doit répondre à un QCM (Questionnaire à choix multiples)
comportant 5 questions. A chaque question, il doit cocher une réponse et une seule
parmi 4.
1) Quelle probabilité a-t-il d’obtenir toutes les bonnes réponses s’il répond entièrement
au hasard ?
1
≈ 0, 000977 (moins d’une chance sur 1000).
45
2) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une bonne réponse ?
A rédiger :
1−
35
45
(voir l’exercice précédent sur le lancer d’un dé).
9. Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On effectue des tirages successifs
avec remise , et on s’arrête lorsqu’on obtient une boule rouge, ou bien si on n’a pas
tiré de boule rouge au bout de 2 tirages.
On appelle X le nombre de tirages effectués. Quelle est la probabilité pour que X soit
égale à k ? (1 6 k 6 2).
3
3×5
La probabilité d’avoir X = 1 est
= .
2
5
5
10
2
2 × 3 + 22
La probabilité d’avoir X = 2 est
= 2 =
52
5
5
Test : même exercice avec 3 tirages au lieu de 2.
3
2×3
22 × 3 + 23
On trouve les probabilités : ;
;
2
5
5
53